Serie central

Serie normal de subgrupos que indican casi conmutatividad

En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de Lie , una serie central es una especie de serie normal de subgrupos o subálgebras de Lie , que expresa la idea de que el conmutador es casi trivial. Para los grupos , la existencia de una serie central significa que es un grupo nilpotente ; para los anillos de matrices (considerados como álgebras de Lie), significa que en alguna base el anillo consiste enteramente de matrices triangulares superiores con diagonal constante.

Este artículo utiliza el lenguaje de la teoría de grupos; se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie.

Un grupo general posee una serie central inferior y una serie central superior (también llamadas serie central descendente y serie central ascendente , respectivamente), pero estas son series centrales en sentido estricto (que terminan en el subgrupo trivial) si y solo si el grupo es nilpotente . Una construcción relacionada pero distinta es la serie derivada , que termina en el subgrupo trivial siempre que el grupo sea resoluble .

Definición

Una serie central es una secuencia de subgrupos

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

de manera que los cocientes sucesivos son centrales ; es decir, , donde denota el subgrupo conmutador generado por todos los elementos de la forma , con g en G y h en H . Como , el subgrupo es normal en G para cada i . Por lo tanto, podemos reformular la condición 'central' anterior como: es normal en G y es central en para cada i . En consecuencia, es abeliano para cada i . ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$ ${\displaystyle [G,H]}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ ${\displaystyle G/A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$

Una serie central es análoga en la teoría de Lie a una bandera que se conserva estrictamente por la acción adjunta (más prosaicamente, una base en la que cada elemento está representado por una matriz triangular estrictamente superior ); compárese con el teorema de Engel .

Un grupo no necesita tener una serie central. De hecho, un grupo tiene una serie central si y solo si es un grupo nilpotente . Si un grupo tiene una serie central, entonces hay dos series centrales cuyos términos son extremales en ciertos sentidos. Como A ₀ = {1}, el centro Z ( G ) satisface A ₁ ≤ Z ( G ). Por lo tanto, la elección máxima para A ₁ es A ₁ = Z ( G ). Continuando de esta manera para elegir el mayor A _{i + 1} posible dado A _i produce lo que se llama la serie central superior . Dualmente, como A _n  =  G , el subgrupo conmutador [ G , G ] satisface [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n − 1} . Por lo tanto, la elección mínima para A _{n − 1} es [ G , G ]. Si se sigue eligiendo A _i como mínimo dado A _{i + 1} tal que [ G , A _{i + 1} ] ≤ A _i se obtiene lo que se denomina la serie central inferior . Estas series se pueden construir para cualquier grupo y, si un grupo tiene una serie central (es un grupo nilpotente), estos procedimientos producirán series centrales.

Serie central inferior

La serie central inferior (o serie central descendente ) de un grupo G es la serie descendente de subgrupos

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ G _n ⊵ ⋯,

donde, para cada n ,

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$,

el subgrupo de G generado por todos los conmutadores con y . Por lo tanto, , el subgrupo derivado de G , mientras que , etc. La serie central inferior a menudo se denota . Decimos que la serie termina o se estabiliza cuando , y el n más pequeño de ellos es la longitud de la serie. ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x\in G_{n}}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$ ${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$

Esto no debe confundirse con la serie derivada , cuyos términos son

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$,

no . Las dos series están relacionadas por . Por ejemplo, el grupo simétrico S ₃ es resoluble de clase 2: la serie derivada es S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e }. Pero no es nilpotente: su serie central inferior S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} no termina en { e }. Un grupo nilpotente es un grupo resoluble , y su longitud derivada es logarítmica en su clase de nilpotencia (Schenkman 1975, p. 201,216). ${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$ ${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$

Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central inferior hasta números ordinales infinitos mediante recursión transfinita : para un ordinal límite λ , defina

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

Si para algún ordinal λ , entonces se dice que G es un grupo hipocentral . Para cada ordinal λ , existe un grupo G tal que , pero para todo , (Malcev 1949). ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$

Si es el primer ordinal infinito, entonces es el subgrupo normal más pequeño de G tal que el cociente es residualmente nilpotente , es decir, tal que cada elemento no identidad tiene una imagen homomórfica no identidad en un grupo nilpotente (Schenkman 1975, p. 175,183). En el campo de la teoría de grupos combinatorios , es un resultado importante y temprano que los grupos libres son residualmente nilpotentes. De hecho, los cocientes de las series centrales inferiores son grupos abelianos libres con una base natural definida por conmutadores básicos (Hall 1959, cap. 11). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G_{\omega }}$

Si para algún n finito , entonces es el subgrupo normal más pequeño de G con cociente nilpotente, y se llama residuo nilpotente de G. Este es siempre el caso para un grupo finito, y define el término en la serie de ajuste inferior para G. ${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle F_{1}(G)}$

Si para todo n finito , entonces no es nilpotente, pero es residualmente nilpotente . ${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$ ${\displaystyle G/G_{\omega }}$

No existe un término general para la intersección de todos los términos de la serie central inferior transfinita, análoga al hipercentro (abajo).

Serie central superior

La serie central superior (o serie central ascendente ) de un grupo G es la secuencia de subgrupos

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

donde cada grupo sucesivo se define por:

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

y se llama el i ésimo centro de G (respectivamente, segundo centro , tercer centro , etc.). En este caso, es el centro de G , y para cada grupo sucesivo, el grupo factorial es el centro de , y se llama cociente de serie central superior . Nuevamente, decimos que la serie termina si se estabiliza en una cadena de igualdades, y su longitud es el número de grupos distintos en ella. ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$ ${\displaystyle G/Z_{i}}$

Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central superior hasta números ordinales infinitos mediante recursión transfinita : para un ordinal límite λ , definir

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

El límite de este proceso (la unión de los centros superiores) se llama hipercentro del grupo.

Si la serie central superior transfinita se estabiliza en todo el grupo, entonces el grupo se llama hipercentral . Los grupos hipercentrales disfrutan de muchas propiedades de los grupos nilpotentes, como la condición del normalizador (el normalizador de un subgrupo propio contiene adecuadamente al subgrupo), los elementos de orden coprimo conmutan y los grupos hipercentrales periódicos son la suma directa de sus p -subgrupos de Sylow (Schenkman 1975, Cap. VI.3). Para cada ordinal λ hay un grupo G con Z _λ ( G ) = G , pero Z _α ( G ) ≠ G para α < λ , (Gluškov 1952) y (McLain 1956).

Conexión entre las series centrales inferior y superior

Existen varias conexiones entre la serie central inferior (LCS) y la serie central superior (UCS) (Ellis 2001), particularmente para los grupos nilpotentes .

Para un grupo nilpotente, las longitudes del LCS y el UCS concuerdan, y esta longitud se llama la clase de nilpotencia del grupo. Sin embargo, el LCS y el UCS de un grupo nilpotente pueden no tener necesariamente los mismos términos. Por ejemplo, mientras que el UCS y el LCS concuerdan para el grupo cíclico C ₂ ⊵ { e } y el grupo de cuaterniones Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1}, el UCS y el LCS de su producto directo C ₂ × Q ₈ no concuerdan: su LCS es C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}, mientras que su UCS es C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}.

Un grupo es abeliano si y solo si el LCS termina en el primer paso (el subgrupo conmutador es el subgrupo trivial), si y solo si el UCS termina en el primer paso (el centro es el grupo entero).

Por el contrario, el LCS termina en el paso cero si y solo si el grupo es perfecto (el conmutador es el grupo entero), mientras que el UCS termina en el paso cero si y solo si el grupo no tiene centro (centro trivial), que son conceptos distintos. Para un grupo perfecto, el UCS siempre se estabiliza en el primer paso ( lema de Grün ). Sin embargo, un grupo sin centro puede tener un LCS muy largo: un grupo libre en dos o más generadores no tiene centro, pero su LCS no se estabiliza hasta el primer ordinal infinito. Esto muestra que las longitudes del LCS y el UCS no necesitan coincidir en general.

Serie central refinada

En el estudio de los grupos p (que siempre son nilpotentes), a menudo es importante utilizar series centrales más largas. Una clase importante de tales series centrales son las series centrales de exponente p ; es decir, una serie central cuyos cocientes son grupos abelianos elementales , o lo que es lo mismo, tienen exponente p . Existe una única serie de tales series que desciende más rápidamente, la serie central de exponente p menor λ definida por:

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$, y

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$.

El segundo término, , es igual a , el subgrupo de Frattini . La serie central de exponente inferior p a veces se denomina simplemente serie central p . ${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$ ${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

Existe una única serie de este tipo que asciende con mayor rapidez, la serie central p del exponente superior S, definida por:

S0 ( G ) ₌ 1

S _{n + 1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

donde Ω( Z ( H )) denota el subgrupo generado por (e igual a) el conjunto de elementos centrales de H de orden que divide p . El primer término, S ₁ ( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos y por lo tanto es igual al zócalo de G . Por esta razón, la serie central de exponente superior- p a veces se conoce como la serie del zócalo o incluso la serie de Loewy, aunque esta última se usa generalmente para indicar una serie descendente.

A veces son útiles otros refinamientos de la serie central, como la serie de Jennings κ definida por:

κ ₁ ( G ) = G , y

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p , donde i es el entero más pequeño mayor o igual a n / p .

La serie de Jennings recibe su nombre de Stephen Arthur Jennings, quien utilizó la serie para describir la serie de Loewy del anillo de grupo modular de un grupo p .

Véase también

• Serie nilpotente , un concepto análogo para grupos resolubles
• Relaciones padre-descendiente para grupos p finitos definidos por varios tipos de series centrales
• Grupo unipotente

Referencias

• Ellis, Graham (octubre de 2001), "Sobre la relación entre los cocientes centrales superiores y las series centrales inferiores de un grupo", Transactions of the American Mathematical Society , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02812-4 , JSTOR  2693793
• Gluškov, VM (1952), "Sobre la serie central de grupos infinitos", Mat. Sbornik , New Series, 31 : 491–496, MR  0052427
• Hall, Marshall (1959), La teoría de grupos , Macmillan, MR  0103215
• Malcev, AI (1949), "Álgebras nilpotentes generalizadas y sus grupos asociados", Mat. Sbornik , Nueva serie, 25 (67): 347–366, MR  0032644
• McLain, DH (1956), "Observaciones sobre la serie central superior de un grupo", Proc. Glasgow Math. Assoc. , 3 : 38–44, doi : 10.1017/S2040618500033414 , MR  0084498
• Schenkman, Eugene (1975), Teoría de grupos , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, Sr.  0460422, especialmente el capítulo VI.