Grupo solucionable

Grupo con series subnormales donde todos los factores son abelianos

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría de grupos , un grupo resoluble o soluble es un grupo que se puede construir a partir de grupos abelianos utilizando extensiones . De manera equivalente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada termina en el subgrupo trivial .

Motivación

Históricamente, la palabra "soluble" surgió de la teoría de Galois y de la prueba de la insolubilidad general de las ecuaciones de quinto grado . En concreto, una ecuación polinómica es resoluble en radicales si y solo si el grupo de Galois correspondiente es resoluble ^[1] (nótese que este teorema se cumple solo en la característica 0). Esto significa que asociado a un polinomio hay una torre de extensiones de campo. ${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}$

de tal manera que

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$donde , entonces es una solución a la ecuación donde ${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$ ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$contiene un campo de división para ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplo

Por ejemplo, la extensión del campo de Galois más pequeña que contiene el elemento ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

Da un grupo resoluble. Tiene extensiones de campo asociadas.

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

dando un grupo resoluble de extensiones de Galois que contienen los siguientes factores de composición :

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo y polinomio mínimo . ${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo y polinomio mínimo . ${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$con acción de grupo y polinomio mínimo que contiene las raíces 5 de la unidad excluyendo . ${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$con acción de grupo y polinomio mínimo . ${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$ ${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

, donde es la permutación de identidad. Todas las acciones de grupo que definen cambian una única extensión mientras que mantienen fijas todas las demás extensiones. Por ejemplo, un elemento de este grupo es la acción de grupo . Un elemento general del grupo se puede escribir como para un total de 80 elementos. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$ ${\displaystyle f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4}$

Vale la pena señalar que este grupo no es abeliano en sí mismo. Por ejemplo:

${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$

${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$

De hecho, en este grupo, . El grupo resoluble es isométrico a , definido mediante el producto semidirecto y el producto directo de los grupos cíclicos . En el grupo resoluble, no es un subgrupo normal. ${\displaystyle jh=hj^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {C} _{4})\times (\mathbb {C} _{2}\times \mathbb {C} _{2}),\ \mathrm {where} \ \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{4}}$

Definición

Un grupo G se llama resoluble si tiene una serie subnormal cuyos grupos factoriales (grupos cociente) son todos abelianos , es decir, si existen subgrupos

${\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}$

lo que significa que G _{j −1} es normal en G _j , tal que G _j  / G _{j −1} es un grupo abeliano, para j = 1, 2, ..., k .

O equivalentemente, si su serie derivada es , la serie normal descendente

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

donde cada subgrupo es el subgrupo conmutador del anterior, llega finalmente al subgrupo trivial de G . Estas dos definiciones son equivalentes, ya que para cada grupo H y cada subgrupo normal N de H , el cociente H / N es abeliano si y sólo si N incluye al subgrupo conmutador de H . El menor n tal que G ^{( n )} = 1 se llama longitud derivada del grupo resoluble G .

Para los grupos finitos, una definición equivalente es que un grupo resoluble es un grupo con una serie de composición cuyos factores son todos grupos cíclicos de orden primo . Esto es equivalente porque un grupo finito tiene una longitud de composición finita, y todo grupo abeliano simple es cíclico de orden primo. El teorema de Jordan-Hölder garantiza que si una serie de composición tiene esta propiedad, entonces todas las series de composición también tendrán esta propiedad. Para el grupo de Galois de un polinomio, estos grupos cíclicos corresponden a las n -ésimas raíces (radicales) sobre algún cuerpo . La equivalencia no se cumple necesariamente para los grupos infinitos: por ejemplo, dado que todo subgrupo no trivial del grupo Z de números enteros bajo adición es isomorfo al propio Z , no tiene serie de composición, pero la serie normal {0, Z }, con su único grupo factorial isomorfo a Z , demuestra que, de hecho, es resoluble.

Ejemplos

Grupos abelianos

El ejemplo básico de grupos resolubles son los grupos abelianos. Son trivialmente resolubles, ya que una serie subnormal está formada únicamente por el propio grupo y el grupo trivial. Pero los grupos no abelianos pueden o no ser resolubles.

Grupos nilpotentes

En términos más generales, todos los grupos nilpotentes son resolubles. En particular, los p -grupos finitos son resolubles, ya que todos los p -grupos finitos son nilpotentes.

Grupos de cuaterniones

En particular, el grupo de cuaterniones es un grupo resoluble dado por la extensión de grupo

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}$

donde el núcleo es el subgrupo generado por . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle -1}$

Extensiones de grupo

Las extensiones de grupo forman los ejemplos prototípicos de grupos resolubles. Es decir, si y son grupos resolubles, entonces cualquier extensión ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

define un grupo resoluble . De hecho, todos los grupos resolubles pueden formarse a partir de dichas extensiones de grupo. ${\displaystyle G''}$

Grupo no abeliano que no es nilpotente

Un pequeño ejemplo de un grupo resoluble no nilpotente es el grupo simétrico S ₃ . De hecho, como el grupo no abeliano simple más pequeño es A ₅ , (el grupo alternado de grado 5) se deduce que todo grupo con orden menor que 60 es resoluble.

Grupos finitos de orden impar

El teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar es resoluble. En particular, esto implica que si un grupo finito es simple, es un cíclico primo o de orden par.

No-ejemplo

El grupo S ₅ no es resoluble —tiene una serie de composición {E, A ₅ , S ₅ } (y el teorema de Jordan-Hölder establece que cualquier otra serie de composición es equivalente a esa), dando grupos factoriales isomorfos a A ₅ y C ₂ ; y A ₅ no es abeliano. Generalizando este argumento, junto con el hecho de que A _n es un subgrupo normal, maximal y no abeliano simple de S _n para n > 4, vemos que S _n no es resoluble para n > 4. Este es un paso clave en la prueba de que para cada n > 4 hay polinomios de grado n que no son resolubles por radicales ( teorema de Abel-Ruffini ). Esta propiedad también se utiliza en la teoría de la complejidad en la prueba del teorema de Barrington .

Subgrupos de GL2

Considere los subgrupos

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$de ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

para algún campo . Entonces, el cociente de grupo se puede encontrar tomando elementos arbitrarios en , multiplicándolos entre sí y determinando qué estructura da esto. Entonces ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B/U}$ ${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Nótese que la condición determinante en implica , por lo tanto es un subgrupo (que son las matrices donde ). Para fijo , la ecuación lineal implica , que es un elemento arbitrario en ya que . Ya que podemos tomar cualquier matriz en y multiplicarla por la matriz ${\displaystyle GL_{2}}$ ${\displaystyle ac\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ad+b=0}$ ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

Con , podemos obtener una matriz diagonal en . Esto muestra el grupo cociente . ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

Observación

Nótese que esta descripción da la descomposición de como donde actúa sobre por . Esto implica . Además, una matriz de la forma ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$ ${\displaystyle (a,c)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$ ${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

corresponde al elemento del grupo. ${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

Subgrupos de Borel

Para un grupo algebraico lineal , un subgrupo de Borel se define como un subgrupo que es cerrado, conexo y resoluble en , y es un subgrupo máximo posible con estas propiedades (nótese que las dos primeras son propiedades topológicas). Por ejemplo, en y los grupos de matrices triangulares superiores o triangulares inferiores son dos de los subgrupos de Borel. El ejemplo dado arriba, el subgrupo en , es un subgrupo de Borel. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL_{2}}$

Subgrupo Borel en GL₃

Allí están los subgrupos ${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

Observe que, por lo tanto, el grupo de Borel tiene la forma ${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

Subgrupo de Borel en el producto de grupos algebraicos lineales simples

En el grupo de productos, el subgrupo Borel se puede representar mediante matrices de la forma ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

donde es una matriz triangular superior y es una matriz triangular superior. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\times m}$

Grupos Z

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p -Sylow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular resolubles. Tales grupos se denominan grupos Z.

Valores de la OEIS

Los números de grupos resolubles con orden n son (comienzan con n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (secuencia A201733 en la OEIS )

Los órdenes de grupos no resolubles son

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (secuencia A056866 en la OEIS )

Propiedades

La solubilidad está limitada por un cierto número de operaciones.

• Si G es resoluble y H es un subgrupo de G , entonces H es resoluble. ^[2]
• Si G es resoluble, y hay un homomorfismo de G sobre H , entonces H es resoluble; equivalentemente (por el primer teorema de isomorfismo ), si G es resoluble, y N es un subgrupo normal de G , entonces G / N es resoluble. ^[3]
• Las propiedades anteriores se pueden ampliar a la siguiente propiedad "tres por el precio de dos": G es solucionable si y sólo si tanto N como G / N son solucionables.
• En particular, si G y H son solubles, el producto directo G × H es soluble.

La solubilidad está cerrada bajo la extensión del grupo :

• Si H y G / H son solubles, entonces también lo es G ; en particular, si N y H son solubles, su producto semidirecto también es soluble.

También se incluye el producto cerrado bajo corona:

• Si G y H son resolubles, y X es un conjunto G , entonces el producto de corona de G y H con respecto a X también es resoluble.

Para cualquier entero positivo N , los grupos resolubles de longitud derivada como máximo N forman una subvariedad de la variedad de grupos, ya que están cerrados bajo la toma de imágenes homomórficas , subálgebras y productos (directos) . El producto directo de una secuencia de grupos resolubles con longitud derivada ilimitada no es resoluble, por lo que la clase de todos los grupos resolubles no es una variedad.

Teorema de Burnside

El teorema de Burnside establece que si G es un grupo finito de orden p ^a q ^b donde p y q son números primos , y a y b son números enteros no negativos , entonces G es resoluble.

Conceptos relacionados

Grupos supersolubles

Como un fortalecimiento de la solubilidad, un grupo G se llama supersoluble (o supersoluble ) si tiene una serie normal invariante cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene longitud finita por definición, los grupos incontables no son supersolubles. De hecho, todos los grupos supersolubles son finitamente generados , y un grupo abeliano es supersoluble si y solo si es finitamente generado. El grupo alternante A ₄ es un ejemplo de un grupo resoluble finito que no es supersoluble.

Si nos limitamos a grupos finitamente generados, podemos considerar la siguiente disposición de clases de grupos:

cíclico < abeliano < nilpotente < supersoluble < policíclico < soluble < grupo finitamente generado .

Grupos virtualmente resolubles

Un grupo G se denomina virtualmente resoluble si tiene un subgrupo resoluble de índice finito. Esto es similar a virtualmente abeliano . Claramente todos los grupos resolubles son virtualmente resolubles, ya que uno puede simplemente elegir el grupo en sí, que tiene índice 1.

Hipoabelia

Un grupo resoluble es aquel cuya serie derivada alcanza el subgrupo trivial en una etapa finita . Para un grupo infinito, la serie derivada finita puede no estabilizarse, pero la serie derivada transfinita siempre se estabiliza. Un grupo cuya serie derivada transfinita alcanza el grupo trivial se llama grupo hipoabeliano , y todo grupo resoluble es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α tal que G ^{( α )} = G ^{( α +1)} se llama longitud derivada (transfinita) del grupo G , y se ha demostrado que todo ordinal es la longitud derivada de algún grupo (Malcev 1949).

p-soluble

Un grupo finito es resoluble para algún primo p si cada factor en la serie de composición es un grupo p o tiene orden primo a p. Un grupo finito es resoluble si y solo si es resoluble para cada p. ^[4]

Véase también

• Grupo prosoluble

Notas

1. Milne. Teoría de campos (PDF) . pág. 45.
2. Rotman (1995), Teorema 5.15 , pág. 102, en Google Books
3. Rotman (1995), Teorema 5.16 , pág. 102, en Google Books
4. "grupos resolubles p". Wiki de propiedades de grupo .

Referencias

• Malcev, AI (1949), "Álgebras nilpotentes generalizadas y sus grupos asociados", Mat. Sbornik , Nueva Serie, 25 (67): 347–366, MR  0032644
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 148 (4.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A056866 (Órdenes de grupos no resolubles)
• Grupos resolubles como extensiones iteradas