En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el término grupo Z se refiere a varios tipos distintos de grupos :
En el estudio de los grupos finitos , un grupo Z es un grupo finito cuyos subgrupos de Sylow son todos cíclicos . El Z se origina tanto del alemán Zyklische como de su clasificación en (Zassenhaus 1935). En muchos libros de texto estándar, estos grupos no tienen un nombre especial, aparte de grupos metacíclicos , pero ese término se usa a menudo de manera más general en la actualidad. Consulte grupo metacíclico para obtener más información sobre la definición general y moderna que incluye grupos p no cíclicos ; consulte (Hall 1959, Th. 9.4.3) para la definición clásica más estricta más relacionada con los grupos Z.
Todo grupo cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos es en sí mismo metacíclico , por lo tanto supersoluble . De hecho, un grupo de este tipo tiene un subgrupo derivado cíclico con cociente abeliano cíclico máximo. Un grupo de este tipo tiene la presentación (Hall 1959, Th. 9.4.3):
La teoría de caracteres de los grupos Z se entiende bien (Çelik 1976), ya que son grupos monomiales .
La longitud derivada de un grupo Z es como máximo 2, por lo que los grupos Z pueden ser insuficientes para algunos usos. Una generalización debida a Hall son los grupos A , aquellos grupos con subgrupos de Sylow abelianos . Estos grupos se comportan de manera similar a los grupos Z, pero pueden tener una longitud derivada arbitrariamente grande (Hall 1940). Otra generalización debida a (Suzuki 1955) permite al subgrupo 2 de Sylow más flexibilidad, incluyendo grupos diédricos y de cuaterniones generalizados .
La definición de serie central utilizada para el grupo Z es algo técnica. Una serie de G es una colección S de subgrupos de G , ordenados linealmente por inclusión, tales que para cada g en G , los subgrupos A g = ∩ { N en S : g en N } y B g = ∪ { N en S : g no en N } están ambos en S . Una serie central (generalizada) de G es una serie tal que cada N en S es normal en G y tal que para cada g en G , el cociente A g / B g está contenido en el centro de G / B g . Un grupo Z es un grupo con una serie central (generalizada) de este tipo. Los ejemplos incluyen los grupos hipercentrales cuyas series centrales superiores transfinitas forman una serie central de este tipo, así como los grupos hipocentrales cuyas series centrales inferiores transfinitas forman una serie central de este tipo (Robinson 1996).
Un (Z)-grupo es un grupo representado fielmente como un grupo de permutación doblemente transitivo en el que ningún elemento no identidad fija más de dos puntos. Un (ZT)-grupo es un (Z)-grupo que es de grado impar y no un grupo de Frobenius , es decir un grupo de Zassenhaus de grado impar, también conocido como uno de los grupos PSL(2,2 k +1 ) o Sz(2 2 k +1 ) , para k cualquier entero positivo (Suzuki 1961).
