grupo metacíclico

Ampliación de un grupo cíclico por un grupo cíclico

En teoría de grupos , un grupo metacíclico es una extensión de un grupo cíclico por un grupo cíclico. Es decir, es un grupo G para el cual existe una secuencia exacta corta

${\displaystyle 1\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 1,\,}$

donde H y K son cíclicos. De manera equivalente, un grupo metacíclico es un grupo G que tiene un subgrupo normal cíclico N , de modo que el cociente G / N también es cíclico.

Propiedades

Los grupos metacíclicos son supersolubles y metabelianos .

Ejemplos

• Cualquier grupo cíclico es metacíclico.
• El producto directo o producto semidirecto de dos grupos cíclicos es metacíclico. Estos incluyen los grupos diédricos y los grupos cuasidiédricos .
• Los grupos dicíclicos son metacíclicos. (Tenga en cuenta que un grupo dicíclico no es necesariamente un producto semidirecto de dos grupos cíclicos).
• Todo grupo finito de orden libre de cuadrados es metacíclico.
• De manera más general, cada grupo Z es metacíclico. Un grupo Z es un grupo cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos.

Referencias

• AL Shmel'kin (2001) [1994], "Grupo metacíclico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press