En matemáticas , un grupo metabeliano es un grupo cuyo subgrupo conmutador es abeliano . De manera equivalente, un grupo G es metabeliano si y sólo si hay un subgrupo A normal abeliano tal que el grupo cociente G/A es abeliano.
Los subgrupos de grupos metabelianos son metabelianos, al igual que las imágenes de grupos metabelianos sobre homomorfismos de grupo .
Los grupos metabelianos tienen solución . De hecho, son precisamente los grupos solubles de longitud derivada como máximo 2.
Ejemplos
- Cualquier grupo diédrico es metabeliano, ya que tiene un subgrupo normal cíclico de índice 2. De manera más general, cualquier grupo diédrico generalizado es metabeliano, ya que tiene un subgrupo normal abeliano de índice 2.
- Si F es un campo , el grupo de aplicaciones afines (donde a ≠ 0) que actúan sobre F es metabeliano. Aquí el subgrupo normal abeliano es el grupo de traslaciones puras , y el grupo cociente abeliano es isomorfo al grupo de homotecias . Si F es un campo finito con q elementos, este grupo metabeliano es de orden q ( q − 1).
![{\displaystyle x\mapsto ax+b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El grupo de isometrías directas del plano euclidiano es metabeliano. Esto es similar al ejemplo anterior, ya que los elementos nuevamente son mapas afines. Las traslaciones del plano forman un subgrupo normal abeliano del grupo, y el cociente correspondiente es el grupo circular .
- El grupo finito de Heisenberg H 3, p de orden p 3 es metabeliano. Lo mismo ocurre con cualquier grupo de Heisenberg definido sobre un anillo (grupo de matrices triangulares superiores de 3 × 3 con entradas en un anillo conmutativo ).
- Todos los grupos nilpotentes de clase 3 o menos son metabelianos.
- El grupo de los faroleros es metabeliano.
- Todos los grupos de orden p 5 son metabelianos (para p primo ). [1]
- Todos los grupos de orden menor que 24 son metabelianos.
En contraste con este último ejemplo, el grupo simétrico S 4 de orden 24 no es metabeliano, ya que su subgrupo conmutador es el grupo alterno no abeliano A 4 .
Referencias
enlaces externos
- Ryan Wisnesky , Grupos solubles (subsección Grupos metabelianos )
- Groupprops, El grupo Metabelian Wiki Propiedades del grupo