Árbol descendiente (teoría de grupos)

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , un árbol descendiente es una estructura jerárquica que visualiza las relaciones padre-descendiente entre clases de isomorfismo de grupos finitos de orden de potencia primo , para un número primo fijo y exponentes enteros variables . Dichos grupos se denominan brevemente p-grupos finitos . Los vértices de un árbol descendiente son clases de isomorfismo de p -grupos finitos. ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Además de su orden , los p -grupos finitos tienen dos invariantes más relacionados, la clase de nilpotencia y la coclase . Resultó que los árboles descendientes de un tipo particular, los llamados árboles de coclase podados cuyos infinitos vértices comparten una coclase común , revelan un patrón finito repetitivo. Estas dos propiedades cruciales de finitud y periodicidad admiten una caracterización de todos los miembros del árbol por un número finito de presentaciones parametrizadas . En consecuencia, los árboles descendientes juegan un papel fundamental en la clasificación de p -grupos finitos. Por medio de núcleos y objetivos de homomorfismos de transferencia de Artin , los árboles descendientes pueden ser dotados de estructura adicional. ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r=n-c}$ ${\displaystyle r}$

Una pregunta importante es cómo se puede construir realmente el árbol descendiente para un grupo inicial asignado que se toma como la raíz del árbol. El algoritmo de generación de p -grupos es un proceso recursivo para construir el árbol descendiente de un p -grupo finito dado que desempeña el papel de la raíz del árbol. Este algoritmo se implementa en los sistemas de álgebra computacional GAP y Magma . ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Definiciones y terminología

Según MF Newman, ^[1] existen varias definiciones distintas del padre de un p -grupo finito . El principio común es formar el cociente de por un subgrupo normal adecuado que puede ser ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$

PAG

1. el centro de , de donde se llama cociente central de , o ${\displaystyle N=\zeta _{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/\zeta _{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$
2. el último término no trivial de la serie central inferior de , donde denota la clase de nilpotencia de , o ${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$
3. el último término no trivial de la serie central de exponente inferior p de , donde denota la clase de exponente p de , o ${\displaystyle N=P_{c-1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$
4. el último término no trivial de la serie derivada de , donde denota la longitud derivada de . ${\displaystyle N=G^{(d-1)}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$

En cada caso, se denomina descendiente inmediato de y una arista dirigida del árbol se define ya sea por en la dirección de la proyección canónica sobre el cociente o por en la dirección opuesta, que es más habitual para los árboles descendientes. La primera convención es adoptada por CR Leedham-Green y MF Newman, ^[2] por M. du Sautoy y D. Segal, ^[3] por CR Leedham-Green y S. McKay, ^[4] y por B. Eick, CR Leedham-Green, MF Newman y EA O'Brien. ^[5] La última definición es utilizada por MF Newman, ^[1] por MF Newman y EA O'Brien, ^[6] por M. du Sautoy, ^[7] y por B. Eick y CR Leedham-Green. ^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ ${\displaystyle \pi (G)\to G}$

A continuación, se selecciona la dirección de las proyecciones canónicas para todas las aristas. Luego, de manera más general, un vértice es descendiente de un vértice y es ancestro de , si es igual a o existe un camino ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, con , ${\displaystyle m\geq 1}$

de aristas dirigidas desde hasta . Los vértices que forman el camino coinciden necesariamente con los padres iterados de , con : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq m}$

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, con , ${\displaystyle m\geq 1}$

En el caso especial más importante (P2) de los padres definidos como los últimos cocientes centrales inferiores no triviales, también pueden verse como los cocientes sucesivos de la clase de cuando la clase de nilpotencia de está dada por : ${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$ ${\displaystyle c-j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c\geq m}$

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$, con . ${\displaystyle c\geq m\geq 1}$

En general, el árbol descendiente de un vértice es el subárbol de todos los descendientes de , comenzando en la raíz . El árbol descendiente máximo posible del grupo trivial contiene todos los p -grupos finitos y es algo excepcional, ya que, para cualquier definición padre (P1–P4), el grupo trivial tiene infinitos p -grupos abelianos como sus descendientes inmediatos. Las definiciones padre (P2–P3) tienen la ventaja de que cualquier p -grupo finito no trivial (de orden divisible por ) posee solo un número finito de descendientes inmediatos. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$

Pro-paggrupos y árboles de coclases

Para una buena comprensión de los árboles de coclase como una instancia particular de árboles descendientes, es necesario resumir algunos hechos concernientes a los grupos p- topológicos infinitos . Los miembros , con , de la serie central inferior de un grupo p- son subgrupos cerrados (y abiertos) de índice finito, y por lo tanto los cocientes correspondientes son p -grupos finitos. Se dice que el grupo p- es de coclase cuando el límite de la coclase de los cocientes sucesivos existe y es finito. Un grupo p- infinito de coclase es un grupo preespacial p -ádico , ^[5] ya que tiene un subgrupo normal , el grupo de traslación , que es un módulo libre sobre el anillo de enteros p -ádicos de rango determinado de manera única , la dimensión , tal que el cociente es un p -grupo finito , el grupo puntual , que actúa sobre uniserialmente . La dimensión está dada por ${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$ ${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P=S/T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$, con algunos . ${\displaystyle 0\leq s<r}$

Un resultado de finitud central para grupos infinitos pro- p de coclase lo proporciona el llamado Teorema D , que es uno de los cinco Teoremas de Coclase demostrados en 1994 independientemente por A. Shalev ^[9] y por CR Leedham-Green , ^[10] y conjeturado ya en 1980 por CR Leedham-Green y MF Newman. ^[2] El Teorema D afirma que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de grupos infinitos pro- p de coclase , para cualquier primo fijo y cualquier entero no negativo fijo . En consecuencia, si es un grupo infinito pro- p de coclase , entonces existe un entero mínimo tal que se satisfacen las tres condiciones siguientes para cualquier entero . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle j\geq i}$

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$,
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$no es un cociente central inferior de ningún grupo pro- p infinito de coclase que no sea isomorfo a , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$es cíclico de orden . ${\displaystyle p}$

El árbol descendiente , con respecto a la definición padre (P2), de la raíz con mínimo se llama árbol de coclase de y su único camino infinito máximo (dirigido en sentido inverso) ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

se llama línea principal (o tronco ) del árbol.

Figura 1: Un árbol descendiente. Las ramas B(2),B(4) tienen profundidad 0 y B(5),B(7) y B(6),B(8) son isomorfas como árboles.

Diagrama de árbol

En la Figura 1 se explica la terminología adicional, utilizada en diagramas que visualizan partes finitas de árboles descendientes, mediante un árbol abstracto artificial. En el lado izquierdo, un nivel indica el diseño básico de arriba hacia abajo de un árbol descendiente. Para árboles concretos, como los de la Figura 2, respectivamente la Figura 3, etc., el nivel suele sustituirse por una escala de órdenes crecientes de arriba hacia abajo. Un vértice es capaz (o extensible ) si tiene al menos un descendiente inmediato; de lo contrario, es terminal (o una hoja ). Los vértices que comparten un padre común se denominan hermanos .

Si el árbol descendiente es un árbol de coclase con raíz y con vértices de la línea principal etiquetados según el nivel , entonces el subárbol finito se define como el conjunto de diferencias ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R=R_{0}}$ ${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

se llama la n ésima rama (o ramita ) del árbol o también la rama con raíz , para cualquier . La profundidad de una rama es la longitud máxima de los caminos que conectan sus vértices con su raíz. La figura 1 muestra un árbol de coclases abstracto artificial cuyas ramas y ambas tienen profundidad , y las ramas y son isomorfas por pares como grafos. Si todos los vértices de profundidad mayores que un entero dado se eliminan de la rama , entonces obtenemos la rama podada en profundidad . Correspondientemente, el árbol de coclases podado en profundidad , resp. todo el árbol de coclases , consiste en la secuencia infinita de sus ramas podadas , resp. ramas , conectadas por la línea principal, cuyos vértices se llaman infinitamente capaces . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

Periodicidad virtual

La periodicidad de las ramas de árboles de coclases podados en profundidad ha sido probada con métodos analíticos usando funciones zeta ^[3] de grupos por M. du Sautoy, ^[7] y con técnicas algebraicas usando grupos de cohomología por B. Eick y CR Leedham-Green. ^[8] Los primeros métodos admiten la percepción cualitativa de la periodicidad virtual última , las últimas técnicas determinan la estructura cuantitativa.

Teorema. Para cualquier grupo infinito de coclase y dimensión , y para cualquier profundidad dada , existe un límite inferior mínimo efectivo , donde la periodicidad de la longitud de las ramas podadas del árbol de coclase se establece en , es decir, existen isomorfismos de grafos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle f(k)\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$Para todos . ${\displaystyle n\geq f(k)}$

Para comprobarlo, haga clic en mostrar en el lado derecho.

Prueba

Los isomorfismos gráficos de ramas podadas en profundidad con raíces de orden suficientemente grande se derivan con métodos cohomológicos en el Teorema 6, p. 277 y el Teorema 9, p. 278 de Eick y Leedham-Green ^[8] y el límite inferior efectivo para los órdenes de raíces de las ramas se establece en el Teorema 29, p. 287, de este artículo. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\geq f(k)}$ ${\displaystyle f(k)}$

Estos resultados centrales pueden expresarse ostensiblemente: cuando observamos un árbol de coclases a través de un par de anteojeras e ignoramos un número finito de ramas preperiódicas en la parte superior, entonces veremos un patrón finito que se repite ( periodicidad última ). Sin embargo, si tomamos anteojeras más anchas, la sección inicial preperiódica puede volverse más larga ( periodicidad virtual ).

El vértice se denomina raíz periódica del árbol de coclases podado, para un valor fijo de profundidad . Véase la Figura 1. ${\displaystyle P=R_{f(k)}}$ ${\displaystyle k}$

Gráficos de multifurcación y coclase

Supongamos que los padres de p -grupos finitos se definen como los últimos cocientes centrales inferiores no triviales (P2). Para un p -grupo de coclase , podemos distinguir su árbol descendiente (entero) y su árbol descendiente de coclase , es decir, el subárbol que consiste solo en descendientes de la coclase. El grupo se denomina establecido por coclase si , es decir, si no hay descendientes de con coclase mayor que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

El rango nuclear en la teoría del algoritmo de generación de p -grupos de MF Newman ^[11] y EA O'Brien ^[12] proporciona los siguientes criterios. ${\displaystyle \nu (G)}$ ${\displaystyle G}$

norte

1. ${\displaystyle G}$es terminal, y por lo tanto trivialmente coclase establecida, si y sólo si . ${\displaystyle \nu (G)=0}$
2. Si , entonces es capaz, pero sigue sin saberse si está establecido por coclase. ${\displaystyle \nu (G)=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
3. Si , entonces es capaz y definitivamente no está establecido en coclase. ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle G}$

En el último caso, es posible una afirmación más precisa: Si tiene coclase y rango nuclear , entonces da lugar a una multifurcación m -fold en un árbol descendiente de coclase regular -r y grafos descendientes irregulares de coclase , para . En consecuencia, el árbol descendiente de es la unión disjunta ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$ ${\displaystyle r+j}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$.

La multifurcación está correlacionada con diferentes órdenes de la última central inferior no trivial de los descendientes inmediatos. Dado que la clase de nilpotencia aumenta exactamente en una unidad, , de un progenitor a cualquier descendiente inmediato , la coclase permanece estable, , si la última central inferior no trivial es cíclica de orden , ya que entonces el exponente del orden también aumenta exactamente en una unidad, . En este caso, es un descendiente inmediato regular con arista dirigida de tamaño de paso , como es habitual. Sin embargo, la coclase aumenta en , si con . Entonces se llama descendiente inmediato irregular con arista dirigida de tamaño de paso . ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$ ${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$ ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$ ${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle m}$

Si se impone la condición del tamaño del paso en todos los bordes dirigidos, entonces el árbol descendiente máximo del grupo trivial se divide en una unión disjunta infinitamente contable. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

de grafos coclase dirigidos , que son más bosques que árboles. Más precisamente, los teoremas de coclase mencionados anteriormente implican que ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

es la unión disjunta de un número finito de árboles de coclases de grupos pro -p infinitos no isomorfos por pares de coclases (Teorema D) y un subgrafo finito de grupos esporádicos que se encuentran fuera de cualquier árbol de coclases. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

Identificadores

Los identificadores de la biblioteca SmallGroups de grupos finitos, en particular de p -grupos finitos, se dan en la forma

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

En los siguientes ejemplos concretos de árboles descendientes, se deben a HU Besche, B. Eick y EA O'Brien. ^{[13] [14]} Cuando los órdenes de grupo se dan en una escala en el lado izquierdo, como en la Figura 2 y la Figura 3, los identificadores se denotan brevemente por

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$.

Dependiendo del primo , existe un límite superior en el orden de los grupos para los que existe un identificador SmallGroup, p. ej. , para y para . Para grupos de órdenes mayores, se emplea una notación con identificadores generalizados que se asemejan a la estructura del descendiente. Un descendiente inmediato regular, conectado por una arista de tamaño de paso con su padre , se denota por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 512=2^{9}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 6561=3^{8}}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$,

y un descendiente inmediato irregular, conectado por un borde de tamaño de paso con su padre , se denota por ${\displaystyle s\geq 2}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$.

Las implementaciones del algoritmo de generación de p -grupos en los sistemas de álgebra computacional GAP y Magma utilizan estos identificadores generalizados, que se remontan a JA Ascione en 1979. ^[15]

Ejemplos concretos de árboles

En todos los ejemplos, la definición original subyacente (P2) corresponde a la serie central inferior habitual. Se señalan las diferencias ocasionales con la definición original (P3) con respecto a la serie central de exponente inferior ( p) .

Coclase 0

El gráfico de coclases

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

de p -grupos finitos de coclase no contiene ningún árbol de coclase y por lo tanto consta exclusivamente de grupos esporádicos, a saber, el grupo trivial y el grupo cíclico de orden , que es una hoja (sin embargo, es capaz con respecto a la serie central de exponente inferior p ). Para el identificador SmallGroup de es , ya que es . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$

Figura 2: El gráfico de coclases de 2 grupos finitos con coclase 1

Coclase 1

El gráfico de coclases

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

de p -grupos finitos de coclase , también llamado de clase maximal , consiste en el árbol de coclase único con raíz , el p -grupo abeliano elemental de rango , y un único vértice aislado (un huérfano terminal sin padre propio en el mismo grafo de coclase, ya que la arista dirigida al grupo trivial tiene tamaño de paso ), el grupo cíclico de orden en la parte esporádica (sin embargo, este grupo es capaz con respecto a la serie central de exponente inferior p ). El árbol es el árbol de coclase del único grupo pro-p infinito de coclase . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ ${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle 1}$

Para , resp. , el identificador SmallGroup de la raíz es , resp. , y un diagrama de árbol del grafo de coclases de rama a rama (contado con respecto al p -logaritmo del orden de la raíz de la rama) se dibuja en la Figura 2, resp. Figura 3, donde todos los grupos de orden al menos son metabelianos , es decir no abelianos con longitud derivada (vértices representados por discos negros en contraste con cuadrados de contorno que indican grupos abelianos). En la Figura 3, los discos negros más pequeños denotan 3-grupos metabelianos donde incluso los subgrupos máximos son no abelianos, una característica que no ocurre para los 2-grupos metabelianos en la Figura 2, ya que todos poseen un subgrupo abeliano de índice (usualmente exactamente uno). El árbol de coclases de , resp. , tiene raíz periódica y periodicidad de longitud comenzando con la rama , resp. raíz periódica y periodicidad de longitud comenzando con la rama . Ambos árboles tienen ramas de profundidad limitada , por lo que su periodicidad virtual es de hecho una periodicidad estricta . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$ ${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$ ${\displaystyle 1}$

Sin embargo, el árbol de coclases de con tiene una profundidad ilimitada y contiene grupos no metabelianos, y el árbol de coclases de con incluso tiene un ancho ilimitado , es decir, el número de descendientes de un orden fijo aumenta indefinidamente con el crecimiento del orden. ^[16] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\geq 7}$

Con la ayuda de los núcleos y objetivos de las transferencias de Artin , los diagramas de las Figuras 2 y 3 pueden dotarse de información adicional y redibujarse como árboles descendientes estructurados .

Los ejemplos concretos y de los grafos de coclase brindan una oportunidad para dar una presentación parametrizada de conmutador de potencia policíclica ^[17] para el árbol de coclase completo , , mencionado en la sección introductoria como un beneficio del concepto de árbol descendiente y como consecuencia de la periodicidad de todo el árbol de coclase. En ambos casos, un grupo es generado por dos elementos pero la presentación contiene la serie de conmutadores superiores , , comenzando con el conmutador principal . La nilpotencia se expresa formalmente por la relación , cuando el grupo es de orden . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$ ${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$ ${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$ ${\displaystyle s_{n}=1}$ ${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$

Figura 3: El gráfico de coclases de 3 grupos finitos con coclase 1

Para , hay dos parámetros y la presentación de pc está dada por ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$

(13) ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

Los 2 grupos de clase máxima, es decir de coclase , forman tres secuencias infinitas periódicas , ${\displaystyle 1}$

• los grupos diedros , , , que forman la línea principal (con vértices infinitamente capaces), ${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• los grupos de cuaterniones generalizados, , , que son todos vértices terminales, ${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• los grupos semidiédricos , , , que también son hojas. ${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

Para , hay tres parámetros y y la presentación de PC está dada por ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$ ${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$

(14) ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

Los grupos de 3 con parámetro poseen un subgrupo máximo abeliano, los que tienen parámetro no lo tienen. Más precisamente, un subgrupo máximo abeliano existente es único, excepto por los dos grupos especiales adicionales y , donde los cuatro subgrupos máximos son abelianos. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$

A diferencia de cualquier coclase mayor , el grafo de coclase contiene exclusivamente p -grupos con abelianización de tipo , excepto por su único vértice aislado . El caso se distingue por la verdad de la afirmación inversa: Cualquier 2-grupo con abelianización de tipo es de coclase (Teorema de O. Taussky ^[18] ). ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle (2,2)}$ ${\displaystyle 1}$

Figura 4: La interfaz entre grupos finitos de 3 grupos de coclase 1 y 2 del tipo (3,3)

Coclase 2

La génesis del grafo de coclase con no es uniforme. A su constitución contribuyen p -grupos con varias abelianizaciones distintas. Para la coclase , hay contribuciones esenciales de grupos con abelianizaciones de los tipos , , , y una contribución aislada del grupo cíclico de orden : ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$ ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{3}}}$ ${\displaystyle p^{3}}$

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$.

Abelianización del tipo (pag,pag)

A diferencia de los p -grupos de coclase con abelianización de tipo o , que surgen como descendientes regulares de p -grupos abelianos de los mismos tipos, los p -grupos de coclase con abelianización de tipo surgen de descendientes irregulares de un p -grupo no abeliano de coclase que no está establecido en la coclase. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle 1}$

Para el primo , tales grupos no existen en absoluto, ya que el grupo 2 está establecido como coclase, lo que constituye la razón más profunda del teorema de Taussky. Este notable hecho ya fue observado por Giuseppe Bagnera ^[19] en 1898. ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$

Para primos impares , la existencia de p -grupos de coclase con abelianización de tipo se debe al hecho de que el grupo no está establecido por coclase. Su rango nuclear es igual a , lo que da lugar a una bifurcación del árbol descendiente en dos grafos de coclase. El componente regular es un subárbol del árbol único en el grafo de coclase . El componente irregular se convierte en un subgrafo del grafo de coclase cuando se eliminan las aristas de conexión del tamaño de paso de los descendientes inmediatos irregulares de . ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$

Para , este subgrafo se dibuja en la Figura 4, que muestra la interfaz entre 3-grupos finitos con coclase y de tipo . tiene siete vértices de nivel superior de tres tipos importantes, todos con orden , que han sido descubiertos por G. Bagnera . ^[19] ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (3,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 243=3^{5}}$

• En primer lugar, hay dos grupos σ de Schur terminales y en la parte esporádica del gráfico de coclase . ${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$
• En segundo lugar, los dos grupos y son raíces de árboles finitos en la parte esporádica . Sin embargo, dado que no están establecidos en coclases, los árboles completos son infinitos. ${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$
• Finalmente, los tres grupos , y dan lugar a árboles de coclases (infinitos), por ejemplo, , , , cada uno con una línea principal metabeliana, en el grafo de coclases . Ninguno de estos tres grupos está establecido por coclases. ${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$

Al mostrar información adicional sobre los núcleos y los objetivos de las transferencias de Artin, podemos dibujar estos árboles como árboles descendientes estructurados .

Definición. En general, un grupo de Schur (llamado grupo cerrado por I. Schur, quien acuñó el concepto) es un grupo pro- p cuyo rango de relación coincide con su rango de generador . Un σ-grupo es un grupo pro- p que posee un automorfismo que induce la inversión en su abelianización . Un σ-grupo de Schur es un grupo de Schur que también es un σ-grupo y tiene una abelianización finita . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$

${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$no es raíz de un árbol de coclase,

ya que su descendiente inmediato , que es raíz de un árbol de coclases con vértices de línea principal metabelianos, tiene dos hermanos , respectivamente , que dan lugar a un solo, respectivamente tres, árboles de coclases con vértices de línea principal no metabelianos que tienen centros cíclicos de orden y ramas de considerable complejidad pero, sin embargo, de profundidad limitada . ${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$ ${\displaystyle \langle 729,35\rangle }$ ${\displaystyle \langle 729,34\rangle }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 5}$

Grupos Pro-3 de coclase 2 con centro no trivial

B. Eick, CR Leedham-Green, MF Newman y EA O'Brien ^[5] han construido una familia de grupos pro-3 infinitos con coclase que tiene un centro de orden no trivial . Los miembros de la familia se caracterizan por tres parámetros . Sus cocientes finitos generan todos los vértices de la línea principal con centros bicíclicos del tipo de seis árboles de coclase en el grafo de coclase . La asociación de parámetros a las raíces de estos seis árboles se da en la Tabla 1, los diagramas de árbol, excepto la abelianización , se indican en la Figura 4 y la Figura 5, y la presentación pro-3 parametrizada se da por ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (f,g,h)}$ ${\displaystyle (3,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ ${\displaystyle (3,3,3)}$

(16) ${\displaystyle {\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}}$

Figura 5: Grupos finitos de 3 grupos de coclase 2 del tipo (9,3)

Abelianización del tipo (pag²,pag)

Para , los niveles superiores del subárbol del gráfico de coclase se dibujan en la Figura 5. Los vértices más importantes de este árbol son los ocho hermanos que comparten el padre común , que son de tres tipos importantes. ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ ${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$

• En primer lugar, hay tres hojas , , que tienen centro cíclico de orden , y una sola hoja con centro bicíclico de tipo . ${\displaystyle \langle 243,20\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,19\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,16\rangle }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \langle 243,18\rangle }$ ${\displaystyle (3,3)}$
• En segundo lugar, el grupo es raíz de un árbol finito . ${\displaystyle G=\langle 243,14\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)}$
• Finalmente, los tres grupos , y dan lugar a infinitos árboles de coclases, por ejemplo, , , , cada uno con una línea principal metabeliana, el primero con centros cíclicos de orden , el segundo y el tercero con centros bicíclicos de tipo . ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (3,3)}$

Aquí, no es raíz de un árbol de coclases, ya que además de su descendiente , que es raíz de un árbol de coclases con vértices de línea principal metabelianos, posee cinco descendientes más que dan lugar a árboles de coclases con vértices de línea principal no metabelianos que tienen centros de orden cíclicos y ramas de extrema complejidad, aquí parcialmente incluso con profundidad ilimitada . ^[5] ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2187,319\rangle }$ ${\displaystyle 3}$

Figura 6: Grupos finitos de 2 coclases 2,3,4 y tipo (2,2,2)

Abelianización del tipo (pag,pag,pag)

Para , resp. , existe un árbol de coclases único con p -grupos de tipo en el grafo de coclases . Su raíz es el p -grupo abeliano elemental de tipo , es decir, , resp. . Este árbol único corresponde al grupo pro-2 de la familia de MF Newman y EA O'Brien, ^[6] resp. al grupo pro-3 dado por los parámetros de la Tabla 1. Para , el árbol se indica en la Figura 6, que muestra algunos 2-grupos finitos con coclase de tipo . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$ ${\displaystyle \#59}$ ${\displaystyle (f,g,h)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 2,3,4}$ ${\displaystyle (2,2,2)}$

Coclase 3

Aquí nuevamente, los p -grupos con varias abelianizaciones distintas contribuyen a la constitución del grafo de coclase . Hay contribuciones esenciales regulares e irregulares de grupos con abelianizaciones de los tipos , , , , respectivamente , , , y una contribución aislada del grupo cíclico de orden . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p^{3},p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p^{2})}$ ${\displaystyle (p^{2},p,p)}$ ${\displaystyle (p,p,p,p)}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{4}}}$ ${\displaystyle p^{4}}$

Abelianización del tipo (pag,pag,pag)

Dado que el p -grupo abeliano elemental de rango , es decir, , resp. , para , resp. , no está establecido por coclase, da lugar a una multifurcación. El componente regular se ha descrito en la sección sobre coclase . El componente irregular se convierte en un subgrafo del grafo de coclase cuando se eliminan los bordes de conexión del tamaño de paso de los descendientes inmediatos irregulares de . ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$

Para , este subgrafo está contenido en la Figura 6. Tiene nueve vértices de nivel superior de orden que pueden dividirse en vértices terminales y capaces. ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 32=2^{5}}$

• Los dos grupos y son hojas. ${\displaystyle \langle 32,32\rangle }$ ${\displaystyle \langle 32,33\rangle }$
• Los cinco grupos y los dos grupos son infinitamente capaces. ${\displaystyle \langle 32,27..31\rangle }$ ${\displaystyle \langle 32,34..35\rangle }$

Los árboles que surgen de los vértices capaces están asociados con grupos pro-2 infinitos por MF Newman y EA O'Brien ^[6] de la siguiente manera.

${\displaystyle \langle 32,28\rangle }$da origen a dos árboles,

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,140\rangle )}$asociado con la familia , y ${\displaystyle \#73}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,147\rangle )}$asociado con la familia ${\displaystyle \#74}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,29\rangle )}$Está asociado con la familia . ${\displaystyle \#75}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,30\rangle )}$Está asociado con la familia . ${\displaystyle \#76}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,31\rangle )}$Está asociado con la familia . ${\displaystyle \#77}$

${\displaystyle \langle 32,34\rangle }$da lugar a

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,174\rangle )}$asociado con la familia . Finalmente, ${\displaystyle \#78}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )}$Está asociado con la familia . ${\displaystyle \#79}$

Clasificación Hall-Senior de 2 grupos

Siete de estos nueve vértices de nivel superior han sido investigados por E. Benjamin, F. Lemmermeyer y C. Snyder ^[20] con respecto a su ocurrencia como cocientes de clase-2 de 2-grupos metabelianos más grandes de tipo y con coclase , que son exactamente los miembros de los árboles descendientes de los siete vértices. Estos autores utilizan la clasificación de 2-grupos de M. Hall y JK Senior ^[21] que se pone en correspondencia con la Biblioteca SmallGroups ^[13] en la Tabla 2. La complejidad de los árboles descendientes de estos siete vértices aumenta con los 2-rangos y 4-rangos indicados en la Tabla 2, donde los subgrupos máximos de índice en se denotan por , para . ${\displaystyle Q=G/\gamma _{3}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (2,2,2)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq 7}$

Historia

Los árboles descendientes con cocientes centrales como padres (P1) están implícitos en el artículo de P. Hall de 1940 ^[22] sobre el isoclinismo de grupos. Los árboles con los últimos cocientes centrales inferiores no triviales como padres (P2) fueron presentados por primera vez por CR Leedham-Green en el Congreso Internacional de Matemáticos en Vancouver, 1974. ^[1] Los primeros diagramas de árboles extensos han sido dibujados manualmente por JA Ascione, G. Havas y CR Leedham-Green (1977), ^[23] por JA Ascione (1979), ^[15] y por B. Nebelung (1989). ^[24] En los dos primeros casos, la definición de padre por medio de la serie central de exponente inferior p (P3) se adoptó en vista de las ventajas computacionales, en el último caso, donde se enfocaron los aspectos teóricos, los padres se tomaron con respecto a la serie central inferior habitual (P2).

Véase también

• Recientemente se ha demostrado que los núcleos y objetivos de las transferencias de Artin son compatibles con las relaciones padre-descendiente entre grupos p finitos y pueden utilizarse favorablemente para dotar a los árboles descendientes de una estructura adicional.

Referencias

1. Newman, MF (1990). "Grupos de orden de potencia primo". Grupos—Canberra 1989. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1456. Springer. págs. 49–62. doi :10.1007/bfb0100730. ISBN. 978-3-540-53475-4.
2. Leedham-Green, CR; Newman, MF (1980). "Grupos espaciales y grupos de orden de potencia primo I". Arch. Math . 35 : 193–203. doi :10.1007/bf01235338. S2CID  121022964.
3. du Sautoy, M.; Segal, D. (2000). "Funciones zeta de grupos". Nuevos horizontes en grupos pro-p . Progreso en Matemáticas. Vol. 184. Basilea: Birkhäuser. págs. 249–28.
4. Leedham-Green, CR; McKay, S. (2002). "La estructura de grupos de orden de potencia primo". Monografías de la London Mathematical Society . Nueva serie. 27. Oxford University Press.
5. Eick, B.; Leedham-Green, CR; Newman, MF; O'Brien, EA (2013). "Sobre la clasificación de grupos de orden de potencia primo por coclase: los 3-grupos de coclase 2". Int. J. Algebra Comput . 23 (5): 1243–1288. doi :10.1142/s0218196713500252.
6. Newman, MF; O'Brien, EA (1999). "Clasificación de 2 grupos por coclase". Trans. Amer. Math. Soc . 351 : 131–169. doi : 10.1090/s0002-9947-99-02124-8 .
7. du Sautoy, M. (2001). "Contando grupos p y grupos nilpotentes". Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas . 92 : 63-112.
8. Eick, B.; Leedham-Green, CR (2008). "Sobre la clasificación de grupos de potencias primos por coclase". Bull. London Math. Soc . 40 (2): 274–288. doi :10.1112/blms/bdn007.
9. Shalev, A. (1994). "La estructura de los p -grupos finitos: prueba efectiva de las conjeturas de coclase". Invent. Math . 115 : 315–345. Bibcode :1994InMat.115..315S. doi :10.1007/bf01231763. S2CID  122256486.
10. Leedham-Green, CR (1994). "La estructura de los p-grupos finitos". J. London Math. Soc . 50 : 49–67. doi : 10.1112/jlms/50.1.49 .
11. Newman, MF (1977). Determinación de grupos de orden de potencia primo . pp. 73-84, en: Group Theory, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlín.
12. O'Brien, EA (1990). "El algoritmo de generación de p-grupos". J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. doi : 10.1016/s0747-7171(08)80082-x .
13. Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2005). The SmallGroups Library: una biblioteca de grupos de orden pequeño . Un paquete GAP 4 aceptado y evaluado, disponible también en MAGMA.
14. Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, EA (2002). "Un proyecto del milenio: construcción de grupos pequeños". Int. J. Algebra Comput . 12 (5): 623–644. doi :10.1142/s0218196702001115.
15. Ascione, JA (1979). Sobre 3 grupos de segunda clase máxima . Tesis de doctorado, Universidad Nacional Australiana, Canberra.
16. Dietrich, Heiko; Eick, Bettina; Feichtenschlager, Dörte (2008), "Investigación de p -grupos por coclase con GAP", Teoría de grupos computacional y teoría de grupos , Contemporary Mathematics, vol. 470, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 45–61, doi : 10.1090/conm/470/09185 , ISBN 9780821843659, Sr.  2478413
17. Blackburn, N. (1958). "Sobre una clase especial de p-grupos". Acta Math . 100 (1–2): 45–92. doi : 10.1007/bf02559602 .
18. Taussky, O. (1937). "Una observación sobre la torre de campo de clase". J. London Math. Soc . 12 (2): 82–85. doi :10.1112/jlms/s1-12.1.82.
19. Bagnera, G. (1898). "La composizione dei gruppi finiti il ​​cui grado è la quinta potenza di un numero primo". Ana. Di Mat. (Ser. 3) . 1 : 137–228. doi :10.1007/bf02419191. S2CID  119799947.
20. Benjamin, E.; Lemmermeyer, F.; Snyder, C. (2003). "Campos cuadráticos imaginarios con ". J. Number Theory . 103 : 38–70. arXiv : math/0207307 . doi :10.1016/S0022-314X(03)00084-2. S2CID  3124132. ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(k)\simeq (2,2,2)}$
21. Hall, M.; Senior, JK (1964). Los grupos de orden . Macmillan, Nueva York. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle (n\leq 6)}$
22. Hall, P. (1940). "La clasificación de los grupos de potencias primos". J. Reine Angew. Matemáticas . 182 : 130–141.
23. Ascione, JA; Havas, G.; Leedham-Green, CR (1977). "Una clasificación asistida por computadora de ciertos grupos de orden de potencia primo". Bull. Austral. Math. Soc . 17 (2): 257–274. doi : 10.1017/s0004972700010467 .
24. Nebelung, B. (1989). Clasificación de metabelscher 3-Gruppen mit Faktorkommutatorgruppe vom Typ (3,3) und Anwendung auf das Kapitulationsproblem . Disertación inaugural, Universität zu Köln.