Algoritmo de generación de grupos P

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , los grupos finitos de orden de potencia prima , para un número primo fijo y exponentes enteros variables , se denominan brevemente p-grupos finitos . ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

El algoritmo de generación de p -grupos de MF Newman ^[1] y EA O'Brien ^{[2] [3]} es un proceso recursivo para construir el árbol descendiente de un p -grupo finito asignado que se toma como la raíz del árbol.

Exponente inferior-pagserie central

Para un p -grupo finito , la serie central de exponente inferior p (abreviadamente serie central p inferior ) de es una serie descendente de subgrupos característicos de , definida recursivamente por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (P_{j}(G))_{j\geq 0}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (1)\qquad P_{0}(G):=G}$y , para . ${\displaystyle P_{j}(G):=\lbrack P_{j-1}(G),G\rbrack \cdot P_{j-1}(G)^{p}}$ ${\displaystyle j\geq 1}$

Como cualquier p -grupo finito no trivial es nilpotente, existe un entero tal que y se denomina clase exponencial -p (abreviadamente p -clase ) de . Solo el grupo trivial tiene . En general, para cualquier p -grupo finito , su p -clase se puede definir como . ${\displaystyle G>1}$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G):=c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(1)=0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G):=\min \lbrace c\geq 0\mid P_{c}(G)=1\rbrace }$

La serie p -central inferior completa de viene dada por tanto por ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (2)\qquad G=P_{0}(G)>\Phi (G)=P_{1}(G)>P_{2}(G)>\cdots >P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1}$,

ya que es el subgrupo Frattini de . ${\displaystyle P_{1}(G)=\lbrack P_{0}(G),G\rbrack \cdot P_{0}(G)^{p}=\lbrack G,G\rbrack \cdot G^{p}=\Phi (G)}$ ${\displaystyle G}$

Para comodidad del lector y para señalar la numeración desplazada, recordamos que la serie central inferior (habitual) de es también una serie descendente de subgrupos característicos de , definidos recursivamente por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\gamma _{j}(G))_{j\geq 1}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (3)\qquad \gamma _{1}(G):=G}$y , para . ${\displaystyle \gamma _{j}(G):=\lbrack \gamma _{j-1}(G),G\rbrack }$ ${\displaystyle j\geq 2}$

Como se indicó anteriormente, para cualquier p -grupo finito no trivial , existe un entero tal que y se denomina clase de nilpotencia de , mientras que se denomina índice de nilpotencia de . Solo el grupo trivial tiene . ${\displaystyle G>1}$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle \gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} (G):=c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c+1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} (1)=0}$

La serie central inferior completa de está dada por ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (4)\qquad G=\gamma _{1}(G)>G^{\prime }=\gamma _{2}(G)>\gamma _{3}(G)>\cdots >\gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1}$,

ya que es el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de . ${\displaystyle \gamma _{2}(G)=\lbrack \gamma _{1}(G),G\rbrack =\lbrack G,G\rbrack =G^{\prime }}$ ${\displaystyle G}$

Se deben recordar las siguientes reglas para la clase exponente p :

Sea un p -grupo finito . ${\displaystyle G}$

R

1. Regla: , ya que descienden más rápidamente que los . ${\displaystyle \mathrm {cl} (G)\leq \mathrm {cl} _{p}(G)}$ ${\displaystyle \gamma _{j}(G)}$ ${\displaystyle P_{j}(G)}$
2. Regla: Si , para algún grupo , entonces , para cualquier . ${\displaystyle \vartheta \in \mathrm {Hom} (G,{\tilde {G}})}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \vartheta (P_{j}(G))=P_{j}(\vartheta (G))}$ ${\displaystyle j\geq 0}$
3. Regla: Para cualquier , las condiciones y implican . ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/N)=c}$ ${\displaystyle P_{c}(G)\leq N}$
4. Regla: Sea . Si , entonces , para todos , en particular, , para todos . ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=\min(k,c)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=k}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq c}$

Árboles padres y descendientes

El padre de un p -grupo finito no trivial con exponente- clase p se define como el cociente de por el último término no trivial de la serie central de exponente inferior- p de . A la inversa, en este caso, se denomina descendiente inmediato de . Las p -clases de padre y descendiente inmediato están conectadas por . ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G>1}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1}$ ${\displaystyle \pi (G):=G/P_{c-1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P_{c-1}(G)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=\mathrm {cl} _{p}(\pi (G))+1}$

Un árbol descendiente es una estructura jerárquica para visualizar relaciones padre-descendiente entre clases de isomorfismo de p -grupos finitos . Los vértices de un árbol descendiente son clases de isomorfismo de p -grupos finitos. Sin embargo, un vértice siempre se etiquetará seleccionando un representante de la clase de isomorfismo correspondiente. Siempre que un vértice sea el padre de un vértice, una arista dirigida del árbol descendiente se define por en la dirección de la proyección canónica sobre el cociente . ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/P_{c-1}(G)}$

En un árbol descendiente, los conceptos de padres y descendientes inmediatos se pueden generalizar. Un vértice es descendiente de un vértice y es ancestro de , si es igual a o existe un camino ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle (5)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, dónde , ${\displaystyle m\geq 1}$

de aristas dirigidas desde hasta . Los vértices que forman el camino coinciden necesariamente con los padres iterados de , con : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq m}$

${\displaystyle (6)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, dónde . ${\displaystyle m\geq 1}$

También pueden verse como los cocientes sucesivos de la p-clase de cuando la p -clase de está dada por : ${\displaystyle Q_{j}=R/P_{c-j}(R)}$ ${\displaystyle c-j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(R)=c\geq m}$

${\displaystyle (7)\qquad R\simeq R/P_{c}(R)\to R/P_{c-1}(R)\to \cdots \to R/P_{c+1-m}(R)\to R/P_{c-m}(R)\simeq P}$, dónde . ${\displaystyle c\geq m\geq 1}$

En particular, cada p -grupo finito no trivial define un camino máximo (que consta de aristas) ${\displaystyle G>1}$ ${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$

${\displaystyle (8)\qquad G\simeq G/1=G/P_{c}(G)\to \pi (G)=G/P_{c-1}(G)\to \pi ^{2}(G)=G/P_{c-2}(G)\to \cdots }$

${\displaystyle \cdots \to \pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\to \pi ^{c}(G)=G/P_{0}(G)=G/G\simeq 1}$

terminando en el grupo trivial . El penúltimo cociente del camino máximo de es el p -grupo abeliano elemental de rango , donde denota el rango del generador de . ${\displaystyle \pi ^{c}(G)=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\simeq C_{p}^{d}}$ ${\displaystyle d=d(G)}$ ${\displaystyle d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle G}$

En general, el árbol descendiente de un vértice es el subárbol de todos los descendientes de , comenzando en la raíz . El árbol descendiente máximo posible del grupo trivial contiene todos los p -grupos finitos y es excepcional, ya que el grupo trivial tiene todos los p -grupos abelianos elementales infinitos con rango de generador variable como sus descendientes inmediatos. Sin embargo, cualquier p -grupo finito no trivial (de orden divisible por ) posee solo un número finito de descendientes inmediatos. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle p}$

pag-grupo de cobertura,pag-multiplicador y núcleo

Sea un p -grupo finito con generadores . Nuestro objetivo es compilar una lista completa de descendientes inmediatos no isomorfos por pares de . Resulta que todos los descendientes inmediatos pueden obtenerse como cocientes de una cierta extensión de que se llama el p -grupo de cobertura de y puede construirse de la siguiente manera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Seguramente podemos encontrar una presentación en forma de secuencia exacta. ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (9)\qquad 1\longrightarrow R\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 1}$,

donde denota el grupo libre con generadores y es un epimorfismo con núcleo . Entonces es un subgrupo normal de que consiste en las relaciones definitorias para . Para los elementos y , el conjugado y por lo tanto también el conmutador están contenidos en . En consecuencia, es un subgrupo característico de , y el p -multiplicador de es un p -grupo abeliano elemental , ya que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \vartheta :\ F\longrightarrow G}$ ${\displaystyle R:=\ker(\vartheta )}$ ${\displaystyle R\triangleleft F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\simeq F/R}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f^{-1}rf\in R}$ ${\displaystyle \lbrack r,f\rbrack =r^{-1}f^{-1}rf\in R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\ast }:=\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (10)\qquad \lbrack R,R\rbrack \cdot R^{p}\leq \lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}=R^{\ast }}$.

Ahora podemos definir el grupo de cobertura p de ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (11)\qquad G^{\ast }:=F/R^{\ast }}$,

y la secuencia exacta

${\displaystyle (12)\qquad 1\longrightarrow R/R^{\ast }\longrightarrow F/R^{\ast }\longrightarrow F/R\longrightarrow 1}$

muestra que es una extensión de mediante el p -multiplicador abeliano elemental . Llamamos ${\displaystyle G^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (13)\qquad \mu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(R/R^{\ast })}$

el rango del p -multiplicador de . ${\displaystyle G}$

Supongamos ahora que el p -grupo finito asignado es de clase p . Entonces las condiciones y implican , según la regla (R3), y podemos definir el núcleo de por ${\displaystyle G\simeq F/R}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c}$ ${\displaystyle R\triangleleft F}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(F/R)=c}$ ${\displaystyle P_{c}(F)\leq R}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (14)\qquad P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$

como un subgrupo del p -multiplicador. En consecuencia, el rango nuclear

${\displaystyle (15)\qquad \nu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P_{c}(G^{\ast }))\leq \mu (G)}$

de está limitado desde arriba por el rango del p -multiplicador. ${\displaystyle G}$

Subgrupos permitidos de lapag-multiplicador

Como antes, sea un p -grupo finito con generadores . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$

Proposición. Cualquier extensión central abeliana p -elemental

${\displaystyle (16)\qquad 1\to Z\to H\to G\to 1}$

de un subgrupo abeliano p -elemental tal que es un cociente del grupo de cobertura p de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z\leq \zeta _{1}(H)}$ ${\displaystyle d(H)=d(G)=d}$ ${\displaystyle G^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$

Para ver la prueba haga clic en mostrar en el lado derecho.

Prueba

La razón es que, puesto que , existe un epimorfismo tal que , donde denota la proyección canónica. En consecuencia, tenemos ${\displaystyle d(H)=d(G)=d}$ ${\displaystyle \psi :\ F\to H}$ ${\displaystyle \vartheta =\omega \circ \psi }$ ${\displaystyle \omega :\ H\to H/Z\simeq G}$

${\displaystyle R=\ker(\vartheta )=\ker(\omega \circ \psi )=(\omega \circ \psi )^{-1}(1)=\psi ^{-1}(\omega ^{-1}(1))=\psi ^{-1}(Z)}$

y por lo tanto . Además, , ya que es p -elemental, y , ya que es central. En conjunto, esto demuestra que y por lo tanto induce el epimorfismo deseado tal que . ${\displaystyle \psi (R)=\psi (\psi ^{-1}(Z))=Z}$ ${\displaystyle \psi (R^{p})=Z^{p}=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \psi (\lbrack R,F\rbrack )=\lbrack Z,H\rbrack =1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \psi (R^{\ast })=\psi (\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p})=1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H}$ ${\displaystyle H\simeq G^{\ast }/\ker(\psi ^{\ast })}$

En particular, un descendiente inmediato de es una extensión central abeliana p -elemental ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (17)\qquad 1\to P_{c-1}(H)\to H\to G\to 1}$

de , desde ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1=P_{c}(H)=\lbrack P_{c-1}(H),H\rbrack \cdot P_{c-1}(H)^{p}}$implica y , ${\displaystyle P_{c-1}(H)^{p}=1}$ ${\displaystyle P_{c-1}(H)\leq \zeta _{1}(H)}$

dónde . ${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(H)}$

Definición. Un subgrupo del p -multiplicador de se llama permisible si está dado por el núcleo de un epimorfismo sobre un descendiente inmediato de . ${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M/R^{\ast }=\ker(\psi ^{\ast })}$ ${\displaystyle \psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Una caracterización equivalente es que es un subgrupo propio que complementa el núcleo. ${\displaystyle 1<M/R^{\ast }<R/R^{\ast }}$

${\displaystyle (18)\qquad (M/R^{\ast })\cdot (P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast })=R/R^{\ast }}$.

Por lo tanto, la primera parte de nuestro objetivo de compilar una lista de todos los descendientes inmediatos de se realiza, cuando hemos construido todos los subgrupos permitidos de los cuales complementan el núcleo , donde . Sin embargo, en general la lista ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }}$ ${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$

${\displaystyle (19)\qquad \lbrace F/M\quad \mid \quad M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }{\text{ is allowable }}\rbrace }$,

donde , será redundante, debido a isomorfismos entre los descendientes inmediatos. ${\displaystyle G^{\ast }/(M/R^{\ast })=(F/R^{\ast })/(M/R^{\ast })\simeq F/M}$ ${\displaystyle F/M_{1}\simeq F/M_{2}}$

Órbitas bajo automorfismos extendidos

Dos subgrupos permitidos y se llaman equivalentes si los cocientes , que son los descendientes inmediatos correspondientes de , son isomorfos. ${\displaystyle M_{1}/R^{\ast }}$ ${\displaystyle M_{2}/R^{\ast }}$ ${\displaystyle F/M_{1}\simeq F/M_{2}}$ ${\displaystyle G}$

Un isomorfismo de este tipo entre descendientes inmediatos de con tiene la propiedad de que y por lo tanto induce un automorfismo de que puede extenderse a un automorfismo del grupo de recubrimiento p de . La restricción de este automorfismo extendido al p -multiplicador de está determinada únicamente por . ${\displaystyle \varphi :\ F/M_{1}\to F/M_{2}}$ ${\displaystyle G=F/R}$ ${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$ ${\displaystyle \varphi (R/M_{1})=\varphi (P_{c}(F/M_{1}))=P_{c}(\varphi (F/M_{1}))=P_{c}(F/M_{2})=R/M_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Aut} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })}$ ${\displaystyle G^{\ast }=F/R^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha ^{\ast }}$ ${\displaystyle R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha }$

Puesto que , cada automorfismo extendido induce una permutación de los subgrupos permitidos . Definimos como el grupo de permutación generado por todas las permutaciones inducidas por automorfismos de . Entonces la función , es un epimorfismo y las clases de equivalencia de los subgrupos permitidos son precisamente las órbitas de los subgrupos permitidos bajo la acción del grupo de permutación . ${\displaystyle \alpha ^{\ast }(M/R^{\ast })\cdot P_{c}(F/R^{\ast })=\alpha ^{\ast }\lbrack M/R^{\ast }\cdot P_{c}(F/R^{\ast })\rbrack =\alpha ^{\ast }(R/R^{\ast })=R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle \alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })}$ ${\displaystyle \alpha ^{\prime }}$ ${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle P:=\langle \alpha ^{\prime }\mid \alpha \in \mathrm {Aut} (G)\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)\to P}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\prime }}$ ${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle P}$

Finalmente, nuestro objetivo de compilar una lista de todos los descendientes inmediatos de se cumplirá cuando seleccionemos un representante para cada una de las órbitas de los subgrupos permitidos de bajo la acción de . Esto es precisamente lo que hace el algoritmo de generación de p -grupos en un solo paso del procedimiento recursivo para construir el árbol descendiente de una raíz asignada. ${\displaystyle \lbrace F/M_{i}\mid 1\leq i\leq N\rbrace }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{i}/R^{\ast }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle P}$

Capazpag-grupos y tamaños de pasos

Un p -grupo finito se llama capaz (o extensible ) si posee al menos un descendiente inmediato, en caso contrario es terminal (o una hoja ). El rango nuclear de admite una decisión sobre la capacidad de : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G}$es terminal si y sólo si . ${\displaystyle \nu (G)=0}$
• ${\displaystyle G}$es capaz si y sólo si . ${\displaystyle \nu (G)\geq 1}$

En el caso de capacidad, tiene descendientes inmediatos de diferentes tamaños de paso , en dependencia del índice del subgrupo permitido correspondiente en el p -multiplicador . Cuando es de orden , entonces un descendiente inmediato de tamaño de paso es de orden . ${\displaystyle G=F/R}$ ${\displaystyle \nu =\nu (G)}$ ${\displaystyle 1\leq s\leq \nu }$ ${\displaystyle (R/R^{\ast }:M/R^{\ast })=p^{s}}$ ${\displaystyle M/R^{\ast }}$ ${\displaystyle R/R^{\ast }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \#(F/M)=(F/R^{\ast }:M/R^{\ast })=(F/R^{\ast }:R/R^{\ast })\cdot (R/R^{\ast }:M/R^{\ast })}$ ${\displaystyle =\#(F/R)\cdot p^{s}=\vert G\vert \cdot p^{s}=p^{n}\cdot p^{s}=p^{n+s}}$

Para el fenómeno relacionado de la multifurcación de un árbol descendiente en un vértice con rango nuclear, consulte el artículo sobre árboles descendientes . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu (G)\geq 2}$

El algoritmo de generación de grupos p proporciona la flexibilidad de restringir la construcción de descendientes inmediatos a aquellos de un único tamaño de paso fijo , lo que resulta muy conveniente en el caso de números enormes de descendientes (véase la siguiente sección). ${\displaystyle 1\leq s\leq \nu }$

Número de descendientes inmediatos

Denotamos el número de todos los descendientes inmediatos , resp. descendientes inmediatos de tamaño de paso , de por , resp. . Entonces tenemos . Como ejemplos concretos, presentamos algunos p -grupos metabelianos finitos interesantes con conjuntos extensos de descendientes inmediatos, utilizando los identificadores SmallGroups y señalando adicionalmente los números de descendientes inmediatos capaces en el formato usual como se da por las implementaciones reales del algoritmo de generación de p -grupos en los sistemas de álgebra computacional GAP y MAGMA. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle N=\sum _{s=1}^{\nu }\,N_{s}}$ ${\displaystyle 0\leq C_{s}\leq N_{s}}$ ${\displaystyle (N_{1}/C_{1};\ldots ;N_{\nu }/C_{\nu })}$

Primero, dejemos . ${\displaystyle p=3}$

Comenzamos con grupos que tienen abelianización de tipo . Véase la Figura 4 en el artículo sobre árboles descendientes . ${\displaystyle (3,3)}$

• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu =2}$ ${\displaystyle \mu =4}$ ${\displaystyle (4/1;7/5)}$ ${\displaystyle N=11}$
• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 243,3\rangle =\langle 27,3\rangle -\#2;1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \nu =2}$ ${\displaystyle \mu =4}$ ${\displaystyle (10/6;15/15)}$ ${\displaystyle N=25}$
• Uno de sus descendientes inmediatos, el grupo , tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 729,40\rangle =\langle 243,3\rangle -\#1;7}$ ${\displaystyle \nu =2}$ ${\displaystyle \mu =5}$ ${\displaystyle (16/2;27/4)}$ ${\displaystyle N=43}$

Por el contrario, los grupos con abelianización de tipo se ubican parcialmente más allá del límite de computabilidad. ${\displaystyle (3,3,3)}$

• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 81,12\rangle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \nu =2}$ ${\displaystyle \mu =7}$ ${\displaystyle (10/2;100/50)}$ ${\displaystyle N=110}$
• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes desconocidos . ${\displaystyle \langle 243,37\rangle }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \nu =5}$ ${\displaystyle \mu =9}$ ${\displaystyle (35/3;2783/186;81711/10202;350652/202266;\ldots )}$ ${\displaystyle N>4\cdot 10^{5}}$
• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes desconocidos . ${\displaystyle \langle 729,122\rangle }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \nu =8}$ ${\displaystyle \mu =11}$ ${\displaystyle (45/3;117919/1377;\ldots )}$ ${\displaystyle N>10^{5}}$

A continuación, dejemos . ${\displaystyle p=5}$

Los grupos correspondientes con abelianización de tipo tienen mayor número de descendientes que para . ${\displaystyle (5,5)}$ ${\displaystyle p=3}$

• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 125,3\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu =2}$ ${\displaystyle \mu =4}$ ${\displaystyle (4/1;12/6)}$ ${\displaystyle N=16}$
• El grupo de coclase tiene rangos y números de descendientes , . ${\displaystyle \langle 3125,3\rangle =\langle 125,3\rangle -\#2;1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \nu =3}$ ${\displaystyle \mu =5}$ ${\displaystyle (8/3;61/61;47/47)}$ ${\displaystyle N=116}$

Multiplicador de Schur

A través del isomorfismo , el grupo cociente puede verse como el análogo aditivo del grupo multiplicativo de todas las raíces de la unidad . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to \mu _{\infty }}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}\mapsto \exp \left({\frac {n}{d}}\cdot 2\pi i\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\left\lbrace {\frac {n}{d}}\cdot \mathbb {Z} \mid d\geq 1,\ 0\leq n\leq d-1\right\rbrace }$ ${\displaystyle \mu _{\infty }=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid z^{d}=1{\text{ for some integer }}d\geq 1\rbrace }$

Sea un número primo y un p -grupo finito con presentación como en la sección anterior. Entonces el segundo grupo de cohomología del -módulo se llama multiplicador de Schur de . También puede interpretarse como el grupo cociente . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=F/R}$ ${\displaystyle M(G):=H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M(G)=(R\cap \lbrack F,F\rbrack )/\lbrack F,R\rbrack }$

IR Shafarevich ^[4] ha demostrado que la diferencia entre el rango de relación de y el rango de generador de está dada por el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur de , es decir . ${\displaystyle r(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r(G)-d(G)=d(M(G))}$

N. Boston y H. Nover ^[5] han demostrado que , para todos los cocientes de la clase p , , de un grupo pro- p con abelianización finita . ${\displaystyle \mu (G_{j})-\nu (G_{j})\leq r(G)}$ ${\displaystyle G_{j}:=G/P_{j}(G)}$ ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G_{j})=j}$ ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$

Además, J. Blackhurst (en el apéndice Sobre el núcleo de ciertos p-grupos de un artículo de N. Boston, MR Bush y F. Hajir ^{[6] ) ha demostrado que un} p -grupo finito no cíclico con multiplicador de Schur trivial es un vértice terminal en el árbol descendiente del grupo trivial , es decir, . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M(G)=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \nu (G)=0}$

Ejemplos

• Un grupo p finito tiene una presentación balanceada si y solo si , es decir, si y solo si su multiplicador de Schur es trivial. Un grupo de este tipo se denomina grupo de Schur y debe ser una hoja en el árbol descendiente . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r(G)=d(G)}$ ${\displaystyle r(G)-d(G)=0=d(M(G))}$ ${\displaystyle M(G)=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$
• Un grupo p finito satisface si y solo si , es decir, si y solo si tiene un multiplicador de Schur cíclico no trivial . Un grupo de este tipo se denomina grupo de Schur+1 . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r(G)=d(G)+1}$ ${\displaystyle r(G)-d(G)=1=d(M(G))}$ ${\displaystyle M(G)}$

Referencias

1. Newman, MF (1977). Determinación de grupos de orden de potencia primo . pp. 73-84, en: Group Theory, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlín.
2. O'Brien, EA (1990). "El algoritmo de generación de p-grupos". J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. doi : 10.1016/s0747-7171(08)80082-x .
3. Holt, DF, Eick, B., O'Brien, EA (2005). Manual de teoría de grupos computacionales . Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Chapman y Hall/CRC Press.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Shafarevich, IR (1963). "Extensiones con puntos de ramificación dados". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 18 : 71–95.Traducido en Amer. Math. Soc. Transl. (2) , 59 : 128-149, (1966).
5. Boston, N., Nover, H. (2006). Computing pro- p Galois groups . Actas del 7º Simposio de Teoría Algorítmica de Números 2006, Lecture Notes in Computer Science 4076, 1-10, Springer, Berlín.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Boston, N., Bush, MR, Hajir, F. (2013). "Heurísticas para torres de clase p de campos cuadráticos imaginarios". Math. Ann . arXiv : 1111.4679 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)