En matemáticas , un grupo pro- p (para algún número primo p ) es un grupo profinito tal que para cualquier subgrupo normal abierto el grupo cociente es un p -grupo . Nótese que, como los grupos profinitos son compactos , los subgrupos abiertos son exactamente los subgrupos cerrados de índice finito , de modo que el grupo cociente discreto es siempre finito.
Alternativamente, se puede definir un grupo pro- p como el límite inverso de un sistema inverso de p -grupos finitos discretos .
La clase mejor comprendida (e históricamente más importante) de grupos pro -p son los grupos analíticos p -ádicos : grupos con la estructura de una variedad analítica sobre tal que la multiplicación e inversión de grupos son ambas funciones analíticas. El trabajo de Lubotzky y Mann, combinado con la solución de Michel Lazard al quinto problema de Hilbert sobre los números p -ádicos, muestra que un grupo pro- p es analítico p -ádico si y solo si tiene rango finito , es decir, existe un entero positivo tal que cualquier subgrupo cerrado tiene un conjunto generador topológico con no más de elementos. De manera más general, se mostró que un grupo profinito finitamente generado es un grupo de Lie p-ádico compacto si y solo si tiene un subgrupo abierto que es un pro-p-grupo uniformemente poderoso.
Los teoremas de coclase fueron demostrados en 1994 por A. Shalev e independientemente por CR Leedham-Green. El teorema D es uno de estos teoremas y afirma que, para cualquier número primo p y cualquier entero positivo r , existen sólo un número finito de grupos pro- p de coclase r . Este resultado de finitud es fundamental para la clasificación de p -grupos finitos por medio de grafos de coclase dirigidos .
