Rango de Prüfer

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el rango de Prüfer de un grupo pro-p mide el tamaño de un grupo en términos de los rangos de sus secciones abelianas elementales . ^[1] El rango se comporta bien y ayuda a definir pro-p-grupos analíticos. El término recibe su nombre de Heinz Prüfer .

Definición

El rango Prüfer del grupo pro-p es ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sup\{d(H)|H\leq G\}}$

¿Dónde está el rango del grupo abeliano? ${\displaystyle d(H)}$

${\displaystyle H/\Phi (H)}$,

¿Dónde está el subgrupo Frattini de ? ${\displaystyle \Phi (H)}$ ${\displaystyle H}$

Como el subgrupo de Frattini de puede considerarse como el grupo de elementos no generadores de , se puede ver que será igual al tamaño de cualquier conjunto generador mínimo de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d(H)}$ ${\displaystyle H}$

Propiedades

Aquellos grupos profinitos con rango Prüfer finito son más susceptibles de análisis.

Específicamente, en el caso de grupos pro-p finitamente generados , tener un rango de Prüfer finito es equivalente a tener un subgrupo normal abierto que es poderoso . A su vez, estos son precisamente la clase de grupos pro-p que son analíticos p-ádicos , es decir, grupos que pueden estar imbuidos de una estructura de variedad p-ádica .

Referencias

1. Yamagishi, Masakazu (2007), "Un análogo de la fórmula de Nielsen-Schreier para grupos pro -p ", Archiv der Mathematik , 88 (4): 304–315, doi :10.1007/s00013-006-1878-4, Señor  2311837, S2CID  120424528, Zbl  1119.20035.