Árbol descendiente (teoría de grupos)

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , un árbol descendiente es una estructura jerárquica que visualiza relaciones padre-descendiente entre clases de isomorfismo de grupos finitos de orden de potencia prima , para un número primo fijo y exponentes enteros variables . Estos grupos se denominan brevemente grupos p finitos . Los vértices de un árbol descendiente son clases de isomorfismo de finitos p -grupos. ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Además de su orden , los grupos p finitos tienen dos invariantes relacionados más, la clase de nilpotencia y la coclase . Resultó que los árboles descendientes de un tipo particular, los llamados árboles de coclase podados cuyos infinitos vértices comparten una coclase común , revelan un patrón finito repetitivo. Estas dos propiedades cruciales de finitud y periodicidad admiten una caracterización de todos los miembros del árbol mediante un número finito de presentaciones parametrizadas . En consecuencia, los árboles descendientes juegan un papel fundamental en la clasificación de p -grupos finitos. Mediante núcleos y objetivos de homomorfismos de transferencia de Artin , se puede dotar a los árboles descendientes de una estructura adicional. ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r=n-c}$ ${\displaystyle r}$

Una cuestión importante es cómo se puede construir realmente el árbol descendiente para un grupo inicial asignado que se toma como raíz del árbol. El algoritmo de generación de p -grupos es un proceso recursivo para construir el árbol descendiente de un p -grupo finito dado que desempeña el papel de raíz del árbol. Este algoritmo está implementado en los sistemas de álgebra computacional GAP y Magma . ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Definiciones y terminología

Según MF Newman, ^[1] existen varias definiciones distintas del padre de un grupo p finito . El principio común es formar el cociente de por un subgrupo normal adecuado que puede ser ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$

PAG

1. el centro de , de donde se llama cociente central de , o ${\displaystyle N=\zeta _{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/\zeta _{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$
2. el último término no trivial de la serie central inferior de , donde denota la clase de nilpotencia de , o ${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$
3. el último término no trivial de la serie central de exponente inferior p de , donde denota la clase de exponente p de , o ${\displaystyle N=P_{c-1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$
4. el último término no trivial de la serie derivada de , donde denota la longitud derivada de . ${\displaystyle N=G^{(d-1)}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$

En cada caso, se denomina descendiente inmediato de y un borde dirigido del árbol se define en la dirección de la proyección canónica sobre el cociente o en la dirección opuesta, que es más habitual para los árboles descendientes. La antigua convención es adoptada por CR Leedham-Green y MF Newman, ^[2] por M. du Sautoy y D. Segal, ^[3] por CR Leedham-Green y S. McKay, ^[4] y por B. Eick, CR Leedham-Green, MF Newman y EA O'Brien. ^[5] Esta última definición es utilizada por MF Newman, ^[1] por MF Newman y EA O'Brien, ^[6] por M. du Sautoy, ^[7] y por B. Eick y CR Leedham-Green. ^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)}$ ${\displaystyle G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ ${\displaystyle \pi (G)\to G}$

A continuación se selecciona para todas las aristas la dirección de las proyecciones canónicas. Entonces, de manera más general, un vértice es descendiente de un vértice y es un antepasado de , si es igual a o hay un camino ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, con , ${\displaystyle m\geq 1}$

de aristas dirigidas desde a . Los vértices que forman el camino coinciden necesariamente con los padres iterados de , con : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq m}$

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, con , ${\displaystyle m\geq 1}$

En el caso especial más importante (P2) de padres definidos como últimos cocientes centrales inferiores no triviales, también pueden verse como los cocientes sucesivos de clase de cuando la clase de nilpotencia de está dada por : ${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$ ${\displaystyle c-j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c\geq m}$

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$, con . ${\displaystyle c\geq m\geq 1}$

Generalmente, el árbol descendiente de un vértice es el subárbol de todos los descendientes de , comenzando en la raíz . El árbol descendiente máximo posible del grupo trivial contiene todos los p -grupos finitos y es algo excepcional, ya que, para cualquier definición principal (P1 – P4), el grupo trivial tiene infinitos p -grupos abelianos como sus descendientes inmediatos. Las definiciones de los padres (P2 – P3) tienen la ventaja de que cualquier p -grupo finito no trivial (de orden divisible por ) posee sólo un número finito de descendientes inmediatos. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$

Grupos prop y árboles de coclase

Para una comprensión sólida de los árboles de coclase como una instancia particular de árboles descendientes, es necesario resumir algunos hechos relacionados con infinitos grupos de propiedades topológicas . Los miembros , con , de la serie central inferior de un grupo prop son subgrupos cerrados (y abiertos) de índice finito y, por tanto, los cocientes correspondientes son grupos p finitos . Se dice que el grupo prop es de coclase cuando el límite de la coclase de los cocientes sucesivos existe y es finito. Un grupo de coclase de prop infinito es un grupo preespacial p -ádico , ^[5] ya que tiene un subgrupo normal , el grupo de traducción , que es un módulo libre sobre el anillo de enteros p -ádicos de rango determinado de forma única , la dimensión , tal que el cociente es un grupo p finito , el grupo de puntos , que actúa uniserialmente . La dimensión está dada por ${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$ ${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P=S/T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$, Con algo . ${\displaystyle 0\leq s<r}$

Un resultado de finitud central para infinitos grupos de coclases lo proporciona el llamado Teorema D , que es uno de los cinco teoremas de coclases demostrados en 1994 de forma independiente por A. Shalev ^[9] y CR Leedham-Green, ^{[10]. ]} y conjeturado ya en 1980 por CR Leedham-Green y MF Newman. ^[2] El teorema D afirma que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de infinitos grupos de coclases de prop , para cualquier primo fijo y cualquier entero fijo no negativo . Como consecuencia, si es un grupo de coclases infinito , entonces existe un entero mínimo tal que se satisfacen las tres condiciones siguientes para cualquier número entero . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle j\geq i}$

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$,
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$no es un cociente central inferior de ningún grupo infinito de coclase prop que no sea isomorfo a , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$es cíclico de orden . ${\displaystyle p}$

El árbol descendiente , con respecto a la definición principal (P2), de la raíz con mínimo se llama árbol de coclase de y su único camino máximo infinito (en dirección inversa). ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

Se llama línea principal (o tronco ) del árbol.

Figura 1: Un árbol descendiente. Las ramas B(2),B(4) tienen profundidad 0, y B(5),B(7), resp. B(6),B(8), son isomorfos como árboles.

Diagrama de árbol

En la Figura 1 se explica más terminología, utilizada en diagramas que visualizan partes finitas de árboles descendientes, mediante un árbol abstracto artificial. En el lado izquierdo, un nivel indica el diseño básico de arriba hacia abajo de un árbol descendiente. Para árboles de hormigón, como los de la Figura 2, resp. Figura 3, etc., el nivel suele ser reemplazado por una escala de pedidos que aumenta de arriba a abajo. Un vértice es capaz (o extensible ) si tiene al menos un descendiente inmediato; de lo contrario, es terminal (o una hoja ). Los vértices que comparten un padre común se llaman hermanos .

Si el árbol descendiente es un árbol de coclase con raíz y con vértices de línea principal etiquetados según el nivel , entonces el subárbol finito definido como el conjunto de diferencias ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R=R_{0}}$ ${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

Se llama a la enésima rama (o ramita ) del árbol o también a la rama con raíz , por cualquiera . La profundidad de una rama es la longitud máxima de los caminos que conectan sus vértices con su raíz. La Figura 1 muestra un árbol de coclase abstracto artificial cuyas ramas y ambas tienen profundidad , y las ramas y son isomorfas por pares como gráficos. Si todos los vértices de profundidad mayor que un número entero dado se eliminan de la rama , entonces obtenemos la rama podada en profundidad . En consecuencia, el árbol de coclase podado en profundidad , resp. todo el árbol de coclase , consta de la secuencia infinita de sus ramas podadas , resp. ramas , conectadas por la línea principal, cuyos vértices se llaman infinitamente capaces . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

Periodicidad virtual

La periodicidad de las ramas de árboles de coclase podados en profundidad se ha demostrado con métodos analíticos utilizando funciones zeta ^[3] de grupos de M. du Sautoy, ^[7] y con técnicas algebraicas utilizando grupos de cohomología de B. Eick y CR Leedham-Green. ^[8] Los primeros métodos admiten la percepción cualitativa de la periodicidad virtual última , las últimas técnicas determinan la estructura cuantitativa.

Teorema. Para cualquier grupo infinito de coclases y dimensiones , y para cualquier profundidad dada , existe un límite inferior mínimo efectivo , donde se establece la periodicidad de la longitud de las ramas podadas del árbol de coclases , es decir, existen isomorfismos de gráficos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle f(k)\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$para todos . ${\displaystyle n\geq f(k)}$

Para ver la prueba, haga clic en mostrar en el lado derecho.

Prueba

Los isomorfismos gráficos de ramas podadas en profundidad con raíces de orden suficientemente grande se derivan con métodos cohomológicos en el Teorema 6, p. 277 y Teorema 9, pág. 278 por Eick y Leedham-Green ^[8] y el límite inferior efectivo para los órdenes de raíces de rama se establece en el Teorema 29, p. 287, de este artículo. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\geq f(k)}$ ${\displaystyle f(k)}$

Estos resultados centrales pueden expresarse ostensivamente: cuando miramos un árbol de coclase a través de un par de anteojeras e ignoramos un número finito de ramas preperiódicas en la parte superior, veremos un patrón finito repetitivo ( periodicidad última ). Sin embargo, si tomamos anteojeras más anchas, la sección inicial preperiódica puede alargarse ( periodicidad virtual ).

El vértice se denomina raíz periódica del árbol de coclase podado, para un valor fijo de la profundidad . Ver Figura 1. ${\displaystyle P=R_{f(k)}}$ ${\displaystyle k}$

Gráficos de multifurcación y coclase.

Supongamos que los padres de grupos p finitos se definen como últimos cocientes centrales inferiores no triviales (P2). Para un grupo p de coclase , podemos distinguir su árbol descendiente (completo) y su árbol descendiente de coclase , es decir, el subárbol que consta únicamente de descendientes de coclase. El grupo se llama asentado en coclase si , es decir, si no hay descendientes de con coclase mayor que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

El rango nuclear de en la teoría del algoritmo de generación de grupos p de MF Newman ^[11] y EA O'Brien ^[12] proporciona los siguientes criterios. ${\displaystyle \nu (G)}$ ${\displaystyle G}$

norte

1. ${\displaystyle G}$es terminal y, por tanto, trivialmente resuelto en coclase, si y sólo si . ${\displaystyle \nu (G)=0}$
2. Si , entonces es capaz, pero aún se desconoce si está asentado en coclase. ${\displaystyle \nu (G)=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
3. Si , entonces es capaz y definitivamente no está asentado en coclase. ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle G}$

En el último caso, es posible una afirmación más precisa: si tiene coclase y rango nuclear , entonces da lugar a una multifurcación m veces en un árbol descendiente de coclase regular -r y gráficos descendientes irregulares de coclase , para . En consecuencia, el árbol descendiente de es la unión disjunta ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$ ${\displaystyle r+j}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$.

La multifurcación se correlaciona con diferentes órdenes de la última central inferior no trivial de los descendientes inmediatos. Dado que la clase de nilpotencia aumenta exactamente en una unidad, desde un padre a cualquier descendiente inmediato , la coclase permanece estable, si la última central inferior no trivial es cíclica de orden , ya que entonces el exponente del orden también aumenta exactamente en una unidad, . En este caso, es un descendiente inmediato regular con borde dirigido de tamaño de paso , como es habitual. Sin embargo, la coclase aumenta en , si con . Entonces se llama descendiente inmediato irregular con arista dirigida de tamaño de paso . ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$ ${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$ ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$ ${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle m}$

Si la condición del tamaño del paso se impone en todos los bordes dirigidos, entonces el árbol descendiente máximo del grupo trivial se divide en una unión disjunta contablemente infinita ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

de gráficos de coclase dirigidos , que son más bosques que árboles. Más precisamente, los teoremas de coclase antes mencionados implican que ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

es la unión disjunta de un número finito de árboles de coclase de grupos de coclase infinitos no isomorfos por pares (Teorema D) y un subgrafo finito de grupos esporádicos que se encuentran fuera de cualquier árbol de coclase. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

Identificadores

Los identificadores de la Biblioteca SmallGroups de grupos finitos, en particular de p -grupos finitos, dados en la forma

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

Los siguientes ejemplos concretos de árboles descendientes se deben a HU Besche, B. Eick y EA O'Brien. ^{[13] [14]} Cuando las órdenes de grupo se dan en una escala en el lado izquierdo, como en la Figura 2 y la Figura 3, los identificadores se indican brevemente por

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$.

Dependiendo de prime , hay un límite superior en el orden de los grupos para los cuales existe un identificador SmallGroup, por ejemplo , for y for . Para grupos de órdenes mayores, se emplea una notación con identificadores generalizados que se asemejan a la estructura descendiente. Un descendiente inmediato regular, conectado por un borde de tamaño de paso con su padre , se denota por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 512=2^{9}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 6561=3^{8}}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$,

y un descendiente inmediato irregular, conectado por un borde de tamaño de paso con su padre , se denota por ${\displaystyle s\geq 2}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$.

Las implementaciones del algoritmo de generación de grupos p en los sistemas de álgebra computacional GAP y Magma utilizan estos identificadores generalizados, que se remontan a JA Ascione en 1979. ^[15]

Ejemplos concretos de árboles.

En todos los ejemplos, la definición principal subyacente (P2) corresponde a la serie central inferior habitual. Se señalan diferencias ocasionales con la definición principal (P3) con respecto a la serie central de exponente más bajo : p .

Coclase 0

El gráfico de coclase

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

de p -grupos finitos de coclase no contiene ningún árbol de coclase y, por lo tanto, consta exclusivamente de grupos esporádicos, a saber, el grupo trivial y el grupo cíclico de orden , que es una hoja (sin embargo, es capaz con respecto al exponente más bajo- p serie central). Para el identificador de SmallGroup de is , para it is . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$

Figura 2: El gráfico de coclase de 2 grupos finitos con coclase 1

Coclase 1

El gráfico de coclase

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

de p -grupos finitos de coclase , también llamados de clase máxima , consisten en el único árbol de coclase con raíz , el p -grupo abeliano elemental de rango y un único vértice aislado (un terminal huérfano sin padre adecuado en el mismo gráfico de coclase, dado que el borde dirigido al grupo trivial tiene un tamaño de paso ), el grupo cíclico de orden en la parte esporádica (sin embargo, este grupo es capaz con respecto al exponente más bajo: p serie central). El árbol es el árbol de coclase del grupo de coclase pro-p infinito único . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ ${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle 1}$

Para , resp. , el identificador SmallGroup de la raíz es , resp. , y en la Figura 2 se dibuja un diagrama de árbol del gráfico de coclase de rama a rama (contado con respecto al p -logaritmo del orden de la raíz de la rama), resp. Figura 3, donde al menos todos los grupos de orden son metabelianos , es decir, no abelianos con longitud derivada (los vértices están representados por discos negros en contraste con los cuadrados de contorno que indican grupos abelianos). En la Figura 3, los discos negros más pequeños denotan 3 grupos metabelianos donde incluso los subgrupos máximos son no abelianos, una característica que no ocurre para los 2 grupos metabelianos en la Figura 2, ya que todos poseen un subgrupo abeliano de índice (generalmente exactamente uno). El árbol de coclase de , resp. , tiene raíz periódica y periodicidad de longitud que comienza con rama , resp. raíz periódica y periodicidad de la longitud que se establece con la rama . Ambos árboles tienen ramas de profundidad limitada , por lo que su periodicidad virtual es en realidad una periodicidad estricta . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$ ${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$ ${\displaystyle 1}$

Sin embargo, el árbol de coclase de with tiene una profundidad ilimitada y contiene grupos no metabelianos, y el árbol de coclase de with tiene incluso un ancho ilimitado , es decir, el número de descendientes de un orden fijo aumenta indefinidamente con el orden creciente. ^[dieciséis] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\geq 7}$

Con la ayuda de los núcleos y objetivos de las transferencias de Artin , los diagramas de las Figuras 2 y 3 pueden dotarse de información adicional y volverse a dibujar como árboles descendientes estructurados .

Los ejemplos concretos y los gráficos de coclases brindan la oportunidad de dar una presentación parametrizada del conmutador de potencia policíclico ^[17] para el árbol de coclases completo , mencionado en la sección principal como un beneficio del concepto de árbol descendiente y como consecuencia de la periodicidad de todo el árbol de coclases. En ambos casos, un grupo es generado por dos elementos pero la presentación contiene la serie de conmutadores superiores , comenzando por el conmutador principal . La nilpotencia se expresa formalmente por la relación , cuando el grupo es de orden . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$ ${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$ ${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$ ${\displaystyle s_{n}=1}$ ${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$

Figura 3: El gráfico de coclase de 3 grupos finitos con coclase 1

Para , hay dos parámetros y la presentación de la PC viene dada por ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$

(13) ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

Los 2 grupos de clase máxima, es decir de coclase , forman tres secuencias infinitas periódicas , ${\displaystyle 1}$

• los grupos diédricos , , , que forman la línea principal (con vértices infinitamente capaces), ${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• los grupos de cuaterniones generalizados , , , que son todos vértices terminales, ${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• los grupos semidiédricos , , , que también son hojas. ${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

Para , hay tres parámetros y la presentación de la PC viene dada por ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$ ${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$

(14) ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

Los 3 grupos con parámetro poseen un subgrupo máximo abeliano, los que tienen parámetro no. Más precisamente, un subgrupo máximo abeliano existente es único, excepto los dos grupos extra especiales y , donde los cuatro subgrupos máximos son abelianos. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$

A diferencia de cualquier coclase más grande , el gráfico de coclase contiene exclusivamente p -grupos con abelianización de tipo , excepto por su único vértice aislado . El caso se distingue por la verdad de la afirmación inversa: cualquier 2-grupo con abelianización de tipo es de coclase (Teorema de O. Taussky ^[18] ). ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle (2,2)}$ ${\displaystyle 1}$

Figura 4: La interfaz entre 3 grupos finitos de coclase 1 y 2 de tipo (3,3)

Coclase 2

La génesis del gráfico de coclase no es uniforme. Los grupos p con varias abelianizaciones distintas contribuyen a su constitución. Para la coclase , hay contribuciones esenciales de grupos con abelianizaciones de los tipos ,,, y una contribución aislada del grupo cíclico de orden : ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$ ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{3}}}$ ${\displaystyle p^{3}}$

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$.

Abelianización de tipo ( p , p )

A diferencia de los p -grupos de coclase con abelianización de tipo o , que surgen como descendientes regulares de p -grupos abelianos del mismo tipo, los p -grupos de coclase con abelianización de tipo surgen de descendientes irregulares de un p -grupo no abeliano de coclase que no está liquidada en coclase. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle 1}$

Para los primos , tales grupos no existen en absoluto, ya que el grupo 2 está asentado en coclase, que es la razón más profunda del teorema de Taussky. Este hecho notable ya fue observado por Giuseppe Bagnera ^[19] en 1898. ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$

Para primos impares , la existencia de p -grupos de coclase con abelianización de tipo se debe al hecho de que el grupo no está asentado en coclase. Su rango nuclear es igual a , lo que da lugar a una bifurcación del árbol descendiente en dos gráficos de coclase. El componente regular es un subárbol del árbol único en el gráfico de coclase . El componente irregular se convierte en un subgrafo del gráfico de coclase cuando se eliminan los bordes de conexión del tamaño de paso de los descendientes inmediatos irregulares de . ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$

Para , este subgráfico se dibuja en la Figura 4, que muestra la interfaz entre 3 grupos finitos con coclase y de tipo . Tiene siete vértices de nivel superior de tres tipos importantes, todos ellos ordenados , que han sido descubiertos por G. Bagnera. ^[19] ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (3,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 243=3^{5}}$

• En primer lugar, hay dos grupos σ de Schur terminales y en la parte esporádica del gráfico de coclase . ${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$
• En segundo lugar, los dos grupos y son raíces de árboles finitos en la parte esporádica . Sin embargo, dado que no están asentados en coclases, los árboles completos son infinitos. ${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$
• Finalmente, los tres grupos , y dan lugar a árboles de coclase (infinitos), por ejemplo, , , , cada uno con una línea principal metabeliana, en el gráfico de coclase . Ninguno de estos tres grupos está asentado en coclases. ${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$

Al mostrar información adicional sobre los núcleos y los objetivos de las transferencias de Artin, podemos dibujar estos árboles como árboles descendientes estructurados .

Definición. Generalmente, un grupo Schur (llamado grupo cerrado por I. Schur, quien acuñó el concepto) es un grupo de apoyo cuyo rango de relación coincide con su rango generador . Un grupo σ es un grupo prop que posee un automorfismo que induce la inversión en su abelianización . Un grupo σ de Schur es un grupo de Schur que también es un grupo σ y tiene una abelianización finita . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$

${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$no es raíz de un árbol de coclase,

ya que su descendiente inmediato , que es la raíz de un árbol de coclase con vértices de la línea principal metabeliana, tiene dos hermanos , resp. , que dan lugar a un solo, resp. tres, árboles de coclase con vértices de línea principal no metabelianos que tienen centros de orden cíclicos y ramas de considerable complejidad pero, sin embargo, de profundidad limitada . ${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$ ${\displaystyle \langle 729,35\rangle }$ ${\displaystyle \langle 729,34\rangle }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 5}$

Grupos Pro-3 de coclase 2 con centro no trivial

B. Eick, CR Leedham-Green, MF Newman y EA O'Brien ^[5] han construido una familia de infinitos grupos pro-3 con coclase que tiene un centro de orden no trivial . Los miembros de la familia se caracterizan por tres parámetros . Sus cocientes finitos generan todos los vértices de la línea principal con centros bicíclicos del tipo de seis árboles de coclase en el gráfico de coclase . La asociación de parámetros a las raíces de estos seis árboles se da en la Tabla 1, los diagramas de árbol, excepto la abelianización , se indican en la Figura 4 y la Figura 5, y la presentación parametrizada pro-3 está dada por ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (f,g,h)}$ ${\displaystyle (3,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ ${\displaystyle (3,3,3)}$

(dieciséis) ${\displaystyle {\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}}$

Figura 5: 3 grupos finitos de coclase 2 de tipo (9,3)

Abelianización del tipo ( p ², p )

Para , los niveles superiores del subárbol del gráfico de coclase se dibujan en la Figura 5. Los vértices más importantes de este árbol son los ocho hermanos que comparten el padre común , que son de tres tipos importantes. ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ ${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$

• En primer lugar, hay tres hojas , que tienen un centro de orden cíclico , y una sola hoja con un centro de tipo bicíclico . ${\displaystyle \langle 243,20\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,19\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,16\rangle }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \langle 243,18\rangle }$ ${\displaystyle (3,3)}$
• En segundo lugar, el grupo es raíz de un árbol finito . ${\displaystyle G=\langle 243,14\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)}$
• Finalmente, los tres grupos , y dan lugar a infinitos árboles de coclase, por ejemplo, , , , cada uno con una línea principal metabeliana, el primero con centros de orden cíclicos , el segundo y el tercero con centros de tipo bicíclicos . ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$ ${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (3,3)}$

Aquí, no es raíz de un árbol de coclase, ya que aparte de su descendiente , que es raíz de un árbol de coclase con vértices de la línea principal metabeliana, posee cinco descendientes más que dan lugar a árboles de coclase con vértices de la línea principal no metabeliana que tienen centros de orden cíclicos. y ramas de extrema complejidad, aquí parcialmente incluso con una profundidad ilimitada . ^[5] ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2187,319\rangle }$ ${\displaystyle 3}$

Figura 6: 2 grupos finitos de coclase 2,3,4 y tipo (2,2,2)

Abelianización de tipo ( p , p , p )

Para , resp. , existe un árbol de coclase único con p -grupos de tipo en el gráfico de coclase . Su raíz es el grupo p abeliano elemental de tipo , es decir, , resp. . Este árbol único corresponde al grupo pro-2 de la familia de MF Newman y EA O'Brien, ^[6] resp. al grupo pro-3 dado por los parámetros de la Tabla 1. Para , el árbol se indica en la Figura 6, que muestra algunos 2 grupos finitos con coclase de tipo . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$ ${\displaystyle \#59}$ ${\displaystyle (f,g,h)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle 2,3,4}$ ${\displaystyle (2,2,2)}$

Coclase 3

Aquí nuevamente, los grupos p con varias abelianizaciones distintas contribuyen a la constitución del gráfico de coclase . Hay regulares, resp. Aportes irregulares y esenciales de grupos con abelianizaciones del tipo , , , , resp. , , , y una contribución aislada del grupo cíclico de orden . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ ${\displaystyle (p^{3},p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p^{2})}$ ${\displaystyle (p^{2},p,p)}$ ${\displaystyle (p,p,p,p)}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle (p^{2},p)}$ ${\displaystyle (p,p,p)}$ ${\displaystyle C_{p^{4}}}$ ${\displaystyle p^{4}}$

Abelianización de tipo ( p , p , p )

Dado que el p -grupo abeliano elemental de rango , es decir, , resp. , para , resp. , no está asentado en coclases, da lugar a una multifurcación. El componente regular se ha descrito en la sección sobre coclase . El componente irregular se convierte en un subgrafo del gráfico de coclase cuando se eliminan los bordes de conexión del tamaño de paso de los descendientes inmediatos irregulares de . ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$ ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$

Para , este subgrafo está contenido en la Figura 6. Tiene nueve vértices de orden de nivel superior que se pueden dividir en vértices terminales y capaces. ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 32=2^{5}}$

• Los dos grupos y son hojas. ${\displaystyle \langle 32,32\rangle }$ ${\displaystyle \langle 32,33\rangle }$
• Los cinco grupos y los dos grupos son infinitamente capaces. ${\displaystyle \langle 32,27..31\rangle }$ ${\displaystyle \langle 32,34..35\rangle }$

Los árboles que surgen de los vértices capaces están asociados con infinitos grupos pro-2 por MF Newman y EA O'Brien ^[6] de la siguiente manera.

${\displaystyle \langle 32,28\rangle }$da origen a dos árboles,

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,140\rangle )}$asociado con la familia y ${\displaystyle \#73}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,147\rangle )}$asociado a la familia . ${\displaystyle \#74}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,29\rangle )}$está asociado con la familia . ${\displaystyle \#75}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,30\rangle )}$está asociado con la familia . ${\displaystyle \#76}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,31\rangle )}$está asociado con la familia . ${\displaystyle \#77}$

${\displaystyle \langle 32,34\rangle }$da lugar a

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,174\rangle )}$asociado a la familia . Finalmente, ${\displaystyle \#78}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )}$está asociado con la familia . ${\displaystyle \#79}$

Clasificación Hall-Senior de 2 grupos.

Siete de estos nueve vértices de nivel superior han sido investigados por E. Benjamin, F. Lemmermeyer y C. Snyder ^[20] con respecto a su aparición como cocientes de clase 2 de 2 grupos de tipo metabelianos más grandes y con coclase , que son exactamente los miembros de los árboles descendientes de los siete vértices. Estos autores utilizan la clasificación de 2 grupos de M. Hall y JK Senior ^[21] que se corresponde con la Biblioteca SmallGroups ^[13] en la Tabla 2. La complejidad de los árboles descendientes de estos siete vértices aumenta con los 2-grupos. rangos y 4 rangos indicados en la Tabla 2, donde los subgrupos máximos del índice en se denotan por , para . ${\displaystyle Q=G/\gamma _{3}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (2,2,2)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq 7}$

Historia

Los árboles descendientes con cocientes centrales como padres (P1) están implícitos en el artículo de P. Hall de 1940 ^[22] sobre el isoclinismo de grupos. Los árboles con últimos cocientes centrales inferiores no triviales como padres (P2) fueron presentados por primera vez por CR Leedham-Green en el Congreso Internacional de Matemáticos en Vancouver, 1974. ^[1] Los primeros diagramas de árbol extensos han sido dibujados manualmente por JA Ascione, G. Havas y CR Leedham-Green (1977), ^[23] por JA Ascione (1979), ^[15] y por B. Nebelung (1989). ^[24] En los dos primeros casos, se adoptó la definición de los padres mediante la serie central de exponente inferior- p (P3) en vista de las ventajas computacionales; en el último caso, donde se centraron los aspectos teóricos, los padres se tomaron con respecto a la habitual serie central inferior (P2).

Ver también

• Los núcleos y objetivos de las transferencias de Artin han resultado recientemente compatibles con las relaciones padre-descendiente entre p -grupos finitos y pueden usarse favorablemente para dotar a los árboles descendientes de una estructura adicional.

Referencias

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