Función Artin L

En matemáticas , una función L de Artin es un tipo de serie de Dirichlet asociada a una representación lineal ρ de un grupo G de Galois . Estas funciones fueron introducidas en 1923 por Emil Artin , en relación con su investigación sobre la teoría de campos de clases . Sus propiedades fundamentales, en particular la conjetura de Artin que se describe a continuación, han resultado resistentes a una prueba sencilla. Uno de los objetivos de la teoría de campos de clases no abeliana propuesta es incorporar la naturaleza analítica compleja de las funciones L de Artin en un marco más amplio, como el que proporcionan las formas automórficas y el programa Langlands . Hasta ahora, sólo una pequeña parte de esta teoría ha conseguido una base firme.

Definición

Dado , una representación de en un espacio vectorial complejo de dimensión finita , donde está el grupo de Galois de la extensión finita de campos numéricos, la función de Artin: está definida por un producto de Euler . Para cada ideal primo en el anillo de números enteros de , hay un factor de Euler, que es más fácil de definir en el caso en el que no está ramificado (verdadero para casi todos ). En ese caso, el elemento de Frobenius se define como una clase de conjugación en . Por tanto, el polinomio característico de está bien definido. El factor de Euler para es una ligera modificación del polinomio característico, igualmente bien definido, ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1}=\operatorname {det} \left[I-t\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},}$

como función racional en t , evaluada en , con una variable compleja en la notación habitual de función zeta de Riemann . (Aquí N es la norma de campo de un ideal). ${\displaystyle t=N({\mathfrak {p}})^{-s}}$ ${\displaystyle s}$

Cuando está ramificado, y I es el grupo de inercia que es un subgrupo de G , se aplica una construcción similar, pero al subespacio de V fijado (puntualmente) por I. ^{[nota 1]} ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

La función L de Artin es entonces el producto infinito de todos los ideales primos de estos factores. Como muestra la reciprocidad de Artin , cuando G es un grupo abeliano, estas L funciones tienen una segunda descripción (como las funciones L de Dirichlet cuando K es el campo de números racionales y como las funciones L de Hecke en general). La novedad llega con G no abeliano y sus representaciones. ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Una aplicación es dar factorizaciones de funciones zeta de Dedekind , por ejemplo en el caso de un campo numérico que es Galois sobre los números racionales. De acuerdo con la descomposición de la representación regular en representaciones irreducibles , dicha función zeta se divide en un producto de funciones L de Artin , para cada representación irreducible de G. Por ejemplo, el caso más simple es cuando G es el grupo simétrico de tres letras. Dado que G tiene una representación irreducible de grado 2, se produce una función Artin L para tal representación, al cuadrado, en la factorización de la función zeta de Dedekind para tal campo numérico, en un producto con la función zeta de Riemann (para el representación trivial ) y una función L del tipo de Dirichlet para la representación de la firma.

Más precisamente para una extensión de Galois de grado n , la factorización ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{ Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$

sigue desde

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[I-N\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

donde es la multiplicidad de la representación irreducible en la representación regular, f es el orden de y n se reemplaza por n/e en los números primos ramificados. ${\displaystyle \deg(\rho )}$ ${\displaystyle \mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}}$

Dado que los caracteres son una base ortonormal de las funciones de clase , después de mostrar algunas propiedades analíticas de las mismas obtenemos el teorema de densidad de Chebotarev como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . ${\displaystyle L(\rho ,s)}$

Ecuación funcional

Las funciones L de Artin satisfacen una ecuación funcional . La función está relacionada en sus valores con , donde denota la representación conjugada compleja . Más precisamente , L se reemplaza por , que es L multiplicado por ciertos factores gamma , y ​​luego hay una ecuación de funciones meromórficas. ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle L(\rho ^{*},1-s)}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$,

con un determinado número complejo W (ρ) de valor absoluto 1. Es el número raíz de Artin . Se ha estudiado profundamente respecto a dos tipos de propiedades. En primer lugar, Robert Langlands y Pierre Deligne establecieron una factorización en constantes locales de Langlands-Deligne ; esto es significativo en relación con las relaciones conjeturales con las representaciones automórficas . Además, el caso de que ρ y ρ* sean representaciones equivalentes es exactamente aquel en el que la ecuación funcional tiene la misma función L en cada lado. Es, algebraicamente hablando, el caso cuando ρ es una representación real o representación cuaterniónica . El número raíz de Artin es, entonces, +1 o −1. La cuestión de qué signo se produce está vinculada a la teoría del módulo de Galois . ^[1]

La conjetura de Artin

La conjetura de Artin sobre las funciones L de Artin establece que la función L de Artin de una representación irreducible no trivial ρ es analítica en todo el plano complejo. ^[2] ${\displaystyle L(\rho ,s)}$

Esto se conoce en las representaciones unidimensionales, en las que las funciones L se asocian a caracteres de Hecke y, en particular, en las funciones L de Dirichlet . ^[2] De manera más general, Artin demostró que la conjetura de Artin es cierta para todas las representaciones inducidas a partir de representaciones unidimensionales. Si el grupo de Galois es supersoluble o, más generalmente, monomio , entonces todas las representaciones son de esta forma, por lo que se cumple la conjetura de Artin.

André Weil demostró la conjetura de Artin en el caso de campos funcionales .

Las representaciones bidimensionales se clasifican según la naturaleza del subgrupo de imágenes: puede ser cíclica, diédrica, tetraédrica, octaédrica o icosaédrica. La conjetura de Artin para el caso cíclico o diédrico se desprende fácilmente del trabajo de Erich Hecke . Langlands utilizó el levantamiento del cambio de base para probar el caso tetraédrico, y Jerrold Tunnell amplió su trabajo para cubrir el caso octaédrico; ^[3] Andrew Wiles utilizó estos casos en su prueba de la conjetura de Modularidad . Richard Taylor y otros han logrado algunos avances en el caso icosaédrico (no solucionable); ésta es un área activa de investigación. La conjetura de Artin para representaciones bidimensionales impares, irreducibles se deriva de la prueba de la conjetura de modularidad de Serre , independientemente del subgrupo de imágenes proyectivas.

El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos implica que todas las funciones L de Artin son productos de potencias integrales positivas y negativas de las funciones L de Hecke y, por tanto, son meromorfas en todo el plano complejo.

Langlands (1970) señaló que la conjetura de Artin se deriva de resultados suficientemente sólidos de la filosofía de Langlands , relacionados con las funciones L asociadas a representaciones automórficas para GL(n) para todos . Más precisamente, las conjeturas de Langlands asocian una representación automórfica del grupo adélico GL _n ( A _Q ) a cada representación irreducible n -dimensional del grupo de Galois, que es una representación cúspide si la representación de Galois es irreducible, de modo que Artin L- La función de la representación de Galois es la misma que la función L automórfica de la representación automórfica. La conjetura de Artin se deriva inmediatamente del hecho conocido de que las funciones L de las representaciones automórficas de las cúspides son holomorfas. Ésta fue una de las principales motivaciones del trabajo de Langlands. ${\displaystyle n\geq 1}$

La conjetura de Dedekind

Una conjetura más débil (a veces conocida como conjetura de Dedekind) establece que si M / K es una extensión de los campos numéricos , entonces el cociente de sus funciones zeta de Dedekind es entero. ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

El teorema de Aramata-Brauer establece que la conjetura se cumple si M / K es Galois.

De manera más general, sea N el cierre de Galois de M sobre K y G el grupo de Galois de N / K . El cociente es igual a las funciones L de Artin asociadas a la representación natural asociada a la acción de G sobre la incrustación compleja de K -invariantes de M. Por tanto, la conjetura de Artin implica la conjetura de Dedekind. ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

La conjetura fue probada cuando G es un grupo resoluble , de forma independiente por Koji Uchida y RW van der Waall en 1975. ^[4]

Ver también

• Función L equivalente

Notas

1. Podría decirse que es más correcto pensar en las coinvariantes , el espacio de cociente más grande fijado por I , en lugar de las invariantes, pero el resultado aquí será el mismo. Cfr. Función L de Hasse-Weil para una situación similar.

Referencias

1. Perlis 2001.
2. Martinet 1977, pág. 18.
3. Prasad y Yogananda 2000, pág. 9.
4. Prasad y Yogananda 2000, pág. 4.

Bibliografía

• Artín, E. (1923). "Über un nuevo arte de L Reihen". Hamb. Matemáticas. Abh . 3 .Reimpreso en sus obras completas, ISBN 0-387-90686-X . Traducción al inglés en Artin L-Functions: un enfoque histórico por N. Snyder. 
• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 8 : 292–306, doi :10.1007/BF02941010, JFM  56.0173.02, S2CID  120987633
• Tunnell, Jerrold (1981). "La conjetura de Artin para representaciones de tipo octaédrico". Toro. América. Matemáticas. Soc . NS 5 (2): 173-175. doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 .
• Gelbart, Stephen (1977). "Formas automórficas y conjetura de Artin". Funciones modulares de una variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) . Apuntes de clases de matemáticas. vol. 627. Berlín: Springer. págs. 241–276.
• Langlands, Robert (1967). "Carta al profesor Weil".
• Langlands, Robert P. (1970). "Problemas de la teoría de formas automórficas". Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III. Apuntes de clases de matemáticas. vol. 170. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 18–61. doi :10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. SEÑOR  0302614.
• Martinet, J. (1977). "Teoría del carácter y funciones L de Artin". En Fröhlich, A. (ed.). Campos de números algebraicos, Proc. Síntoma. Matemáticas de Londres. Soc., Univ. Durham 1975 . Prensa académica. págs. 1–87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl  0359.12015.
• Perlis, R. (2001) [1994], "Números de raíz de Artin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Prasad, Dipendra; Yogananda, CS (2000). "Un informe sobre la conjetura de la holomorfia de Artin". En Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (eds.). Teoría de números (PDF) . Birkhäuser Basilea. págs. 301–314. doi :10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.