Desdoblamiento de ideales primos en extensiones de Galois

En matemáticas , la interacción entre el grupo de Galois G de una extensión de Galois L de un cuerpo de números K y la forma en que los ideales primos P del anillo de números enteros O _K se factorizan como productos de ideales primos de O _L proporciona una de las partes más ricas de la teoría algebraica de números . La división de los ideales primos en las extensiones de Galois a veces se atribuye a David Hilbert llamándola teoría de Hilbert . Existe un análogo geométrico, para recubrimientos ramificados de superficies de Riemann , que es más simple en el sentido de que solo se necesita considerar un tipo de subgrupo de G , en lugar de dos. Esto ciertamente era familiar antes de Hilbert.

Definiciones

Sea L / K una extensión finita de campos numéricos, y sean O _K y O _L el anillo correspondiente de números enteros de K y L , respectivamente, que se definen como el cierre integral de los números enteros Z en el campo en cuestión.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

Finalmente, sea p un ideal primo distinto de cero en O _K , o equivalentemente, un ideal maximal , de modo que el residuo O _K / p es un campo .

De la teoría básica de los anillos unidimensionales se deduce la existencia de una descomposición única

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}$

del ideal pO _L generado en O _L por p en un producto de ideales máximos distintos P _j , con multiplicidades e _j .

El campo F = O _K / p se incrusta naturalmente en F _j = O _L / P _j para cada j , el grado f _j = [ O _L / P _j  : O _K / p ] de esta extensión del campo de residuos se llama grado de inercia de P _j sobre p .

La multiplicidad e _j se llama índice de ramificación de P _j sobre p . Si es mayor que 1 para algún j , la extensión de campo L / K se llama ramificada en p (o decimos que p se ramifica en L , o que está ramificada en L ). De lo contrario, L / K se llama no ramificada en p . Si este es el caso, entonces por el teorema del resto chino el cociente O _L / pO _L es un producto de campos F _j . La extensión L / K está ramificada exactamente en aquellos primos que dividen al discriminante relativo , por lo tanto, la extensión está no ramificada en todos los ideales primos excepto en un número finito.

La multiplicatividad de la norma ideal implica

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

Si f _j = e _j = 1 para cada j (y por tanto g = [ L  : K ]), decimos que p se desdobla completamente en L . Si g = 1 y f ₁ = 1 (y por tanto e ₁ = [ L  : K ]), decimos que p se ramifica completamente en L . Finalmente, si g = 1 y e ₁ = 1 (y por tanto f ₁ = [ L  : K ]), decimos que p es inerte en L .

La situación de Galois

En lo que sigue, se supone que la extensión L / K es una extensión de Galois . Entonces, el lema de evitación de primos se puede utilizar para mostrar que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre P _j . Es decir, los factores ideales primos de p en L forman una única órbita bajo los automorfismos de L sobre K. De esto y del teorema de factorización única , se deduce que f = f _j y e = e _j son independientes de j ; algo que ciertamente no tiene por qué ser el caso para extensiones que no son de Galois. Las relaciones básicas se leen entonces ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

y

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

La relación anterior muestra que [ L  : K ]/ ef es igual al número g de factores primos de p en O _L . Por la fórmula del estabilizador de órbita este número también es igual a | G |/| D _{P j} | para cada j , donde D _{P j} , el grupo de descomposición de P _j , es el subgrupo de elementos de G que envía un P _j dado a sí mismo. Dado que el grado de L / K y el orden de G son iguales por la teoría básica de Galois, se deduce que el orden del grupo de descomposición D _{P j} es ef para cada j .

Este grupo de descomposición contiene un subgrupo I _{P j} , llamado grupo de inercia de P _j , que consiste en automorfismos de L / K que inducen el automorfismo identidad en F _j . En otras palabras, I _{P j} es el núcleo de la función de reducción . Se puede demostrar que esta función es sobreyectiva, y se deduce que es isomorfo a D _{P j} / I _{P j} y el orden del grupo de inercia I _{P j} es e . ${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$

La teoría del elemento de Frobenius va más allá, para identificar un elemento de D _{P j} / I _{P j} para j dado que corresponde al automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de la extensión del cuerpo finito F _j / F . En el caso no ramificado el orden de D _{P j} es f e I _{P j} es trivial, por lo que el elemento de Frobenius es en este caso un elemento de D _{P j} , y por lo tanto también un elemento de G . Para variar j , los grupos D _{P j} son subgrupos conjugados dentro de G : Recordando que G actúa transitivamente sobre P _j , uno comprueba que si mapea P _j a P _j' , . Por lo tanto, si G es un grupo abeliano, el elemento de Frobenius de un primo no ramificado P no depende de qué P _j tomemos. Además, en el caso abeliano, asociar un primo no ramificado de K a su Frobenius y extender multiplicativamente define un homomorfismo del grupo de ideales no ramificados de K en G . Este mapa, conocido como mapa de Artin , es un ingrediente crucial de la teoría de campos de clases , que estudia las extensiones abelianas finitas de un campo numérico dado K. ^[1 ] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$

En el análogo geométrico, para variedades complejas o geometría algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los conceptos de grupo de descomposición y grupo de inercia coinciden. Allí, dada una cubierta ramificada de Galois, todos los puntos, salvo un número finito, tienen el mismo número de preimágenes .

La descomposición de primos en extensiones que no sean de Galois se puede estudiar utilizando inicialmente un cuerpo de descomposición , es decir, una extensión de Galois algo mayor. Por ejemplo, los cuerpos cúbicos suelen estar "regulados" por un cuerpo de grado 6 que los contiene.

Ejemplo: los números enteros gaussianos

Esta sección describe la división de ideales primos en la extensión de campo Q (i)/ Q . Es decir, tomamos K = Q y L = Q (i), por lo que O _K es simplemente Z , y O _L = Z [i] es el anillo de enteros gaussianos . Aunque este caso está lejos de ser representativo (después de todo, Z [i] tiene factorización única y no hay muchos campos cuadráticos con factorización única ), exhibe muchas de las características de la teoría.

Escribiendo G para el grupo de Galois de Q (i)/ Q , y σ para el automorfismo de conjugación complejo en G , hay tres casos a considerar.

El primerpag= 2

El primo 2 de Z se ramifica en Z [i]:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

El índice de ramificación aquí es por lo tanto e = 2. El campo de residuos es

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

que es el cuerpo finito con dos elementos. El grupo de descomposición debe ser igual a todo G , ya que solo hay un primo de Z [i] por encima de 2. El grupo de inercia también es todo G , ya que

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

para cualesquiera números enteros a y b , como . ${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

De hecho, 2 es el único primo que se ramifica en Z [i], ya que todo primo que se ramifica debe dividir al discriminante de Z [i], que es −4.

Primospag≡ 1 módulo 4

Cualquier primo p ≡ 1 mod 4 se descompone en dos ideales primos distintos en Z [i]; esto es una manifestación del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . Por ejemplo:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

Los grupos de descomposición en este caso son ambos grupos triviales {1}; de hecho, el automorfismo σ intercambia los dos primos (2 + 3i) y (2 − 3i), por lo que no puede estar en el grupo de descomposición de ninguno de los primos. El grupo de inercia, al ser un subgrupo del grupo de descomposición, también es el grupo trivial. Hay dos cuerpos de residuos, uno para cada primo,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

que son ambos isomorfos al cuerpo finito de 13 elementos. El elemento de Frobenius es el automorfismo trivial; esto significa que

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

para cualquier número entero a y b .

Primospag≡ 3 módulo 4

Cualquier primo p ≡ 3 mod 4 permanece inerte en Z [ ]; es decir, no se desdobla. Por ejemplo, (7) permanece primo en Z [ ]. En esta situación, el grupo de descomposición es todo G , nuevamente porque solo hay un factor primo. Sin embargo, esta situación difiere del caso p = 2, porque ahora σ no actúa trivialmente sobre el campo de residuos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

que es el cuerpo finito con 7 ² = 49 elementos. Por ejemplo, la diferencia entre y es , que ciertamente no es divisible por 7. Por lo tanto, el grupo de inercia es el grupo trivial {1}. El grupo de Galois de este cuerpo de residuos sobre el subcuerpo Z /7 Z tiene orden 2, y está generado por la imagen del elemento de Frobenius. El elemento de Frobenius no es otro que σ; esto significa que ${\displaystyle 1+i}$ ${\displaystyle \sigma (1+i)=1-i}$ ${\displaystyle 2i}$

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

para cualquier número entero a y b .

Resumen

Calculando la factorización

Supongamos que deseamos determinar la factorización de un ideal primo P de O _K en primos de O _L . El siguiente procedimiento (Neukirch, p. 47) resuelve este problema en muchos casos. La estrategia es seleccionar un entero θ en O _L de modo que L sea generado sobre K por θ (se garantiza que existe tal θ por el teorema del elemento primitivo ), y luego examinar el polinomio minimal H ( X ) de θ sobre K ; es un polinomio mónico con coeficientes en O _K . Reduciendo los coeficientes de H ( X ) módulo P , obtenemos un polinomio mónico h ( X ) con coeficientes en F , el cuerpo de residuos (finito) O _K / P . Supongamos que h ( X ) se factoriza en el anillo de polinomios F [ X ] como

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

donde los h _j son polinomios irreducibles mónicos distintos en F [ X ]. Entonces, siempre que P no sea uno de un número finito de primos excepcionales (la condición precisa se describe a continuación), la factorización de P tiene la siguiente forma:

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

donde los Q _j son ideales primos distintos de O _L . Además, el grado de inercia de cada Q _j es igual al grado del polinomio correspondiente h _j , y existe una fórmula explícita para los Q _j :

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

donde h _j denota aquí una elevación del polinomio h _j a K [ X ].

En el caso de Galois, los grados de inercia son todos iguales y los índices de ramificación e ₁ = ... = e _n son todos iguales.

Los primos excepcionales, para los cuales el resultado anterior no se cumple necesariamente, son aquellos que no son primos entre sí con el conductor del anillo O _K [θ]. El conductor se define como el ideal

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

Mide qué tan lejos está el orden O _K [θ] de ser el anillo completo de números enteros (orden máximo) O _L .

Una salvedad importante es que existen ejemplos de L / K y P tales que no hay un θ disponible que satisfaga las hipótesis anteriores (ver por ejemplo ^[2] ). Por lo tanto, el algoritmo dado anteriormente no se puede utilizar para factorizar dicho P , y se deben utilizar enfoques más sofisticados, como el descrito en ^{[3] .}

Un ejemplo

Consideremos nuevamente el caso de los enteros gaussianos. Tomamos θ como la unidad imaginaria , con polinomio mínimo H ( X ) = X ² + 1. Como Z [ ] es todo el anillo de enteros de Q ( ), el conductor es el ideal unitario, por lo que no hay primos excepcionales. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

Para P = (2), necesitamos trabajar en el campo Z /(2) Z , lo que equivale a factorizar el polinomio X ² + 1 módulo 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Por lo tanto, sólo hay un factor primo, con grado de inercia 1 e índice de ramificación 2, y está dado por

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

El siguiente caso es para P = ( p ) para un primo p ≡ 3 mod 4. Para mayor concreción tomaremos P = (7). El polinomio X ² + 1 es irreducible módulo 7. Por lo tanto, sólo hay un factor primo, con grado de inercia 2 e índice de ramificación 1, y está dado por

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

El último caso es P = ( p ) para un primo p ≡ 1 mod 4; tomaremos nuevamente P = (13). Esta vez tenemos la factorización

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Por lo tanto, hay dos factores primos, ambos con grado de inercia e índice de ramificación 1. Están dados por

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

y

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$

Véase también

• Teorema de densidad de Chebotarev

Referencias

1. Milne, JS (2020). Teoría de campos de clases.
2. Stein, William A. (2002). "Divisores discriminantes esenciales". Factorización de números primos en anillos de números enteros.
3. Stein 2002, Un método que siempre funciona

Enlaces externos

• "División y ramificación en cuerpos numéricos y extensiones de Galois". PlanetMath .
• Stein, William (2004), Una breve introducción a la teoría de números algebraicos clásica y adélica
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​