Teorema de conmutación de trazas

Identifica el conmutante de un álgebra de von Neumann específica.

En matemáticas , un teorema de conmutación para trazas identifica explícitamente el conmutante de un álgebra de von Neumann específica que actúa sobre un espacio de Hilbert en presencia de una traza .

El primer resultado de este tipo fue demostrado por Francis Joseph Murray y John von Neumann en la década de 1930 y se aplica al álgebra de von Neumann generada por un grupo discreto o por el sistema dinámico asociado con una transformación mensurable que preserva una medida de probabilidad .

Otra aplicación importante es la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos unimodulares , donde la teoría se ha aplicado a la representación regular y otras representaciones estrechamente relacionadas. En particular, este marco condujo a una versión abstracta del teorema de Plancherel para grupos unimodulares localmente compactos debido a Irving Segal y Forrest Stinespring y a un teorema abstracto de Plancherel para funciones esféricas asociadas con un par de Gelfand debido a Roger Godement . Su trabajo fue puesto en forma final en la década de 1950 por Jacques Dixmier como parte de la teoría de las álgebras de Hilbert .

No fue hasta finales de la década de 1960, impulsado en parte por los resultados en la teoría algebraica de campos cuánticos y la mecánica estadística cuántica debidos a la escuela de Rudolf Haag , que se desarrolló la teoría más general no trazal de Tomita-Takesaki , anunciando una nueva era en la teoría. de las álgebras de von Neumann.

Teorema de conmutación para trazas finitas

Sea H un espacio de Hilbert y M un álgebra de von Neumann sobre H con un vector unitario Ω tal que

• M Ω es denso en H
• M ' Ω es denso en H , donde M ' denota el conmutante de M
• ( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) para todo a , b en M .

El vector Ω se denomina vector de traza de separación cíclica . Se llama vector de traza porque la última condición significa que el coeficiente de la matriz correspondiente a Ω define un estado de traza en M. Se llama cíclico ya que Ω genera H como un módulo M topológico . Se llama separación porque si a Ω = 0 para a en M , entonces aM' Ω= (0), y por tanto a = 0.

De ello se deduce que el mapa

${\displaystyle Ja\Omega =a^{*}\Omega }$

para a en M define una isometría lineal conjugada de H con la identidad al cuadrado, J ² = I . El operador J suele denominarse operador de conjugación modular .

Se verifica inmediatamente que JMJ y M conmutan en el subespacio M Ω, de modo que ^[1]

${\displaystyle JMJ\subseteq M^{\prime }.}$

El teorema de conmutación de Murray y von Neumann establece que

Una de las formas más sencillas de ver esto ^[2] es introducir K , la clausura del subespacio real M _sa Ω, donde M _sa denota los elementos autoadjuntos en M. Resulta que

${\displaystyle H=K\oplus iK,}$

una suma directa ortogonal para la parte real del producto interior. Esta es solo la descomposición ortogonal real para los espacios propios ±1 de J. Por otro lado, para a en M _sa y b en M' _sa , el producto interno ( ab Ω, Ω) es real, porque ab es autoadjunto. Por tanto , K permanece inalterado si M se reemplaza por M '.

En particular, Ω es un vector traza para M' y J no se modifica si M se reemplaza por M '. Entonces la inclusión opuesta

${\displaystyle JM^{\prime }J\subseteq M}$

sigue invirtiendo los roles de M y M' .

Ejemplos

• Uno de los casos más simples del teorema de conmutación, donde se puede ver fácilmente directamente, es el de un grupo finito Γ que actúa sobre el espacio producto interno de dimensión finita mediante las representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ. Estas representaciones unitarias están dadas por las fórmulas ${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$
  $${\displaystyle (\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)}$$
  para f in y el teorema de conmutación implica que ${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$
  $${\displaystyle \lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda (\Gamma )^{\prime }.}$$
  El operador J viene dado por la fórmula
  $${\displaystyle Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.}$$
  Exactamente los mismos resultados siguen siendo válidos si se permite que Γ sea cualquier grupo discreto contable . ^[3] El álgebra de von Neumann λ(Γ)'' suele denominarse álgebra de von Neumann del grupo de Γ.
• Otro ejemplo importante lo proporciona un espacio de probabilidad ( X , μ). El álgebra abeliana de von Neumann A = L ^∞ ( X , μ ) actúa mediante operadores de multiplicación en H = L ² ( X , μ ) y la función constante 1 es un vector de traza de separación cíclica. Resulta que
  $${\displaystyle A'=A,}$$
  de modo que A es una subálgebra abeliana máxima de B ( H ), el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en H.
• La tercera clase de ejemplos combina los dos anteriores. Procedente de la teoría ergódica , fue una de las motivaciones originales de von Neumann para estudiar las álgebras de von Neumann. Sea ( X , μ ) un espacio de probabilidad y sea Γ un grupo discreto contable de transformaciones que preservan la medida de ( X , μ ). Por tanto, el grupo actúa unitariamente en el espacio de Hilbert H = L ² ( X , μ) según la fórmula
  $${\displaystyle U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),}$$
  para f en H y normaliza el álgebra abeliana de von Neumann A = L ^∞ ( X , μ). Dejar
  $${\displaystyle H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),}$$
  un producto tensor de espacios de Hilbert. ^[4] Construcción del espacio de medidas de grupos o producto cruzado del álgebra de von Neumann
  $${\displaystyle M=A\rtimes \Gamma }$$
  se define como el álgebra de von Neumann en H ₁ generada por el álgebra y los operadores de normalización . ^[5] ${\displaystyle A\otimes I}$ ${\displaystyle U_{g}\otimes \lambda (g)}$
  El vector es un vector de traza de separación cíclica. Además, el operador de conjugación modular J y el conmutante M ' pueden identificarse explícitamente. ${\displaystyle \Omega =1\otimes \delta _{1}}$

Uno de los casos más importantes de la construcción del espacio de medidas de grupos es cuando Γ es el grupo de números enteros Z , es decir , el caso de una única transformación medible invertible T. Aquí T debe preservar la medida de probabilidad μ. Se requieren trazas semifinitas para manejar el caso en el que T (o más generalmente Γ) sólo conserva una medida equivalente infinita; y se requiere toda la fuerza de la teoría de Tomita-Takesaki cuando no hay una medida invariante en la clase de equivalencia, aunque T (o Γ) preserve la clase de equivalencia de la medida . ^{[6] [7]}

Teorema de conmutación para trazas semifinitas

Sea M un álgebra de von Neumann y M + _el conjunto de operadores positivos en M. Por definición, ^[3] una traza semifinita (o a veces simplemente traza ) en M es una τ funcional de M ₊ a [0, ∞] tal que

1. ${\displaystyle \tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)}$para a , b en M ₊ y λ, μ ≥ 0 (semilinealidad );
2. ${\displaystyle \tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)}$para a en M ₊ yu un operador unitario en M ( invariancia unitaria );
3. τ es completamente aditivo en familias ortogonales de proyecciones en M ( normalidad );
4. cada proyección en M es una suma directa ortogonal de proyecciones con traza finita ( semifinitud ).

Si además τ es distinto de cero en cada proyección distinta de cero, entonces τ se llama traza fiel .

Si τ es una traza fiel de M , sea H = L ² ( M , τ ) la terminación del espacio de Hilbert del espacio producto interno

${\displaystyle M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\infty \right\}}$

con respecto al producto interno

${\displaystyle (a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).}$

El álgebra de von Neumann M actúa por multiplicación por la izquierda sobre H y puede identificarse con su imagen. Dejar

${\displaystyle Ja=a^{*}}$

para a en M ₀ . El operador J se llama nuevamente operador de conjugación modular y se extiende a una isometría lineal conjugada de H que satisface J ² = I. El teorema de conmutación de Murray y von Neumann

vuelve a ser válido en este caso. Este resultado puede demostrarse directamente mediante una variedad de métodos, ^{[3] [8]} pero se sigue inmediatamente del resultado para trazas finitas, mediante el uso repetido del siguiente hecho elemental:

Si M ₁ ⊇ M ₂ son dos álgebras de von Neumann tales que p _n M ₁ = p _n M ₂ para una familia de proyecciones p _n en el conmutante de M ₁ creciente a I en la topología de operador fuerte , entonces M ₁ = M ₂ .

Álgebras de Hilbert

La teoría de las álgebras de Hilbert fue introducida por Godement (bajo el nombre de "álgebras unitarias"), Segal y Dixmier para formalizar el método clásico de definir la traza para operadores de clase de traza a partir de los operadores de Hilbert-Schmidt . ^[9] Las aplicaciones en la teoría de la representación de grupos conducen naturalmente a ejemplos de álgebras de Hilbert. Cada álgebra de von Neumann dotada de una traza semifinita tiene asociada un álgebra de Hilbert canónica "completa" ^{[10] o "completa";} y, a la inversa, un álgebra de Hilbert completa de exactamente esta forma puede asociarse canónicamente con cada álgebra de Hilbert. La teoría de las álgebras de Hilbert se puede utilizar para deducir los teoremas de conmutación de Murray y von Neumann; igualmente los principales resultados de las álgebras de Hilbert pueden deducirse directamente de los teoremas de conmutación de trazas. ^{Takesaki [7]} generalizó la teoría de las álgebras de Hilbert como una herramienta para demostrar teoremas de conmutación para pesos semifinitos en la teoría de Tomita-Takesaki ; se puede prescindir de ellos cuando se trata de estados. ^{[2] [11] [12]}

Definición

Un álgebra de Hilbert ^{[3] [13] [14]} es un álgebra con involución x → x * y un producto interno (,) tal que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ( a , b ) = ( b *, a *) para a , b en ; ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
2. la multiplicación por la izquierda por una a fija es un operador acotado; ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
3. * es el adjunto, en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x * z );
4. el tramo lineal de todos los productos xy es denso en . ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

Ejemplos

• Los operadores de Hilbert-Schmidt en un espacio de Hilbert de dimensión infinita forman un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = Tr ( b * a ).
• Si ( X , μ ) es un espacio de medidas infinitas, el álgebra L ^∞ ( X ) L ² ( X ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( X ). ${\displaystyle \cap }$
• Si M es un álgebra de von Neumann con traza semifinita fiel τ, entonces la *-subálgebra M ₀ definida anteriormente es un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = τ( b * a ).
• Si G es un grupo unimodular localmente compacto , el álgebra de convolución L ¹ ( G ) L ² ( G ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( G ). ${\displaystyle \cap }$
• Si ( G , K ) es un par de Gelfand , el álgebra de convolución L ¹ ( K \ G / K ) L ² ( K \ G / K ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( G ); aquí L ^p ( K \ G / K ) denota el subespacio cerrado de K -funciones biinvariantes en L ^p ( G ). ${\displaystyle \cap }$
• Cualquier *-subálgebra densa de un álgebra de Hilbert también es un álgebra de Hilbert.

Propiedades

Sea H la terminación del espacio de Hilbert con respecto al producto interno y sea J la extensión de la involución a una involución lineal conjugada de H. Defina una representación λ y una antirrepresentación ρ de sí misma mediante multiplicación por izquierda y derecha: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

${\displaystyle \lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.}$

Estas acciones se extienden continuamente a acciones sobre H . En este caso, el teorema de conmutación de las álgebras de Hilbert establece que

Además si

${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },}$

el álgebra de von Neumann generada por los operadores λ( a ), entonces

Estos resultados fueron demostrados de forma independiente por Godement (1954) y Segal (1953).

La prueba se basa en la noción de "elementos acotados" en la terminación del espacio de Hilbert H.

Se dice que un elemento de x en H está acotado (con respecto a ) si el mapa a → xa de en H se extiende a un operador acotado en H , denotado por λ( x ). En este caso es sencillo demostrar que: ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• Jx también es un elemento acotado, denotado x *, y λ( x *) = λ( x )*;
• a → ax viene dado por el operador acotado ρ( x ) = J λ( x *) J en H ;
• M ' es generado por los ρ( x ) con x acotado;
• λ( x ) y ρ( y ) conmutan para x , y acotado.

El teorema de conmutación se desprende inmediatamente de la última afirmación. En particular

$${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.}$$

El espacio de todos los elementos acotados forma un álgebra de Hilbert que contiene una subálgebra * densa. Se dice que está completo porque cualquier elemento en H acotado con respecto a en realidad ya debe estar en . El funcional τ en M ₊ definido por ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$

$${\displaystyle \tau (x)=(a,a)}$$

xλaλaM

$${\displaystyle M_{0}={\mathfrak {B}}.}$$

De este modo:

Ver también

• álgebra de von Neumann
• Operador afiliado
• Teoría de Tomita-Takesaki

Notas

1. Bratteli y Robinson 1987, págs. 81–82
2. Rieffel y van Daele 1977
3. Dixmier 1957
4. H ₁ se puede identificar con el espacio de funciones cuadradas integrables en X x Γ con respecto a la medida del producto .
5. No debe confundirse con el álgebra de von Neumann sobre H generada por A y los operadores U _g .
6. Connes 1979
7. Takesaki 2002
8. Takesaki 1979, págs. 324–325
9. Simón 1979
10. Dixmier usa los adjetivos achevée o maximale .
11. Pedersen 1979
12. Bratteli y Robinson 1987
13. Dixmier 1977, Apéndice A54 – A61.
14. Dieudonné 1976
15. Godement 1954, págs. 52-53

Referencias

• Bratteli, O.; Robinson, DW (1987), Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1, segunda edición , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
• Connes, A. (1979), Sur la théorie non conmutative de l'intégration , Lecture Notes in Mathematics, vol. (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, págs. 19-143, ISBN 978-3-540-09512-5
• Dieudonné, J. (1976), Tratado de análisis, vol. II , Prensa Académica, ISBN 0-12-215502-5
• Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
• Dixmier, J. (1981), Álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86308-7(Traducción en inglés)
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• Dixmier, J. (1977), Álgebras C* , Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-0762-1(Traducción en inglés)
• Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1–110
• Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. de Matemáticas. , Anales de Matemáticas, 59 (1): 47–62, doi :10.2307/1969832, JSTOR  1969832
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1936), "Sobre los anillos de operadores", Ann. de Matemáticas. , 2, Anales de Matemáticas, 37 (1): 116–229, doi :10.2307/1968693, JSTOR  1968693
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1937), "Sobre los anillos de operadores II", Trans. América. Matemáticas. Soc. , Sociedad Estadounidense de Matemáticas, 41 (2): 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR  1989620
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1943), "Sobre los anillos de operadores IV", Ann. de Matemáticas. , 2, Anales de Matemáticas, 44 (4): 716–808, doi :10.2307/1969107, JSTOR  1969107
• Pedersen, GK (1979), Álgebras C* y sus grupos de automorfismo , Monografías de la London Mathematical Society, vol. 14, Prensa académica, ISBN 0-12-549450-5
• Rieffel, MA; van Daele, A. (1977), "Un enfoque de operador acotado para la teoría de Tomita-Takesaki", Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
• Segal, IE (1953), "Una extensión no conmutativa de la integración abstracta", Ann. de Matemáticas. , Anales de Matemáticas, 57 (3): 401–457, doi :10.2307/1969729, JSTOR  1969729(Sección 5)
• Simon, B. (1979), Seguimiento de ideales y sus aplicaciones , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 35, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 0-521-22286-9
• Takesaki, M. (1979), Teoría de las álgebras de operadores I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
• Takesaki, M. (2002), Teoría de las álgebras de operadores II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42248-X