Álgebra abeliana de von Neumann

En el análisis funcional , un álgebra de von Neumann abeliana es un álgebra de von Neumann de operadores en un espacio de Hilbert en el que todos los elementos conmutan .

El ejemplo prototípico de un álgebra abeliana de von Neumann es el álgebra L ^∞ ( X , μ) para μ una medida σ-finita en X realizada como un álgebra de operadores en el espacio de Hilbert L ² ( X , μ) de la siguiente manera: Cada f ∈ L ^∞ ( X , μ) se identifica con el operador de multiplicación

${\displaystyle \psi \mapsto f\psi .}$

De particular importancia son las álgebras abelianas de von Neumann en espacios de Hilbert separables , particularmente porque son completamente clasificables por invariantes simples.

Aunque existe una teoría para las álgebras de von Neumann sobre espacios de Hilbert no separables (y, de hecho, gran parte de la teoría general sigue siendo válida en ese caso), la teoría es considerablemente más simple para las álgebras sobre espacios separables y la mayoría de las aplicaciones a otras áreas de las matemáticas o la física solo utilizan espacios de Hilbert separables. Nótese que si los espacios de medida ( X , μ) son un espacio de medida estándar (es decir, X − N es un espacio de Borel estándar para algún conjunto nulo N y μ es una medida σ-finita), entonces L ² ( X , μ) es separable.

Clasificación

La relación entre las álgebras conmutativas de von Neumann y los espacios de medida es análoga a la que existe entre las C*-álgebras conmutativas y los espacios de Hausdorff localmente compactos . Toda álgebra conmutativa de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a L ∞ ( X ) para algún espacio de medida estándar ( X , μ) y, a la inversa, para todo espacio de medida estándar X , L ^∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann. Este isomorfismo, tal como se ha indicado, es un isomorfismo algebraico. De hecho, podemos enunciar esto con mayor precisión de la siguiente manera:

Teorema . Cualquier álgebra abeliana de von Neumann de operadores en un espacio de Hilbert separable es *-isomorfa a exactamente uno de los siguientes

• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).}$

Se puede elegir el isomorfismo para preservar la topología del operador débil .

En la lista anterior, el intervalo [0,1] tiene medida de Lebesgue y los conjuntos {1, 2, ..., n } y N tienen medida de conteo. Las uniones son uniones disjuntas. Esta clasificación es esencialmente una variante del teorema de clasificación de Maharam para álgebras de medida separables. La versión del teorema de clasificación de Maharam que es más útil implica una realización puntual de la equivalencia y es algo así como un teorema popular .

Aunque cada espacio de medida estándar es isomorfo a uno de los anteriores y la lista es exhaustiva en este sentido, hay una elección más canónica para el espacio de medida en el caso de las álgebras abelianas de von Neumann A : El conjunto de todos los proyectores es un álgebra booleana -completa, es decir, un -álgebra sin puntos. En el caso especial se recupera el -álgebra abstracta . Este enfoque sin puntos se puede convertir en un teorema de dualidad análogo a la dualidad de Gelfand entre la categoría de álgebras abelianas de von Neumann y la categoría de -álgebras abstractas . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Sean μ y ν medidas de probabilidad no atómicas en los espacios de Borel estándar X e Y respectivamente. Entonces hay un subconjunto nulo μ N de X , un subconjunto nulo ν M de Y y un isomorfismo de Borel

${\displaystyle \phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad }$

que lleva μ a ν. ^[1]

Tenga en cuenta que en el resultado anterior es necesario recortar conjuntos de medida cero para que el resultado funcione.

En el teorema anterior, el isomorfismo es necesario para preservar la topología del operador débil. Como se desprende (y se desprende fácilmente de las definiciones), para las álgebras L ^∞ ( X , μ), las siguientes topologías concuerdan en conjuntos acotados por normas:

1. La topología del operador débil en L ^∞ ( X , μ);
2. La topología del operador ultradébil en L ^∞ ( X , μ);
3. La topología de convergencia débil* en L ^∞ ( X , μ) considerada como el espacio dual de L ¹ ( X , μ).

Sin embargo, para un álgebra abeliana de von Neumann A, la realización de A como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable es altamente no única. La clasificación completa de las realizaciones del álgebra de operadores de A está dada por la teoría de multiplicidad espectral y requiere el uso de integrales directas .

Isomorfismo espacial

Utilizando la teoría integral directa, se puede demostrar que las álgebras abelianas de von Neumann de la forma L ^∞ ( X , μ) que actúan como operadores en L ² ( X , μ) son todas abelianas maximales. Esto significa que no se pueden extender a álgebras abelianas propiamente mayores. También se las conoce como álgebras autoadjuntas abelianas maximales (o MASAs). Otra frase utilizada para describirlas es álgebras abelianas de von Neumann de multiplicidad uniforme 1 ; esta descripción solo tiene sentido en relación con la teoría de multiplicidad descrita a continuación.

Las álgebras de von Neumann A en H , B en K son espacialmente isomorfas (o unitariamente isomorfas ) si y solo si existe un operador unitario U : H → K tal que

${\displaystyle UAU^{*}=B.}$

En particular, las álgebras de von Neumann espacialmente isomorfas son algebraicamente isomorfas.

Para describir el álgebra abeliana de von Neumann más general en un espacio de Hilbert separable H hasta el isomorfismo espacial, necesitamos referirnos a la descomposición integral directa de H . Los detalles de esta descomposición se discuten en descomposición de álgebras abelianas de von Neumann . En particular:

Teorema Cualquier álgebra abeliana de von Neumann en un espacio de Hilbert separable H es espacialmente isomorfa a L ^∞ ( X , μ) actuando sobre

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)}$

para alguna familia medible de espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} .

Nótese que para las álgebras de von Neumann abelianas que actúan sobre dichos espacios integrales directos, la equivalencia de la topología del operador débil, la topología ultradébil y la topología débil* en conjuntos acotados por normas aún se mantiene.

Realización puntual y espacial de automorfismos

Muchos problemas de la teoría ergódica se reducen a problemas sobre automorfismos de álgebras abelianas de von Neumann. En ese sentido, los siguientes resultados son útiles:

Teorema . ^[2] Supóngase que μ, ν son medidas estándar en X , Y respectivamente. Entonces cualquier isomorfismo involutivo

${\displaystyle \Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )}$

que es débil*- bicontinuo corresponde a una transformación puntual en el siguiente sentido: Hay subconjuntos nulos de Borel M de X y N de Y y un isomorfismo de Borel

${\displaystyle \eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N}$

de tal manera que

1. η lleva la medida μ a una medida μ' en Y que es equivalente a ν en el sentido de que μ' y ν tienen los mismos conjuntos de medida cero;
2. η realiza la transformación Φ, es decir

${\displaystyle \Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.}$

Nótese que, en general, no podemos esperar que η lleve a μ a ν.

El siguiente resultado se refiere a las transformaciones unitarias que inducen un isomorfismo débil*-bicontinuo entre álgebras de von Neumann abelianas.

Teorema . ^[3] Supóngase que μ, ν son medidas estándar en X , Y y

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

para familias mensurables de espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y} . Si U  : H → K es unitario tal que

${\displaystyle U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )}$

entonces hay una transformación de punto de Borel definida casi en todas partes η : X → Y como en el teorema anterior y una familia medible { U _x } _{x ∈ X} de operadores unitarios

${\displaystyle U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}}$

de tal manera que

${\displaystyle U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{\sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),}$

donde la expresión en signo de raíz cuadrada es la derivada de Radon-Nikodym de μ η ⁻¹ con respecto a ν. El enunciado se obtiene combinando el teorema sobre la realización puntual de automorfismos expuesto anteriormente con el teorema que caracteriza el álgebra de operadores diagonalizables expuesto en el artículo sobre integrales directas .

Notas

1. Bogachev, VI (2007). Teoría de la medida. vol. II . Springer-Verlag. pag. 275.ISBN​ 978-3-540-34513-8.
2. Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de álgebras de operadores I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Lema 8.22, pág. 275
3. Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de álgebras de operadores I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Teorema 8.23, pág. 277

Referencias

• J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. Véase el capítulo I, sección 6.
• Masamichi Takesaki , Teoría de álgebras de operadores I, II, III", enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en la 1.ª edición) ISBN 3-540-42248-X