En matemáticas , Murray y von Neumann introdujeron los operadores afiliados en la teoría de las álgebras de von Neumann como una técnica para utilizar operadores ilimitados para estudiar módulos generados por un solo vector. Más tarde, Atiyah y Singer demostraron que los teoremas de índice para operadores elípticos en variedades cerradas con un grupo fundamental infinito podrían expresarse naturalmente en términos de operadores ilimitados afiliados al álgebra del grupo de von Neumann. Las propiedades algebraicas de los operadores afiliados han demostrado ser importantes en la cohomología L 2 , un área entre el análisis y la geometría que evolucionó a partir del estudio de dichos teoremas de índice.
Sea M un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H. Se dice que un operador A cerrado y densamente definido está afiliado a M si A conmuta con cada operador unitario U en el conmutante de M. Las condiciones equivalentes son que:
La última condición se debe a la unicidad de la descomposición polar. Si A tiene una descomposición polar
dice que la isometría parcial V debe estar en M y que el operador autoadjunto positivo |A| debería estar afiliado a M . Sin embargo, según el teorema espectral , un operador autoadjunto positivo conmuta con un operador unitario si y sólo si cada una de sus proyecciones espectrales lo hace. Esto da otra condición equivalente:
En general, los operadores afiliados al álgebra M de von Neumann no necesariamente tienen que comportarse bien ni en la suma ni en la composición. Sin embargo, en presencia de una traza normal semifinita fiel τ y la acción estándar de Gelfand-Naimark-Segal de M sobre H = L 2 ( M , τ), Edward Nelson demostró que los operadores afiliados medibles sí forman un *-álgebra con buenas propiedades: estos son operadores tales que τ( I − E ([0, N ])) < ∞ para N suficientemente grande. Esta álgebra de operadores ilimitados es completa para una topología natural, generalizando la noción de convergencia en medida . Contiene todos los espacios L p no conmutativos definidos por la traza y se introdujo para facilitar su estudio.
Esta teoría se puede aplicar cuando el álgebra M de von Neumann es de tipo I o de tipo II . Cuando M = B ( H ) actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( H ) de los operadores de Hilbert-Schmidt , da la conocida teoría de los espacios L p no conmutativos L p ( H ) debido a Schatten y von Neumann .
Cuando M es además un álgebra finita de von Neumann, por ejemplo un factor tipo II 1 , entonces cada operador afiliado es automáticamente medible, por lo que los operadores afiliados forman un *-álgebra , como se observó originalmente en el primer artículo de Murray y von Neumann. En este caso M es un anillo regular de von Neumann : pues al cerrar su imagen |A| tiene un inverso B medible y luego T = BV * define un operador medible con ATA = A . Por supuesto, en el caso clásico cuando X es un espacio de probabilidad y M = L ∞ ( X ), simplemente recuperamos el *-álgebra de funciones medibles en X.
Sin embargo, si M es de tipo III , la teoría adopta una forma bastante diferente. De hecho, en este caso, gracias a la teoría de Tomita-Takesaki , se sabe que los espacios L p no conmutativos ya no son realizados por operadores afiliados al álgebra de von Neumann. Como demostró Connes , estos espacios pueden realizarse como operadores ilimitados sólo utilizando un cierto poder positivo del operador modular de referencia. En lugar de caracterizarse por la simple relación de afiliación UAU * = A , existe una relación bimódulo más complicada que involucra la continuación analítica del grupo de automorfismo modular.
![{\displaystyle E([0,N])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b3b2625d1615f57fe0dcef82938e94d02034e)