Teorema del índice Atiyah-Singer

Resultado matemático en geometría diferencial.

En geometría diferencial , el teorema del índice de Atiyah-Singer , demostrado por Michael Atiyah e Isadore Singer (1963), ^[1] establece que para un operador diferencial elíptico en una variedad compacta , el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones ) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos). Incluye muchos otros teoremas, como el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch , como casos especiales, y tiene aplicaciones a la física teórica . ^{[2] [3]}

Historia

El problema del índice para los operadores diferenciales elípticos fue planteado por Israel Gel'fand . ^[4] Se dio cuenta de la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicas . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de la firma de Hirzebruch . Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).

El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963. ^[1] La prueba esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro de Palais. ^[5] Aparece también en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" ^[6] que se celebró en París simultáneamente con el seminario dirigido por Richard Palais en la Universidad de Princeton . La última charla en París fue la de Atiyah sobre variedades con límite. Su primera prueba publicada ^[7] reemplazó la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y usaron esto para dar pruebas de varias generalizaciones en otra secuencia de artículos. ^[8]

• 1965: Sergey P. Novikov publicó sus resultados sobre la invariancia topológica de las clases racionales de Pontryagin en variedades suaves. ^[9]
• Los resultados de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann , ^[10] combinados con el artículo de René Thom ^[11] demostraron la existencia de clases racionales de Pontryagin en variedades topológicas. Las clases racionales de Pontryagin son ingredientes esenciales del teorema del índice sobre variedades suaves y topológicas.
• 1969: Michael Atiyah define operadores elípticos abstractos en espacios métricos arbitrarios. Los operadores elípticos abstractos se convirtieron en protagonistas de la teoría de Kasparov y de la geometría diferencial no conmutativa de Connes. ^[12]
• 1971: Isadore Singer propone un programa integral para futuras extensiones de la teoría de índices. ^[13]
• 1972: Gennadi G. Kasparov publica su trabajo sobre la realización de la homología K mediante operadores elípticos abstractos. ^[14]
• 1973: Atiyah, Raoul Bott y Vijay Patodi dieron una nueva prueba del teorema del índice ^[15] utilizando la ecuación del calor , descrita en un artículo de Melrose. ^[dieciséis]
• 1977: Dennis Sullivan establece su teorema sobre la existencia y unicidad de Lipschitz y estructuras cuasiconformes en variedades topológicas de dimensión diferente a 4. ^[17]
• 1983: Ezra Getzler ^[18] motivado por ideas de Edward Witten ^[19] y Luis Alvarez-Gaume , dio una breve prueba del teorema del índice local para operadores que localmente son operadores de Dirac ; esto cubre muchos de los casos útiles.
• 1983: Nicolae Teleman demuestra que los índices analíticos de operadores de firma con valores en paquetes de vectores son invariantes topológicos. ^[20]
• 1984: Teleman establece el teorema del índice sobre variedades topológicas. ^[21]
• 1986: Alain Connes publica su artículo fundamental sobre geometría no conmutativa . ^[22]
• 1989: Simon K. Donaldson y Sullivan estudian la teoría de Yang-Mills sobre variedades cuasiconformes de dimensión 4. Introducen el operador de firma S definido en formas diferenciales de grado dos. ^[23]
• 1990: Connes y Henri Moscovici prueban la fórmula del índice local en el contexto de la geometría no conmutativa. ^[24]
• 1994: Connes, Sullivan y Teleman demuestran el teorema del índice para operadores de firma en variedades cuasiconformes. ^[25]

Notación

• X es una variedad compacta y suave (sin límite).
• E y F son paquetes de vectores suaves sobre X.
• D es un operador diferencial elíptico de E a F. Entonces , en coordenadas locales actúa como un operador diferencial, tomando secciones suaves de E para suavizar secciones de F.

Símbolo de un operador diferencial

Si D es un operador diferencial en un espacio euclidiano de orden n en k variables , entonces su símbolo es la función de 2 k variables , dada al eliminar todos los términos de orden menores que n y reemplazarlos por . Entonces el símbolo es homogéneo en las variables y , de grado n . El símbolo está bien definido aunque no conmuta porque solo mantenemos los términos de orden más alto y los operadores diferenciales conmutan "hasta términos de orden inferior". El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos una y sea distinta de cero. ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Ejemplo: el operador de Laplace en k variables tiene símbolo y, por lo tanto, es elíptico, ya que es distinto de cero siempre que cualquiera de los sea distinto de cero. El operador de onda tiene un símbolo , que no es elíptico si , ya que el símbolo desaparece para algunos valores distintos de cero de y s. ${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle -y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

El símbolo de un operador diferencial de orden n en una variedad suave X se define de la misma manera usando gráficos de coordenadas locales, y es una función en el paquete cotangente de X , homogéneo de grado n en cada espacio cotangente. (En general, los operadores diferenciales se transforman de una manera bastante complicada bajo transformaciones de coordenadas (ver haz de chorro ); sin embargo, los términos de orden más alto se transforman como tensores, por lo que obtenemos funciones homogéneas bien definidas en los espacios cotangentes que son independientes de la elección de gráficos locales. .) De manera más general, el símbolo de un operador diferencial entre dos paquetes de vectores E y F es una sección del retroceso del paquete Hom( E , F ) al espacio cotangente de X . El operador diferencial se llama elíptico si el elemento de Hom( E _x , F _x ) es invertible para todos los vectores cotangentes distintos de cero en cualquier punto x de X .

Una propiedad clave de los operadores elípticos es que son casi invertibles; esto está estrechamente relacionado con el hecho de que sus símbolos son casi invertibles. Más precisamente, un operador elíptico D en una variedad compacta tiene una parametrix (o pseudoinversa ) D ′ (no única) tal que DD′ -1 y D′D -1 son ambos operadores compactos. Una consecuencia importante es que el núcleo de D es de dimensión finita, porque todos los espacios propios de operadores compactos, distintos del núcleo, son de dimensión finita. (El pseudoinverso de un operador diferencial elíptico casi nunca es un operador diferencial. Sin embargo, es un operador pseudodiferencial elíptico ).

Índice analítico

Como el operador diferencial elíptico D tiene una pseudoinversa, es un operador de Fredholm . Cualquier operador de Fredholm tiene un índice , definido como la diferencia entre la dimensión (finita) del núcleo de D (soluciones de Df = 0) y la dimensión (finita) del cokernel de D (las restricciones en el lado derecho). lado de una ecuación no homogénea como Df = g , o equivalentemente el núcleo del operador adjunto). En otras palabras,

Índice ( D ) = Ker tenue (D) - Coker tenue ( D ) = Ker tenue (D) - Ker tenue ( D * ).

A esto a veces se le llama índice analítico de D.

Ejemplo: Supongamos que la variedad es el círculo (considerado como R / Z ) y D es el operador d/dx − λ para alguna constante compleja λ. (Este es el ejemplo más simple de un operador elíptico). Entonces el núcleo es el espacio de múltiplos de exp(λ x ) si λ es un múltiplo integral de 2π i y es 0 en caso contrario, y el núcleo del adjunto es un espacio similar con λ reemplazado por su conjugado complejo. Entonces D tiene índice 0. Este ejemplo muestra que el núcleo y el núcleo de los operadores elípticos pueden saltar discontinuamente a medida que varía el operador elíptico, por lo que no existe una fórmula agradable para sus dimensiones en términos de datos topológicos continuos. Sin embargo, los saltos en las dimensiones del núcleo y del cokernel son los mismos, por lo que el índice, dado por la diferencia de sus dimensiones, varía continuamente y puede darse en términos de datos topológicos mediante el teorema del índice.

índice topológico

El índice topológico de un operador diferencial elíptico entre haces de vectores suaves y en una variedad compacta de dimensiones viene dado por ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

en otras palabras, el valor del componente dimensional superior de la clase de cohomología mixta sobre la clase de homología fundamental de la variedad hasta una diferencia de signo. Aquí, ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$es la clase de Todd del paquete tangente complejado de . ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$es igual a , donde ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$es el isomorfismo de Thom para el paquete de esferas ${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$es el personaje de chern
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$es el "elemento de diferencia" asociado a dos paquetes de vectores y un isomorfismo entre ellos en el subespacio . ${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$ ${\displaystyle p^{*}E}$ ${\displaystyle p^{*}F}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle \sigma (D)}$ ${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$es el símbolo de ${\displaystyle D}$

En algunas situaciones, es posible simplificar la fórmula anterior con fines computacionales. En particular, si es una variedad orientable (compacta) de dimensiones con una clase de Euler distinta de cero , entonces aplicando el isomorfismo de Thom y dividiendo por la clase de Euler, ^{[26] [27]} el índice topológico se puede expresar como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle e(TX)}$

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

donde la división tiene sentido al alejarse del anillo de cohomología del espacio de clasificación . ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$ ${\displaystyle BSO}$

También se puede definir el índice topológico utilizando únicamente la teoría K (y esta definición alternativa es compatible en cierto sentido con la construcción del carácter Chern anterior). Si X es una subvariedad compacta de una variedad Y , entonces hay un mapa de avance (o "chillido") de K( TX ) a K( TY ). El índice topológico de un elemento de K( TX ) se define como la imagen de esta operación con Y algún espacio euclidiano, para el cual K( TY ) puede identificarse naturalmente con los números enteros Z (como consecuencia de la periodicidad de Bott). Este mapa es independiente de la incorporación de X en el espacio euclidiano. Ahora, un operador diferencial como el anterior define naturalmente un elemento de K ( TX ), y la imagen en Z debajo de este mapa "es" el índice topológico.

Como es habitual, D es un operador diferencial elíptico entre paquetes de vectores E y F sobre una variedad compacta X.

El problema del índice es el siguiente: calcular el índice (analítico) de D usando solo el símbolo s y los datos topológicos derivados de la variedad y el paquete de vectores. El teorema del índice Atiyah-Singer resuelve este problema y establece:

El índice analítico de D es igual a su índice topológico.

A pesar de su formidable definición, el índice topológico suele ser sencillo de evaluar explícitamente. Entonces esto hace posible evaluar el índice analítico. (El cokernel y el kernel de un operador elíptico son en general extremadamente difíciles de evaluar individualmente; el teorema del índice muestra que generalmente podemos al menos evaluar su diferencia ). Muchas invariantes importantes de una variedad (como la firma) se pueden dar como la índice de operadores diferenciales adecuados, por lo que el teorema del índice nos permite evaluar estos invariantes en términos de datos topológicos.

Aunque el índice analítico suele ser difícil de evaluar directamente, al menos obviamente es un número entero. El índice topológico es, por definición, un número racional, pero por lo general no resulta del todo obvio a partir de la definición que también sea integral. Entonces, el teorema del índice de Atiyah-Singer implica algunas propiedades de integralidad profundas, ya que implica que el índice topológico es integral.

El índice de un operador diferencial elíptico obviamente desaparece si el operador es autoadjunto. También desaparece si la variedad X tiene una dimensión impar, aunque hay operadores elípticos pseudodiferenciales cuyo índice no desaparece en dimensiones impares.

Relación con Grothendieck-Riemann-Roch

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue una de las principales motivaciones detrás del teorema del índice porque el teorema del índice es la contraparte de este teorema en el contexto de variedades reales. Ahora bien, si hay un mapa de variedades compactas, estables y casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativo ^[28] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

Si es un punto, entonces recuperamos la afirmación anterior. Aquí está el grupo Grothendieck de haces de vectores complejos. Este diagrama conmutativo es formalmente muy similar al teorema GRR porque los grupos de cohomología de la derecha se reemplazan por el anillo de Chow de una variedad suave, y el grupo de Grothendieck de la izquierda está dado por el grupo de Grothendieck de haces de vectores algebraicos. ${\displaystyle Y=*}$ ${\displaystyle K(X)}$

Extensiones del teorema del índice Atiyah-Singer

Teorema del índice de Teleman

Debido a (Teleman 1983), (Teleman 1984):

Para cualquier operador elíptico abstracto (Atiyah 1970) en una variedad topológica cerrada y orientada, el índice analítico es igual al índice topológico.

La prueba de este resultado pasa por consideraciones específicas, incluida la extensión de la teoría de Hodge a las variedades combinatorias y de Lipschitz (Teleman 1980), (Teleman 1983), la extensión del operador característico de Atiyah-Singer a las variedades de Lipschitz (Teleman 1983), la K- homología (Kasparov 1972) y cobordismo topológico (Kirby y Siebenmann 1977).

Este resultado muestra que el teorema del índice no es simplemente un enunciado de diferenciabilidad, sino más bien un enunciado topológico.

Teorema del índice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman

Debido a (Donaldson y Sullivan 1989), (Connes, Sullivan y Teleman 1994):

Para cualquier variedad cuasiconforme existe una construcción local de las clases características de Hirzebruch-Thom.

Esta teoría se basa en un operador de firma S , definido en formas diferenciales de grado medio en variedades cuasiconformes de dimensión par (compárese (Donaldson & Sullivan 1989)).

Utilizando el cobordismo topológico y la homología K se puede proporcionar una declaración completa de un teorema de índice sobre variedades cuasiconformes (consulte la página 678 de (Connes, Sullivan y Teleman 1994)). El trabajo (Connes, Sullivan y Teleman 1994) "proporciona construcciones locales para clases características basadas en parientes de dimensiones superiores del mapeo de Riemann medible en la dimensión dos y la teoría de Yang-Mills en la dimensión cuatro".

Estos resultados constituyen avances significativos en la línea del programa de Singer Perspectivas en Matemáticas (Singer 1971). Al mismo tiempo, también proporcionan una construcción efectiva de las clases racionales de Pontrjagin en variedades topológicas. El artículo (Teleman 1985) proporciona un vínculo entre la construcción original de Thom de las clases racionales de Pontrjagin (Thom 1956) y la teoría de índices.

Es importante mencionar que la fórmula del índice es una declaración topológica. Las teorías de la obstrucción de Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson muestran que sólo una minoría de variedades topológicas poseen estructuras diferenciables y éstas no son necesariamente únicas. El resultado de Sullivan sobre Lipschitz y las estructuras cuasiconformes (Sullivan 1979) muestra que cualquier variedad topológica en una dimensión diferente a 4 posee una estructura que es única (hasta una isotopía cercana a la identidad).

Las estructuras cuasiconformes (Connes, Sullivan y Teleman 1994) y más generalmente las estructuras L ^p , p > n ( n +1)/2, introducidas por M. Hilsum (Hilsum 1999), son las estructuras analíticas más débiles en variedades topológicas de dimensión n para la cual se sabe que se cumple el teorema del índice.

Otras extensiones

• El teorema de Atiyah-Singer se aplica a los operadores pseudodiferenciales elípticos de la misma manera que a los operadores diferenciales elípticos. De hecho, por razones técnicas, la mayoría de las primeras pruebas funcionaron con operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales: su flexibilidad adicional facilitó algunos pasos de las pruebas.
• En lugar de trabajar con un operador elíptico entre dos conjuntos de vectores, a veces es más conveniente trabajar con un complejo elíptico
  $${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$
  de paquetes de vectores. La diferencia es que los símbolos ahora forman una secuencia exacta (fuera de la sección cero). En el caso de que solo haya dos paquetes distintos de cero en el complejo, esto implica que el símbolo es un isomorfismo de la sección cero, por lo que un complejo elíptico con 2 términos es esencialmente lo mismo que un operador elíptico entre dos paquetes de vectores. Por el contrario, el teorema del índice para un complejo elíptico puede reducirse fácilmente al caso de un operador elíptico: los dos haces de vectores están dados por las sumas de los términos pares o impares del complejo, y el operador elíptico es la suma de los operadores de el complejo elíptico y sus adjuntos, restringidos a la suma de los haces pares.
• Si se permite que la variedad tenga límite, entonces se deben imponer algunas restricciones al dominio del operador elíptico para garantizar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones del dominio desaparezcan en el límite) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones del dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). Atiyah y Bott resolvieron el caso local, pero demostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador de firma ) no admiten condiciones de contorno locales. Para manejar estos operadores, Atiyah , Patodi y Singer introdujeron condiciones de contorno globales equivalentes a unir un cilindro al colector a lo largo del límite y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son cuadradas integrables a lo largo del cilindro. Este punto de vista se adopta en la demostración de Melrose (1993) del teorema del índice Atiyah-Patodi-Singer.
• En lugar de un solo operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por algún espacio Y. En este caso, el índice es un elemento de la teoría K de Y , en lugar de un número entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en la teoría K real de Y. Esto proporciona un poco de información adicional, ya que la correspondencia entre la teoría K real de Y y la teoría K compleja no siempre es inyectiva.
• Si hay una acción grupal de un grupo G sobre la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces se reemplaza la teoría K ordinaria con la teoría K equivariante . Además, se obtienen generalizaciones del teorema del punto fijo de Lefschetz , con términos provenientes de subvariedades de punto fijo del grupo G. Véase también: teorema del índice equivariante .
• Atiyah (1976) mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, actuadas por un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; En general, este índice tiene un valor real y no un valor entero. Esta versión se denomina teorema del índice L ² y fue utilizada por Atiyah y Schmid (1977) para volver a derivar propiedades de las representaciones en series discretas de grupos de Lie semisimples .
• El teorema del índice de Callias es un teorema del índice para un operador de Dirac en un espacio de dimensiones impares no compacto. El índice Atiyah-Singer sólo se define en espacios compactos y desaparece cuando su dimensión es impar. En 1978 Constantine Callias, por sugerencia de su Ph.D. El asesor Roman Jackiw , utilizó la anomalía axial para derivar este teorema del índice en espacios equipados con una matriz hermitiana llamada campo de Higgs . ^[29] El índice del operador de Dirac es un invariante topológico que mide el devanado del campo de Higgs en una esfera en el infinito. Si U es la matriz unitaria en la dirección del campo de Higgs, entonces el índice es proporcional a la integral de U ( dU ) ^{n −1} sobre la esfera ( n −1 ) en el infinito. Si n es par, siempre es cero.
  • La interpretación topológica de esta invariante y su relación con el índice de Hörmander propuesta por Boris Fedosov, generalizada por Lars Hörmander , fue publicada por Raoul Bott y Robert Thomas Seeley . ^[30]

Ejemplos

Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Supongamos que es una variedad compacta orientada de dimensión . Si tomamos como suma de las potencias pares exteriores del fibrado cotangente, y como suma de las potencias impares, definamos , considerado como un mapa de a . Entonces el índice analítico de es la característica de Euler de la cohomología de Hodge de , y el índice topológico es la integral de la clase de Euler sobre la variedad. La fórmula del índice para este operador produce el teorema de Chern-Gauss-Bonnet . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D=d+d^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

El cálculo concreto es el siguiente: según una variación del principio de división , si es un paquete vectorial real de dimensión , para probar afirmaciones que involucran clases características, podemos suponer que hay paquetes de líneas complejos tales que . Por tanto, podemos considerar las raíces de Chern , , . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$ ${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$ ${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$

Usando las raíces de Chern como arriba y las propiedades estándar de la clase Euler, tenemos eso . En cuanto al personaje de Chern y la clase Todd, ^[31] ${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice,

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

que es la versión "topológica" del teorema de Chern-Gauss-Bonnet (el geométrico se obtiene aplicando el homomorfismo de Chern-Weil ).

Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Considere que X es una variedad compleja de dimensión (compleja) n con un paquete de vectores holomorfos V . Dejamos que los paquetes vectoriales E y F sean las sumas de los paquetes de formas diferenciales con coeficientes en V de tipo (0, i ) con i par o impar, y dejamos que el operador diferencial D sea la suma

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

restringido a E.

Esta derivación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es más natural si utilizamos el teorema del índice para complejos elípticos en lugar de operadores elípticos. Podemos considerar el complejo como

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

con el diferencial dado por . Entonces el i'ésimo grupo de cohomología es simplemente el grupo de cohomología coherente H ⁱ ( X , V ), por lo que el índice analítico de este complejo es la característica holomorfa de Euler de V : ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

Dado que estamos tratando con paquetes complejos, el cálculo del índice topológico es más sencillo. Usando raíces de Chern y haciendo cálculos similares a los del ejemplo anterior, la clase de Euler está dada por y ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice, obtenemos el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

De hecho, obtenemos una generalización para todas las variedades complejas: la prueba de Hirzebruch solo funcionó para variedades complejas proyectivas X .

Teorema de la firma de Hirzebruch

El teorema de la firma de Hirzebruch establece que la firma de una variedad compacta orientada X de dimensión 4 k viene dada por el género L de la variedad. Esto se desprende del teorema del índice Atiyah-Singer aplicado al siguiente operador de firma .

Los paquetes E y F están dados por los espacios propios +1 y −1 del operador en el paquete de formas diferenciales de X , que actúa sobre k -formas multiplicadas por el operador estrella de Hodge . El operador D es el laplaciano de Hodge. ${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

restringido a E , donde d es la derivada exterior de Cartan y d * es su adjunto.

El índice analítico de D es la firma de la variedad X y su índice topológico es el género L de X , por lo que son iguales.

 género y teorema de Rochlin

El género  es un número racional definido para cualquier variedad, pero en general no es un número entero. Borel y Hirzebruch demostraron que es integral para variedades de espín, y un número entero par si además la dimensión es 4 mod 8. Esto se puede deducir del teorema del índice, que implica que el género  para variedades de espín es el índice de Dirac operador. El factor adicional de 2 en las dimensiones 4 mod 8 proviene del hecho de que en este caso el núcleo y el cokernel del operador de Dirac tienen una estructura cuaterniónica, por lo que, como espacios vectoriales complejos, tienen dimensiones pares, por lo que el índice es par.

En la dimensión 4, este resultado implica el teorema de Rochlin de que la firma de una variedad de espín de 4 dimensiones es divisible por 16: esto se deduce porque en la dimensión 4 el género  es menos un octavo de la firma.

Técnicas de prueba

Operadores pseudodiferenciales

Los operadores pseudodiferenciales se pueden explicar fácilmente en el caso de operadores de coeficientes constantes en el espacio euclidiano. En este caso, los operadores diferenciales de coeficientes constantes son solo las transformadas de Fourier de la multiplicación por polinomios, y los operadores pseudodiferenciales de coeficientes constantes son solo las transformadas de Fourier de la multiplicación por funciones más generales.

Muchas pruebas del teorema del índice utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales. La razón de esto es que para muchos propósitos no hay suficientes operadores diferenciales. Por ejemplo, una pseudoinversa de un operador diferencial elíptico de orden positivo no es un operador diferencial, sino un operador pseudodiferencial. Además, existe una correspondencia directa entre los datos que representan elementos de K(B( X ), S ( X )) (funciones de embrague) y símbolos de operadores pseudodiferenciales elípticos.

Los operadores pseudodiferenciales tienen un orden, que puede ser cualquier número real o incluso −∞, y tienen símbolos (que ya no son polinomios en el espacio cotangente), y los operadores diferenciales elípticos son aquellos cuyos símbolos son invertibles para vectores cotangentes suficientemente grandes. La mayoría de las versiones del teorema del índice se pueden ampliar desde operadores diferenciales elípticos hasta operadores pseudodiferenciales elípticos.

Cobordismo

La prueba inicial se basó en la del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch (1954) e involucró la teoría del cobordismo y operadores pseudodiferenciales .

La idea de esta primera prueba es aproximadamente la siguiente. Considere el anillo generado por pares ( X , V ) donde V es un paquete de vectores suave en la variedad compacta orientada suave X , con relaciones en las que la suma y el producto del anillo en estos generadores están dados por unión disjunta y producto de variedades (con las operaciones obvias en los paquetes de vectores), y cualquier límite de una variedad con paquete de vectores es 0. Esto es similar al anillo de cobordismo de variedades orientadas, excepto que las variedades también tienen un paquete de vectores. Los índices topológicos y analíticos se reinterpretan como funciones desde este anillo hasta los números enteros. Luego se comprueba que estas dos funciones son, de hecho, homomorfismos de anillo. Para comprobar que son iguales, basta entonces comprobar que son iguales en un conjunto de generadores de este anillo. La teoría del cobordismo de Thom ofrece un conjunto de generadores; por ejemplo, espacios vectoriales complejos con el paquete trivial junto con ciertos paquetes sobre esferas de dimensiones pares. Por tanto, el teorema del índice puede demostrarse comprobándolo en estos casos particularmente simples.

teoría k

La primera prueba publicada de Atiyah y Singer utilizó la teoría K en lugar del cobordismo. Si i es cualquier inclusión de variedades compactas de X a Y , definieron una operación de 'empuje hacia adelante' i _! de operadores elípticos de X a operadores elípticos de Y que preserva el índice. Al tomar Y como alguna esfera en la que X se incrusta, esto reduce el teorema del índice al caso de esferas. Si Y es una esfera y X es algún punto incrustado en Y , entonces cualquier operador elíptico en Y es la imagen debajo de i _. de algún operador elíptico en el punto. Esto reduce el teorema del índice al caso de un punto, donde es trivial.

ecuación de calor

Atiyah, Bott y Patodi  (1973) dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación del calor ; véase, por ejemplo, Berline, Getzler y Vergne (1992). La prueba también está publicada en (Melrose 1993) y (Gilkey 1994).

Si D es un operador diferencial con D* adjunto , entonces D*D y DD* son operadores autoadjuntos cuyos valores propios distintos de cero tienen las mismas multiplicidades. Sin embargo, sus espacios propios cero pueden tener multiplicidades diferentes, ya que estas multiplicidades son las dimensiones de los núcleos de D y D* . Por lo tanto, el índice de D viene dado por

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

para cualquier t positivo . El lado derecho está dado por el rastro de la diferencia de los núcleos de dos operadores de calor. Estos tienen una expansión asintótica para t positivo pequeño , que puede usarse para evaluar el límite cuando t tiende a 0, lo que demuestra el teorema del índice de Atiyah-Singer. Las expansiones asintóticas para t pequeña parecen muy complicadas, pero la teoría invariante muestra que existen enormes cancelaciones entre los términos, lo que hace posible encontrar los términos principales explícitamente. Estas cancelaciones se explicaron posteriormente mediante la supersimetría.

Ver también

• (-1)F  – Término en la teoría cuántica de camposPages displaying short descriptions of redirect targets
• Índice Witten  : función de partición modificada

Citas

1. Atiyah y cantante 1963.
2. Kayani 2020.
3. Hamilton 2020, pag. 11.
4. Gel'fand 1960.
5. Palacio 1965.
6. Cartan-Schwartz 1965.
7. Atiyah y cantante 1968a.
8. Atiyah y Singer (1968a); Atiyah y Singer (1968b); Atiyah y Singer (1971a); Atiyah y Singer (1971b).
9. Nóvikov 1965.
10. Kirby y Siebenmann 1969.
11. Tom 1956.
12. Atiyah 1970.
13. Cantante 1971.
14. Kaspárov 1972.
15. Atiyah, Bott y Patodi 1973.
16. Melrose 1993.
17. Sullivan 1979.
18. Getzler 1983.
19. Witten 1982.
20. Telemán 1983.
21. Telemán 1984.
22. Connes 1986.
23. Donaldson y Sullivan 1989.
24. Connes y Moscovici 1990.
25. Connes, Sullivan y Teleman 1994.
26. Shanahan, P. (1978), El teorema del índice Atiyah-Singer , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 638, Springer, CiteSeerX  10.1.1.193.9222 , doi : 10.1007/BFb0068264, ISBN 978-0-387-08660-6
27. Lawson, H. Blane ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Geometría de giro , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0
28. "topología algebraica: ¿cómo entender la clase de Todd?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 5 de febrero de 2021 .
29. Teoremas de índice sobre espacios abiertos
30. Algunas observaciones sobre el artículo de Callias
31. Nakahara, Mikio (2003), Geometría, topología y física , Institute of Physics Publishing, ISBN 0-7503-0606-8

Referencias

Los artículos de Atiyah se reimprimen en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas (Atiyah 1988a, 1988b).

• Atiyah, MF (1970), "Teoría global de los operadores elípticos", Proc. En t. Conf. sobre análisis funcional y temas relacionados (Tokio, 1969) , Universidad de Tokio, Zbl  0193.43601
• Atiyah, MF (1976), "Operadores elípticos, grupos discretos y álgebras de von Neumann", Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) , Asterisque, vol. 32–33, Soc. Matemáticas. Francia, París, págs. 43–72, MR  0420729
• Atiyah, MF ; Segal, GB (1968), "El índice de operadores elípticos: II", Annals of Mathematics , segunda serie, 87 (3): 531–545, doi :10.2307/1970716, JSTOR  1970716Esto reformula el resultado como una especie de teorema del punto fijo de Lefschetz, utilizando la teoría K equivariante.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1963), "El índice de operadores elípticos en colectores compactos", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 69 (3): 422–433, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-XUn anuncio del teorema del índice.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968a), "El índice de operadores elípticos I", Annals of Mathematics , 87 (3): 484–530, doi :10.2307/1970715, JSTOR  1970715Esto proporciona una prueba utilizando la teoría K en lugar de la cohomología.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968b), "El índice de operadores elípticos III", Annals of Mathematics , segunda serie, 87 (3): 546–604, doi :10.2307/1970717, JSTOR  1970717Este artículo muestra cómo convertir de la versión de la teoría K a una versión que utiliza cohomología.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1971a), "El índice de operadores elípticos IV", Annals of Mathematics , segunda serie, 93 (1): 119–138, doi :10.2307/1970756, JSTOR  1970756Este artículo estudia familias de operadores elípticos, donde el índice es ahora un elemento de la teoría K del espacio que parametriza la familia.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1971b), "El índice de operadores elípticos V", Annals of Mathematics , segunda serie, 93 (1): 139–149, doi :10.2307/1970757, JSTOR  1970757. Esto estudia familias de operadores elípticos reales (en lugar de complejos), cuando a veces se puede extraer un poco de información adicional.
• Atiyah, MF ; Bott, R. (1966), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores diferenciales elípticos", Bull. Soy. Matemáticas. Soc. , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. Esto establece un teorema que calcula el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico.
• Atiyah, MF ; Bott, R. (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: I", Annals of Mathematics , segunda serie, 86 (2): 374–407, doi :10.2307/1970694, JSTOR  1970694y Atiyah, MF; Bott, R. (1968), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: II. Aplicaciones", Annals of Mathematics , segunda serie, 88 (3): 451–491, doi :10.2307/1970721, JSTOR  1970721 Estos dan las pruebas y algunas aplicaciones de los resultados anunciados en el artículo anterior.
• Atiyah, M .; Bott, R .; Patodi, VK (1973), "Sobre la ecuación del calor y el teorema del índice", Invent. Matemáticas. , 19 (4): 279–330, Bibcode :1973InMat..19..279A, doi :10.1007/BF01425417, MR  0650828, S2CID  115700319. Atiyah, M.; Bot, R.; Patodi, VK (1975), "Errata", Inventar. Matemáticas. , 28 (3): 277–280, Bibcode :1975InMat..28..277A, doi : 10.1007/BF01425562 , SEÑOR  0650829
• Atiyah, Michael ; Schmid, Wilfried (1977), "Una construcción geométrica de la serie discreta para grupos de Lie semisimples", Invent. Matemáticas. , 42 : 1–62, Bibcode :1977InMat..42....1A, doi :10.1007/BF01389783, MR  0463358, S2CID  189831012, Atiyah, Michael; Schmid, Wilfried (1979), "Erratum", Inventar. Matemáticas. , 54 (2): 189–192, Bibcode :1979InMat..54..189A, doi : 10.1007/BF01408936 , SEÑOR  0550183
• Atiyah, Michael (1988a), Obras completas. vol. 3. Teoría del índice: 1, Oxford Science Publications, Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853277-4, señor  0951894
• Atiyah, Michael (1988b), Obras completas. vol. 4. Teoría del índice: 2 , Oxford Science Publications, Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853278-1, señor  0951895
• Baum, P .; Fulton, W .; Macpherson, R. (1979), "Riemann-Roch para variedades singulares", Acta Mathematica , 143 : 155–191, doi :10.1007/BF02684299, S2CID  83458307, Zbl  0332.14003
• Berlín, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992), Heat Kernels and Dirac Operadores , Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-53340-5Esto proporciona una prueba elemental del teorema del índice del operador de Dirac, utilizando la ecuación de calor y la supersimetría.
• Bismut, Jean-Michel (1984), "Los teoremas de Atiyah-Singer: un enfoque probabilístico. I. El teorema del índice", J. Funct. Anal. , 57 : 56–99, doi : 10.1016/0022-1236(84)90101-0Bismut demuestra el teorema de los complejos elípticos utilizando métodos probabilísticos, en lugar de métodos de ecuaciones de calor.
• Cartan-Schwartz (1965), Seminario Henri Cartan. Teorema de Atiyah-Singer sobre el índice de un operador diferente elíptico. 16 años: 1963/64 dirigido por Henri Cartan y Laurent Schwartz. Fasc. 1; Fasc. 2. (francés) , École Normale Supérieure, Secrétariat mathématique, París, Zbl  0149.41102
• Connes, A. (1986), "Geometría diferencial no conmutativa", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 62 : 257–360, doi :10.1007/BF02698807, S2CID  122740195, Zbl  0592.46056
• Connes, A. (1994), Geometría no conmutativa , San Diego: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5, Zbl  0818.46076
• Connes, A .; Moscovici, H. (1990), "Cohomología cíclica, la conjetura de Novikov y grupos hiperbólicos" (PDF) , Topología , 29 (3): 345–388, doi : 10.1016/0040-9383(90)90003-3 , Zbl  0759.58047
• Connes, A .; Sullivan, D .; Teleman, N. (1994), "Asignaciones cuasiconformes, operadores en el espacio de Hilbert y fórmulas locales para clases características", Topología , 33 (4): 663–681, doi : 10.1016/0040-9383(94)90003-5 , Zbl  0840.57013
• Donaldson, SK ; Sullivan, D. (1989), "4 variedades cuasiconformes", Acta Mathematica , 163 : 181–252, doi : 10.1007/BF02392736 , Zbl  0704.57008
• Gel'fand, IM (1960), "Sobre ecuaciones elípticas", Russ. Matemáticas. Sobrevivir. , 15 (3): 113–123, Bibcode :1960RuMaS..15..113G, doi :10.1070/rm1960v015n03ABEH004094reimpreso en el volumen 1 de sus obras completas, p. 65–75, ISBN 0-387-13619-3 . En la página 120, Gel'fand sugiere que el índice de un operador elíptico debería poder expresarse en términos de datos topológicos. 
• Getzler, E. (1983), "Operadores pseudodiferenciales en supervariedades y el teorema del índice Atiyah-Singer", Commun. Matemáticas. Física. , 92 (2): 163–178, Bibcode :1983CMaPh..92..163G, doi :10.1007/BF01210843, S2CID  55438589
• Getzler, E. (1988), "Una breve prueba del teorema del índice local Atiyah-Singer", Topología , 25 : 111–117, doi : 10.1016/0040-9383(86)90008-X
• Gilkey, Peter B. (1994), Teoría de la invariancia, la ecuación del calor y el teorema de Atiyah-Singer, CRC Press, ISBN 978-0-8493-7874-4Libro de texto gratuito en línea que demuestra el teorema de Atiyah-Singer con un enfoque de ecuación de calor
• Hamilton, MJD (2020). "El bosón de Higgs para matemáticos. Apuntes de conferencias sobre teoría de calibre y ruptura de simetría". arXiv : 1512.02632 [matemáticas.DG].
• Kayani, U. (2020). "Mejora de la supersimetría dinámica de los horizontes de los agujeros negros". arXiv : 1910.01080 [hep-th].
• Higson, Nigel; Roe, John (2000), K-homología analítica , Oxford University Press, ISBN 9780191589201
• Hilsum, M. (1999), "Structures riemaniennes L ^p et K -homologie", Annals of Mathematics , 149 (3): 1007–1022, arXiv : math/9905210 , doi : 10.2307/121079, JSTOR  121079, S2CID  119708566
• Kasparov, GG (1972), "Invariancia topológica de operadores elípticos, I: K-homología", Math. URSS Izvestija (traducción inglesa) , 9 (4): 751–792, Bibcode :1975IzMat...9..751K, doi :10.1070/IM1975v009n04ABEH001497
• Kirby, R .; Siebenmann, LC (1969), "Sobre la triangulación de variedades y la Hauptvermutung", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 75 (4): 742–749, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12271-8
• Kirby, R .; Siebenmann, LC (1977), Ensayos fundamentales sobre variedades, suavizados y triangulaciones topológicas , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, vol. 88, Princeton: Princeton University Press y Tokio University Press
• Lawson, H. Blane ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Geometría de giro , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0
• Melrose, Richard B. (1993), El teorema del índice Atiyah-Patodi-Singer, Wellesley, Mass.: Peters, ISBN 978-1-56881-002-7Libro de texto gratuito en línea.
• Novikov, SP (1965), "Invariancia topológica de las clases racionales de Pontrjagin" (PDF) , Doklady Akademii Nauk SSSR , 163 : 298–300
• Palais, Richard S. (1965), Seminario sobre el teorema del índice Atiyah-Singer, Annals of Mathematics Studies, vol. 57, SL: Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 978-0-691-08031-4Esto describe la prueba original del teorema (Atiyah y Singer nunca publicaron su prueba original, solo versiones mejoradas de la misma).
• Shanahan, P. (1978), El teorema del índice Atiyah-Singer , Lecture Notes in Mathematics, vol. 638, Springer, CiteSeerX  10.1.1.193.9222 , doi : 10.1007/BFb0068264, ISBN 978-0-387-08660-6
• Singer, IM (1971), "Futuras extensiones de la teoría de índices y operadores elípticos", Perspectivas en Matemáticas , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, vol. 70, págs. 171–185
• Sullivan, D. (1979), "Geometría hiperbólica y homeomorfismos", JC Candrell, "Topología geométrica", Proc. Conferencia de topología de Georgia. Atenas, Georgia, 1977 , Nueva York: Academic Press, págs. 543–595, ISBN 978-0-12-158860-1, Zbl  0478.57007
• Sullivan, D .; Teleman, N. (1983), "Una prueba analítica del teorema de Novikov sobre las clases racionales de Pontrjagin", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 , París: 291–293, doi :10.1007/BF02953773, S2CID  8348213, Zbl  0531.58045
• Teleman, N. (1980), "Teoría combinatoria de Hodge y operador de firma", Inventiones Mathematicae , 61 (3): 227–249, Bibcode :1980InMat..61..227T, doi :10.1007/BF01390066, S2CID  122247909
• Teleman, N. (1983), "El índice de operadores de firma en variedades de Lipschitz", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 : 251–290, doi :10.1007/BF02953772, S2CID  121497293, Zbl  0531.58044
• Teleman, N. (1984), "El teorema del índice de variedades topológicas", Acta Mathematica , 153 : 117–152, doi : 10.1007/BF02392376 , Zbl  0547.58036
• Teleman, N. (1985), "Transversalidad y teorema del índice", Ecuaciones integrales y teoría del operador , 8 (5): 693–719, doi :10.1007/BF01201710, S2CID  121137053
• Thom, R. (1956), "Les clases características de Pontrjagin de variétés triangulées", Symp. En t. Arriba. Álg. México , págs. 54–67
• Witten, Edward (1982), "Supersimetría y teoría de Morse", J. Diff. Geom. , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492 , SEÑOR  0683171
• Shing-Tung Yau , ed. (2009) [Publicado por primera vez en 2005], The Founders of Index Theory (2ª ed.), Somerville, Mass.: International Press of Boston, ISBN 978-1571461377- Cuentas personales sobre Atiyah , Bott , Hirzebruch y Singer .

enlaces externos

Enlaces sobre la teoría.

• Mazzeo, Rafe. "El teorema del índice Atiyah-Singer: qué es y por qué debería importarle" (PDF) . Archivado desde el original el 24 de junio de 2006 . Consultado el 3 de enero de 2006 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Presentación en pdf.
• Voitsekhovskii, MI; Shubin, MA (2001) [1994], "Fórmulas de índice", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wassermann, Antonio . "Apuntes de la conferencia sobre el teorema del índice Atiyah-Singer". Archivado desde el original el 29 de marzo de 2017.

Enlaces de entrevistas

• Raussen, Martín; Skau, Christian (2005), "Entrevista con Michael Atiyah e Isadore Singer" (PDF) , Avisos de AMS , págs.
• RR Seeley y otros (1999) Recuerdos de los primeros días de la teoría de índices y los operadores pseudodiferenciales: transcripción parcial de una conversación informal después de la cena durante un simposio celebrado en Roskilde, Dinamarca, en septiembre de 1998.