Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Vincula la característica de Euler de una variedad Riemanniana cerrada de dimensión uniforme con la curvatura

En matemáticas , el teorema de Chern (o el teorema de Chern-Gauss-Bonnet ^{[1] [2] [3]} después de Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss y Pierre Ossian Bonnet ) establece que la característica de Euler-Poincaré (una invariante topológica definido como la suma alterna de los números de Betti de un espacio topológico ) de una variedad de Riemann de dimensión par cerrada es igual a la integral de un determinado polinomio (la clase de Euler ) de su forma de curvatura (un invariante analítico).

Es una generalización muy no trivial del teorema clásico de Gauss-Bonnet (para variedades/ superficies bidimensionales ) a variedades Riemannianas de dimensiones pares superiores. En 1943, Carl B. Allendoerfer y André Weil demostraron un caso especial para las variedades extrínsecas. En un artículo clásico publicado en 1944, Shiing-Shen Chern demostró el teorema con total generalidad que conecta la topología global con la geometría local . ^[4]

El teorema de Riemann-Roch y el teorema del índice Atiyah-Singer son otras generalizaciones del teorema de Gauss-Bonnet.

Declaración

Una forma útil del teorema de Chern es que ^{[5] [6]}

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

donde denota la característica de Euler de . La clase de Euler se define como ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

donde tenemos el pfaffiano . Aquí hay una variedad de Riemann de 2 n dimensiones compacta y orientable sin límite , y es la forma de curvatura asociada de la conexión Levi-Civita . De hecho, la afirmación es válida para la forma de curvatura de cualquier conexión métrica en el fibrado tangente, así como para otros fibrados vectoriales sobre . ^[7] ${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle M}$

Dado que la dimensión es 2 n , tenemos que es una forma diferencial de 2 valores en (ver grupo ortogonal especial ). Por lo tanto, puede considerarse como una matriz 2 n × 2 n simétrica sesgada cuyas entradas son de 2 formas, por lo que es una matriz sobre el anillo conmutativo . Por tanto, el pfaffiano es una forma 2 n . También es un polinomio invariante . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle {\bigwedge }^{\text{even}}\,T^{*}M}$

Sin embargo, el teorema de Chern en general es que para cualquier n -dimensional cerrado y orientable , ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \chi (M)=(e(TM),[M])}$

donde el par anterior (,) denota el producto máximo con la clase de Euler del paquete tangente . ${\displaystyle TM}$

Pruebas

En 1944, SS Chern demostró por primera vez el teorema general en un artículo clásico publicado por el departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton . ^[8]

En 2013, también se encontró una prueba del teorema mediante teorías de campos euclidianos supersimétricos . ^[3]

Aplicaciones

El teorema de Chern-Gauss-Bonnet puede verse como un ejemplo especial en la teoría de clases características . El integrando de Chern es la clase de Euler . Dado que es una forma diferencial de dimensión superior, está cerrada. La naturalidad de la clase de Euler significa que al cambiar la métrica de Riemann , uno permanece en la misma clase de cohomología . Eso significa que la integral de la clase de Euler permanece constante a medida que varía la métrica y, por lo tanto, es una invariante global de la estructura suave. ^[6]

El teorema también ha encontrado numerosas aplicaciones en física , entre ellas: ^[6]

• Fase adiabática o fase de Berry .
• teoria de las cuerdas ,
• física de la Materia Condensada ,
• teoría topológica del campo cuántico ,
• fases topológicas de la materia (ver el Premio Nobel de Física 2016 de Duncan Haldane et al.).

Casos especiales

Colectores de cuatro dimensiones

En la dimensión , para una variedad orientada compacta, obtenemos ${\displaystyle 2n=4}$

${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int _{M}\left(|{\text{Riem}}|^{2}-4|{\text{Ric}}|^{2}+R^{2}\right)\,d\mu }$

donde es el tensor de curvatura de Riemann completo , es el tensor de curvatura de Ricci y es la curvatura escalar . Esto es particularmente importante en la relatividad general , donde el espacio-tiempo se ve como una variedad de 4 dimensiones. ${\displaystyle {\text{Riem}}}$ ${\displaystyle {\text{Ric}}}$ ${\displaystyle R}$

En términos de la descomposición ortogonal de Ricci del tensor de curvatura de Riemann, esta fórmula también se puede escribir como

${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{M}\left({\frac {1}{4}}|W|^{2}-{\frac {1}{2}}|Z|^{2}+{\frac {1}{24}}R^{2}\right)\,d\mu }$

donde está el tensor de Weyl y es el tensor de Ricci sin rastro. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$

Hipersuperficies de dimensiones pares

Para una hipersuperficie compacta y de dimensiones uniformes obtenemos ^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle \int _{M}K\,dV={\frac {1}{2}}\gamma _{n}\,\chi (M)}$

donde es el elemento de volumen de la hipersuperficie, es el determinante jacobiano del mapa de Gauss y es el área de superficie de la unidad n-esfera . ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet es un caso especial cuando se trata de una variedad bidimensional. Surge como el caso especial en el que el índice topológico se define en términos de números de Betti y el índice analítico se define en términos del integrando de Gauss-Bonnet. ${\displaystyle M}$

Al igual que con el teorema bidimensional de Gauss-Bonnet, existen generalizaciones cuando es una variedad con límite . ${\displaystyle M}$

Más generalizaciones

Atiyah-cantante

Una generalización de gran alcance del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema del índice de Atiyah-Singer . ^[6]

Sea un operador diferencial débilmente elíptico entre paquetes de vectores. Eso significa que el símbolo principal es un isomorfismo . Además, una elipticidad fuerte requeriría que el símbolo fuera definido positivo . ${\displaystyle D}$

Sea su operador adjunto . Entonces el índice analítico se define como ${\displaystyle D^{*}}$

${\displaystyle \dim(\ker(D))-\dim(\ker(D^{*}))}$

Por elipticidad esto siempre es finito. El teorema del índice dice que esto es constante ya que el operador elíptico varía suavemente. Es igual a un índice topológico , que puede expresarse en términos de clases características como la clase de Euler .

El teorema de Chern-Gauss-Bonnet se deriva considerando el operador de Dirac

${\displaystyle D=d+d^{*}}$

Dimensiones impares

La fórmula de Chern sólo se define para dimensiones pares porque la característica de Euler desaparece para dimensiones impares. Se están realizando algunas investigaciones sobre "torcer" el teorema del índice en la teoría K para obtener resultados no triviales para dimensiones impares. ^{[10] [11]}

También existe una versión de la fórmula de Chern para los orbifolds . ^[12]

Historia

Shiing-Shen Chern publicó su demostración del teorema en 1944 mientras estaba en el Instituto de Estudios Avanzados . Esta fue históricamente la primera vez que se demostró la fórmula sin asumir que la variedad está incrustada en un espacio euclidiano, que es lo que significa "intrínseco". H. Hopf demostró el caso especial de una hipersuperficie (una subvariedad de dimensiones (n-1) en un espacio euclidiano de n dimensiones) en el que el integrando es la curvatura de Gauss-Kronecker (el producto de todas las curvaturas principales en un punto de la hipersuperficie). Esto fue generalizado independientemente por Allendoerfer en 1939 y Fenchel en 1940 a una subvariedad de Riemann de un espacio euclidiano de cualquier codimensión, para lo cual utilizaron la curvatura de Lipschitz-Killing (el promedio de la curvatura de Gauss-Kronecker a lo largo de cada vector normal unitario sobre la unidad esfera en el espacio normal; para una subvariedad de dimensión par, esto es un invariante que sólo depende de la métrica de Riemann de la subvariedad). Su resultado sería válido para el caso general si se puede asumir el teorema de incrustación de Nash . Sin embargo, este teorema no estaba disponible entonces, ya que John Nash publicó su famoso teorema de incrustación para variedades de Riemann en 1956. En 1943, Allendoerfer y Weil publicaron su demostración para el caso general, en la que utilizaron por primera vez un teorema de aproximación de H. Whitney para reducir En el caso de las variedades riemannianas analíticas, luego incorporaron isométricamente vecindades "pequeñas" de la variedad en un espacio euclidiano con la ayuda del teorema de incrustación local de Cartan-Janet, de modo que puedan unir estas vecindades incrustadas y aplicar el teorema de Allendoerfer anterior. y Fenchel para establecer el resultado global. Esto, por supuesto, es insatisfactorio porque el teorema sólo involucra invariantes intrínsecos de la variedad, entonces la validez del teorema no debería depender de su inclusión en un espacio euclidiano. Weil se reunió con Chern en Princeton después de su llegada en agosto de 1943. Le dijo a Chern que creía que debería haber una prueba intrínseca, que Chern pudo obtener en dos semanas. El resultado es el artículo clásico de Chern "Una prueba intrínseca simple de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades de Riemann cerradas", publicado en Annals of Mathematics el año siguiente. Chern citó en este artículo los trabajos anteriores de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer y Weil. Chern también citó el trabajo de Allendoerfer y Weil en su segundo artículo relacionado con el mismo tema. ^[4]

Ver también

• Homomorfismo de Chern-Weil
• clase negra
• Forma de Chern-Simons
• Teoría de Chern-Simons
• Conjetura de Chern (geometría afín)
• Número de Pontryagin
• clase pontryagin
• Cohomología de De Rham
• fase de berry
• Teorema del índice Atiyah-Singer
• Teorema de Riemann-Roch

Referencias

1. Gilkey, P.; Parque, JH (16 de septiembre de 2014). "Una prueba del teorema de Chern-Gauss-Bonnet para métricas de firma indefinidas mediante continuación analítica". arXiv : 1405.7613 [matemáticas.DG].
2. Buzano, Reto; Nguyen, Huy The (1 de abril de 2019). "La fórmula de Chern-Gauss-Bonnet de dimensiones superiores para colectores singulares conformalmente planos". La revista de análisis geométrico . 29 (2): 1043–1074. doi : 10.1007/s12220-018-0029-z . hdl : 2318/1701050 . ISSN  1559-002X.
3. Berwick-Evans, Daniel (20 de octubre de 2013). "El teorema de Chern-Gauss-Bonnet a través de teorías de campos euclidianos supersimétricos". arXiv : 1310.5383 [matemáticas.AT].
4. Chern, Shiing-shen (octubre de 1945). "Sobre la Curvatura Integra en una variedad de Riemann". Los Anales de las Matemáticas . 46 (4): 674–684. doi :10.2307/1969203. JSTOR  1969203. S2CID  123348816.
5. Morita, Shigeyuki (28 de agosto de 2001). Geometría de Formas Diferenciales . Traducciones de monografías matemáticas. vol. 201. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/mmono/201. ISBN 9780821810453.
6. ^ Operadores. Cycon, HL (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlín: Springer-Verlag. 1987.ISBN _ 978-0387167589. OCLC  13793017.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: otros ( enlace )
7. Bell, Denis (septiembre de 2006). "El teorema de Gauss-Bonnet para haces de vectores". Revista de Geometría . 85 (1–2): 15–21. arXiv : matemáticas/0702162 . doi :10.1007/s00022-006-0037-1. S2CID  6856000.
8. Chern, Shiing-Shen (octubre de 1944). "Una prueba intrínseca simple de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades de Riemann cerradas". Los Anales de las Matemáticas . 45 (4): 747–752. doi :10.2307/1969302. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969302.
9. Guillemin, V.; Pollack, A. (1974). Topología diferencial . Nueva York, Nueva York: Prentice-Hall. pag. 196.ISBN _ 978-0-13-212605-2.
10. "¿Por qué el teorema de Gauss-Bonnet se aplica sólo a un número par de dimensiones?". Intercambio de pilas de matemáticas . 26 de junio de 2012 . Consultado el 8 de mayo de 2019 .
11. Li, Yin (2011). "El teorema de Gauss-Bonnet-Chern sobre variedades de Riemann". arXiv : 1111.4972 [matemáticas.DG].
12. "¿Existe un teorema de Chern-Gauss-Bonnet para los orbifolds?". Desbordamiento matemático . 26 de junio de 2011 . Consultado el 8 de mayo de 2019 .