Operador elíptico

Tipo de operador diferencial

Una solución a la ecuación de Laplace definida en un anillo . El operador de Laplace es el ejemplo más famoso de operador elíptico.

En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , los operadores elípticos son operadores diferenciales que generalizan el operador de Laplace . Se definen por la condición de que los coeficientes de las derivadas de orden más alto sean positivos, lo que implica la propiedad clave de que el símbolo principal es invertible o, de manera equivalente, que no existen direcciones características reales.

Los operadores elípticos son típicos de la teoría potencial y aparecen con frecuencia en electrostática y mecánica continua . La regularidad elíptica implica que sus soluciones tienden a ser funciones suaves (si los coeficientes del operador son suaves). Las soluciones en estado estacionario de ecuaciones hiperbólicas y parabólicas generalmente resuelven ecuaciones elípticas.

Definiciones

Sea un operador diferencial lineal de orden m en un dominio en R ⁿ dado por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u}$$

índice múltiple ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Entonces se llama elíptica si para cada x en y cada distinto de cero en R ⁿ , ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}$$

${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$

En muchas aplicaciones, esta condición no es lo suficientemente fuerte y, en su lugar, se puede imponer una condición de elipticidad uniforme para operadores de orden m  = 2 k :

$${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$$

C^[1]

Un operador no lineal

$${\displaystyle L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)}$$

linealizaciónu

Ejemplo 1

El negativo del laplaciano en R ^d dado por

$${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$

es un operador uniformemente elíptico. El operador de Laplace ocurre frecuentemente en electrostática. Si ρ es la densidad de carga dentro de alguna región Ω, el potencial Φ debe satisfacer la ecuación

$${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .}$$

Ejemplo 2

Dada una función matricial A ( x ) que es simétrica y definida positiva para cada x , que tiene componentes a ^ij , el operador

$${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu}$$

es elíptico. Esta es la forma más general de un operador diferencial elíptico lineal en forma de divergencia de segundo orden. El operador de Laplace se obtiene tomando A = I. Estos operadores también ocurren en electrostática en medios polarizados.

Ejemplo 3

Para p un número no negativo, el p-Laplaciano es un operador elíptico no lineal definido por

$${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).}$$

Un operador no lineal similar ocurre en la mecánica de los glaciares . El tensor de tensión de Cauchy del hielo, según la ley de flujo de Glen , viene dado por

$${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}$$

para alguna constante B . La velocidad de una capa de hielo en estado estacionario resolverá el sistema elíptico no lineal

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$

donde ρ es la densidad del hielo, g es el vector de aceleración gravitacional, p es la presión y Q es un término de fuerza.

Teorema de regularidad elíptica

Sea L un operador elíptico de orden 2 k con coeficientes que tienen 2 k derivadas continuas. El problema de Dirichlet para L es encontrar una función u , dada una función f y algunos valores límite apropiados, tales que Lu = f y que u tenga los valores límite apropiados y las derivadas normales. La teoría de la existencia de operadores elípticos, utilizando la desigualdad de Gårding y el lema de Lax-Milgram , solo garantiza que existe una solución débil u en el espacio de Sobolev H ^k .

En última instancia, esta situación es insatisfactoria, ya que la solución débil u podría no tener suficientes derivadas para que la expresión Lu esté bien definida en el sentido clásico.

El teorema de regularidad elíptica garantiza que, siempre que f sea integrable al cuadrado, u tendrá de hecho 2k derivadas débiles integrables al cuadrado. En particular, si f es infinitamente diferenciable, entonces u también lo es .

Cualquier operador diferencial que exhiba esta propiedad se denomina operador hipoelíptico ; por tanto, todo operador elíptico es hipoelíptico. La propiedad también significa que cada solución fundamental de un operador elíptico es infinitamente diferenciable en cualquier vecindad que no contenga 0.

Como aplicación, supongamos que una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann forman un operador elíptico, se deduce que es suave. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Definición general

Sea un operador diferencial (posiblemente no lineal) entre paquetes de vectores de cualquier rango. Tome su símbolo principal con respecto a una forma única . (Básicamente, lo que estamos haciendo es reemplazar las derivadas covariantes de orden más alto por campos vectoriales ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \xi }$

Decimos que es débilmente elíptica si es un isomorfismo lineal para todo distinto de cero . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$ ${\displaystyle \xi }$

Decimos que es (uniformemente) fuertemente elíptica si para alguna constante , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c>0}$

$${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}$$

para todos y todas . Es importante señalar que la definición de elipticidad en la parte anterior del artículo es elipticidad fuerte . Aquí hay un producto interno. Observe que son campos covectoriales o formas unitarias, pero son elementos del paquete de vectores sobre el que actúa. ${\displaystyle \|\xi \|=1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$

El ejemplo por excelencia de un operador (fuertemente) elíptico es el laplaciano (o su negativo, según la convención). No es difícil ver que es necesario que el orden sea uniforme para que una elipticidad fuerte sea siquiera una opción. De lo contrario, considere enchufar ambos y su negativo. Por otro lado, un operador de primer orden débilmente elíptico, como el operador de Dirac, puede elevarse al cuadrado para convertirse en un operador fuertemente elíptico, como el laplaciano. La composición de operadores débilmente elípticos es débilmente elíptica. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \xi }$

No obstante, la elipticidad débil es lo suficientemente fuerte para la alternativa de Fredholm , las estimaciones de Schauder y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Por otro lado, necesitamos una elipticidad fuerte para el principio de máximo y para garantizar que los valores propios sean discretos y su único punto límite sea el infinito.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Operador hipoelíptico
• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• Principio máximo de Hopf
• complejo elíptico
• Ecuación de onda ultrahiperbólica
• Operador semielíptico
• Lema de Weyl

Notas

1. Tenga en cuenta que esto a veces se denomina elipticidad estricta , y se utiliza elipticidad uniforme para significar que también existe un límite superior en el símbolo del operador. Es importante comprobar las definiciones que utiliza el autor, ya que las convenciones pueden diferir. Véase, por ejemplo, Evans, Capítulo 6, para un uso de la primera definición, y Gilbarg y Trudinger, Capítulo 3, para un uso de la segunda.

Referencias

• Evans, LC (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4974-3, señor  2597943
  Reseña: Rauch, J. (2000). "Ecuaciones diferenciales parciales, de LC Evans" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
  
• Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, señor  0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Operador elíptico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Ecuaciones elípticas lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones elípticas no lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.