Ecuación ultrahiperbólica

Clase de ecuaciones diferenciales parciales

En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales , la ecuación ultrahiperbólica es una ecuación diferencial parcial (EDP) para una función escalar desconocida u de 2 n variables x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n de la forma

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{n}^{2}}}=0.}$$

En términos más generales, si a es cualquier forma cuadrática en 2 n variables con signatura ( n , n ) , entonces cualquier ecuación diferencial parcial cuya parte principal sea se dice que es ultrahiperbólica. Cualquier ecuación de este tipo se puede poner en la forma anterior mediante un cambio de variables. ^[1] ${\displaystyle a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}$

La ecuación ultrahiperbólica ha sido estudiada desde diversos puntos de vista. Por un lado, se asemeja a la ecuación de onda clásica . Esto ha dado lugar a numerosos desarrollos en lo que respecta a sus características , uno de los cuales se debe a Fritz John : la ecuación de John .

En 2008, Walter Craig y Steven Weinstein demostraron que, bajo una restricción no local, el problema del valor inicial está bien planteado para los datos iniciales dados en una hipersuperficie de codimensión uno . ^[2] Y más tarde, en 2022, un equipo de investigación de la Universidad de Michigan extendió las condiciones para resolver ecuaciones de ondas ultrahiperbólicas al tiempo complejo (kime), demostró la dinámica del espacio-kime y mostró aplicaciones de ciencia de datos utilizando modelos lineales basados ​​en tensores de datos de imágenes de resonancia magnética funcional . ^{[3] [4]}

La ecuación también se ha estudiado desde el punto de vista de espacios simétricos y operadores diferenciales elípticos . ^[5] En particular, la ecuación ultrahiperbólica satisface un análogo del teorema del valor medio para funciones armónicas .

Notas

1. Véase Courant y Hilbert.
2. Craig, Walter; Weinstein, Steven. "Sobre el determinismo y la buena formulación en múltiples dimensiones temporales". Proc. R. Soc. A vol. 465 no. 2110 3023-3046 (2008) . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
3. Wang, Y; Shen, Y; Deng, D; Dinov, ID (2022). "Determinismo, planteamiento correcto y aplicaciones de la ecuación de onda ultrahiperbólica en el espacio-clima". Ecuaciones diferenciales parciales en matemáticas aplicadas . 5 (100280). Elsevier: 100280. doi : 10.1016/j.padiff.2022.100280 . PMC 9494226 . PMID  36159725. 
4. Zhang, R; Zhang, Y; Liu, Y; Guo, Y; Shen, Y; Deng, D; Qiu, Y; Dinov, ID (2022). "Representación de superficie kimétrica y modelado lineal tensorial de datos longitudinales". Ecuaciones diferenciales parciales en matemáticas aplicadas . 34 (8). Springer: 6377–6396. doi :10.1007/s00521-021-06789-8. PMC 9355340 . PMID  35936508. 
5. Helgason, S (1959). "Operadores diferenciales en espacios homogéneos". Acta Mathematica . 102 (3–4). Institut Mittag-Leffler: 239–299. doi : 10.1007/BF02564248 .

Referencias

• Richard Courant y David Hilbert (1962). Métodos de física matemática, vol. 2. Wiley-Interscience. págs. 744–752. ISBN 978-0-471-50439-9.
• Lars Hörmander (20 de agosto de 2001). "Teorema del valor medio de Asgeirsson e identidades relacionadas". Journal of Functional Analysis . 2 (184): 377–401. doi : 10.1006/jfan.2001.3743 .
• Lars Hörmander (1990). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Springer-Verlag. Teorema 7.3.4. ISBN 978-3-540-52343-7.
• Sigurdur Helgason (2000). Grupos y análisis geométrico . American Mathematical Society. pp. 319–323. ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Fritz John (1938). "La ecuación diferencial ultrahiperbólica con cuatro variables independientes". Duke Math. J. 4 ( 2): 300–322. doi :10.1215/S0012-7094-38-00423-5.