La ecuación de juan

Ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica

La ecuación de John es una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica que se satisface mediante la transformación de rayos X de una función. Recibe su nombre en honor al matemático germano-estadounidense Fritz John .

Dada una función con soporte compacto la transformada de rayos X es la integral sobre todas las líneas en Parametrizaremos las líneas por pares de puntos en cada línea y definiremos como la transformada de rayos donde ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x+t(y-x))dt.}$

Estas funciones se caracterizan por las ecuaciones de John. ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{i}\partial x_{j}}}=0}$

lo cual está demostrado por Fritz John para la dimensión tres y por Kurusa para dimensiones superiores.

En la tomografía computarizada con rayos X tridimensional, la ecuación de John se puede resolver para completar datos faltantes, por ejemplo cuando los datos se obtienen de una fuente puntual que recorre una curva, normalmente una hélice.

De manera más general, una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica (un término acuñado por Richard Courant ) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la forma

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum \limits _{i=1}^{2n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0}$

donde , tal que la forma cuadrática ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}\xi _{i}\xi _{j}}$

puede reducirse mediante un cambio lineal de variables a la forma

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}-\sum \limits _{i=n+1}^{2n}\xi _{i}^{2}.}$

No es posible especificar arbitrariamente el valor de la solución en una hipersuperficie no característica. Sin embargo, el artículo de John ofrece ejemplos de variedades en las que una especificación arbitraria de u puede extenderse a una solución.

Referencias

• John, Fritz (1938), "La ecuación diferencial ultrahiperbólica con cuatro variables independientes", Duke Mathematical Journal , 4 (2): 300–322, doi :10.1215/S0012-7094-38-00423-5, ISSN  0012-7094, MR  1546052, Zbl  0019.02404
• Á. Kurusa, Una caracterización del rango de la transformada de Radon mediante un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, J. Math. Anal. Appl., 161(1991), 218--226. doi :10.1016/0022-247X(91)90371-6
• SK Patch, Condiciones de consistencia en los datos de TC 3D y la ecuación de onda, Phys. Med. Biol. 47 No 15 (7 de agosto de 2002) 2637-2650 doi :10.1088/0031-9155/47/15/306