En matemáticas , el homomorfismo de Chern-Weil es una construcción básica en la teoría de Chern-Weil que calcula invariantes topológicos de haces de vectores y haces principales en una variedad suave M en términos de conexiones y curvatura que representan clases en los anillos de cohomología de De Rham de M. Es decir, la teoría forma un puente entre las áreas de topología algebraica y geometría diferencial . Fue desarrollado a finales de la década de 1940 por Shiing-Shen Chern y André Weil , a raíz de las demostraciones del teorema generalizado de Gauss-Bonnet . Esta teoría fue un paso importante en la teoría de las clases características .
Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie y denotemos el álgebra de polinomios valorados en (exactamente el mismo argumento funciona si usamos en lugar de ). Sea la subálgebra de puntos fijos bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consta de todos los polinomios f tales que , para todo g en G y x en ,![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\operatorname {Anuncio} _ {g}x)=f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado un paquete G principal P en M , existe un homomorfismo asociado de -álgebras,![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
llamado homomorfismo de Chern-Weil , donde en la cohomología de la derecha está la cohomología de De Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el paquete dado. Si G es compacto o semisimple, entonces el anillo de cohomología del espacio de clasificación para G -paquetes, es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes:![{\displaystyle GB}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(El anillo de cohomología de BG todavía se puede dar en el sentido de De Rham:
![{\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+ 1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando y son múltiples.)![{\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{j}G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición del homomorfismo
Elija cualquier forma de conexión ω en P y sea Ω la forma de curvatura asociada ; es decir , la derivada covariante exterior de ω. Si es una función polinómica homogénea de grado k ; es decir, para cualquier número complejo a y x en , entonces, considerando f como un funcional multilineal simétrico en (ver el anillo de funciones polinomiales ), sea![{\displaystyle \Omega =D\omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ser la forma 2 k (con valor escalar) en P dada por
![{\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S} }_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k- 1)},v_{\sigma (2k)}))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde v i son vectores tangentes a P , es el signo de la permutación en el grupo simétrico en 2 k números (ver Formas valoradas en álgebra de Lie#Operaciones así como Pfaffian ).![{\displaystyle \epsilon _{\sigma }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si, además, f es invariante; es decir, entonces se puede demostrar que es una forma cerrada , que desciende a una forma única en M y que la clase de cohomología de De Rham de la forma es independiente de . Primero, que es una forma cerrada se desprende de los dos lemas siguientes: [1]![{\displaystyle f(\operatorname {Anuncio} _ {g}x)=f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Lema 1: La forma en P desciende a una forma (única) en M ; es decir, hay una forma en M que retrocede hasta .
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Lema 2: Si una forma de en P desciende a una forma en M , entonces .
![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\varphi =D\varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, la segunda identidad de Bianchi dice y, dado que D es una derivación graduada, Finalmente, el Lema 1 dice que satisface la hipótesis del Lema 2.![{\displaystyle D\Omega =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Df(\Omega)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para ver el Lema 2, sea la proyección y h la proyección de sobre el subespacio horizontal. Entonces el Lema 2 es una consecuencia del hecho de que (el núcleo de es precisamente el subespacio vertical). En cuanto al Lema 1, primera nota![{\displaystyle \pi \dos puntos P\a M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{u}P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_ {2k}),\,R_{g}(u)=ug;}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo cual se debe a que yf es invariante. Así, se puede definir mediante la fórmula:![{\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Anuncio} _ {g^{-1}}\Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1 },\puntos,v_{2k}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿ Dónde hay ascensores de : .![{\ Displaystyle v_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {v_{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A continuación, mostramos que la clase de cohomología de De Rham en M es independiente de la elección de la conexión. [2] Sean formas de conexión arbitrarias en P y sea la proyección. Poner![{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _ {0}, \ omega _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\dos puntos P\times \mathbb {R} \to P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde t es una función suave dada por . Sean las formas de curvatura de . Sean las inclusiones. Entonces es homotópico de . Por lo tanto, y pertenecen a la misma clase de cohomología de De Rham por la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Finalmente, por naturalidad y por singularidad de la descendencia,![{\displaystyle P\times \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x,s)\mapsto s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega ',\Omega _ {0},\Omega _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega ',\omega _ {0},\ omega _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle i_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle i_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y lo mismo para . Por tanto, pertenecen a la misma clase de cohomología.![{\displaystyle \Omega _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _ {0}), {\overline {f}}(\Omega _ {1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La construcción da así el mapa lineal: (cf. Lema 1)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[ {\overline {f}}(\Omega )\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, se puede comprobar que el mapa así obtenido:
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un homomorfismo de álgebra .
Ejemplo: clases de Chern y carácter de Chern
Let y su álgebra de Lie. Para cada x en , podemos considerar su polinomio característico en t : [3]![{\displaystyle G=\operatorname {GL} _ {n}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det \left(It{x \over 2\pi i}\right)=\sum _ {k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde i es la raíz cuadrada de -1. Entonces son polinomios invariantes en , ya que el lado izquierdo de la ecuación es. La k -ésima clase de Chern de un paquete suave de vectores complejos E de rango n en una variedad M :![{\ Displaystyle f_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se da como la imagen de bajo el homomorfismo de Chern-Weil definido por E (o más precisamente, el conjunto de marcos de E ). Si t = 1, entonces es un polinomio invariante. La clase Chern total de E es la imagen de este polinomio; eso es,![{\ Displaystyle f_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Directamente a partir de la definición, se puede demostrar que yc dados anteriormente satisfacen los axiomas de las clases de Chern. Por ejemplo, para la fórmula de la suma de Whitney, consideramos![{\displaystyle c_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(It{\Omega /2\pi i}\right)],}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde escribimos para la forma de curvatura 2 en M del paquete de vectores E (por lo que es el descendiente de la forma de curvatura en el paquete de marcos de E ). El homomorfismo de Chern-Weil es el mismo si se usa esto . Ahora, supongamos que E es una suma directa de paquetes de vectores y la forma de curvatura de de modo que, en el término matricial, es la matriz diagonal de bloque con Ω I en la diagonal. Entonces, desde , tenemos:![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle E_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle E_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \det(It{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(It{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(It{\frac {\Omega _ {m}}{2\pi i}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle c_ {t} (E) = c_ {t} (E_ {1}) \ cdots c_ {t} (E_ {m})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde a la derecha la multiplicación es la de un anillo de cohomología: producto de taza . Para la propiedad de normalización, se calcula la primera clase Chern de la línea proyectiva compleja ; ver clase Chern#Ejemplo: el paquete tangente complejo de la esfera de Riemann .
Desde , [4] también tenemos:![{\displaystyle \Omega _ {E\otimes E'}=\Omega _ {E}\otimes I_ {E'}+I_ {E}\otimes \Omega _ {E'}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rango} (E')+\operatorname {rango} (E)c_{1}(E').}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Finalmente, el carácter Chern de E viene dado por
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde está la forma de curvatura de alguna conexión en E (dado que es nilpotente, es un polinomio en ). Entonces ch es un homomorfismo de anillo :![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname { ch} (E)\nombre del operador {ch} (F).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora supongamos que, en algún anillo R que contiene el anillo de cohomología , existe la factorización del polinomio en t :![{\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde están en R (a veces se les llama raíces de Chern). Entonces .![{\displaystyle \lambda _{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _ {j}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: clases de Pontrjagin
Si E es un paquete de vectores reales suaves en una variedad M , entonces la k -ésima clase Pontrjagin de E viene dada como:
![{\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde escribimos para la complejización de E . De manera equivalente, es la imagen bajo el homomorfismo de Chern-Weil del polinomio invariante dado por:![{\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle g_ {2k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {det} \left(It{x \over 2\pi }\right)=\sum _ {k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El homomorfismo para paquetes de vectores holomorfos.
Sea E un paquete de vectores holomorfos (complejos) en una variedad compleja M. La forma de curvatura de E , con respecto a alguna métrica hermitiana, no es solo una forma 2, sino que de hecho es una forma (1, 1) (ver paquete de vectores holomorfos # Métricas hermitianas en un paquete de vectores holomorfos ). Por tanto, el homomorfismo de Chern-Weil asume la forma: con ,![{\displaystyle \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G=\operatorname {GL} _ {n}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega)] .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
- ^ Kobayashi y Nomizu 1969, cap. XII.
- ^ El argumento a favor de la independencia de una elección de conexión aquí está tomado de: Akhil Mathew, Notas sobre la desaparición de Kodaira "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2014 . Consultado el 11 de diciembre de 2014 .
{{cite web}}
: CS1 maint: archived copy as title (link). Kobayashi-Nomizu, el principal referente, da un argumento más concreto. - ^ Nota editorial: esta definición es consistente con la referencia excepto que tenemos t , que es t −1 allí. Nuestra elección parece más estándar y es coherente con nuestro artículo " Clase Chern ".
- ^ Prueba: por definición ,. Ahora calcula el cuadrado usando la regla de Leibniz.
![{\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Bott, Raoul (1973), "Sobre el homomorfismo de Chern-Weil y la cohomología continua de los grupos de Lie", Avances en Matemáticas , 11 (3): 289–303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
- Chern, Shiing-Shen (1951), Temas de geometría diferencial , Instituto de estudios avanzados, notas de conferencias mimeografiadas.
- Chern, Shiing-Shen (1995), Colectores complejos sin teoría potencial , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (El apéndice de este libro, "Geometría de clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de clases características).
- Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974), "Formas características e invariantes geométricas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 99 (1): 48–69, doi :10.2307/1971013, JSTOR 1971013.
- Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1969), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 (nueva ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004), MR 0152974.
- Narasimhan, MS ; Ramanan, S. (1961), "Existencia de conexiones universales" (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi :10.2307/2372896, hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR 2372896, MR 0133772.
- Morita, Shigeyuki (2000), "Geometría de formas diferenciales", Traducciones de monografías matemáticas , 201 , MR 1851352.
Otras lecturas