Conjetura de Chern (geometría afín)

La conjetura de Chern para variedades afines planas fue propuesta por Shiing-Shen Chern en 1955 en el campo de la geometría afín . A partir de 2018, sigue siendo un problema matemático sin resolver.

La conjetura de Chern establece que la característica de Euler de una variedad afín compacta desaparece.

Detalles

En caso de que la conexión ∇ sea la conexión Levi-Civita de una métrica riemanniana , se aplica la fórmula de Chern-Gauss-Bonnet :

${\displaystyle \chi (M)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{M}\operatorname {Pf} (K)}$

implica que la característica de Euler es cero. Sin embargo, no todas las conexiones planas libres de torsión admiten una métrica compatible y, por lo tanto, la teoría de Chern-Weil no se puede utilizar en general para escribir la clase de Euler en términos de curvatura. ${\displaystyle TM}$

Historia

Se sabe que la conjetura se cumple en varios casos especiales:

• cuando una variedad afín compacta es bidimensional (como lo demostró Jean-Paul Benzécri en 1955, y más tarde por John Milnor en 1957 ^[1] )
• cuando una variedad afín compacta es completa (es decir, afínmente difeomorfa a un espacio cociente del espacio afín bajo una acción propia de un grupo discreto de transformaciones afines ), entonces la conjetura es cierta; el resultado lo muestran Bertram Kostant y Dennis Sullivan en 1975 ; el resultado también se derivaría inmediatamente de la conjetura de Auslander; Kostant y Sullivan demostraron que una variedad cerrada con característica de Euler distinta de cero no puede admitir una estructura afín completa)
• cuando una variedad afín compacta es una variedad localmente simétrica irreducible de rango superior (como lo mostraron William Goldman y Morris Hirsch en 1984; demostraron que una variedad localmente simétrica irreducible de rango superior nunca puede admitir una estructura afín)
• cuando una variedad afín compacta es localmente un producto de planos hiperbólicos (como lo muestran Michelle Bucher y Tsachik Gelander en 2011)
• cuando una variedad afín compacta admite una forma de volumen paralelo (es decir, con holonomía lineal en SL ; fue demostrado por Bruno Klingler en 2015; este caso probado más débil se conoció como la conjetura de Chern para variedades afines especiales ; una conjetura de Markus predice que esto es equivalente hasta estar completo) ${\displaystyle (n,\mathbb {R} )}$
• cuando una variedad afín compacta es una superficie hiperbólica compleja (como lo muestra Hester Pieters en 2016)

Resultados relacionados obtenidos adicionalmente:

• En 1958, Milnor demostró desigualdades que caracterizan completamente a aquellos haces de rango dos orientados sobre una superficie que admite una conexión plana.
• En 1977, Smillie demostró que la condición de que la conexión esté libre de torsión es importante. Para cada dimensión par mayor que 2, Smillie construyó variedades cerradas con característica de Euler distinta de cero que admiten una conexión plana en su haz tangente ^[2]

Para variedades pseudo-riemannianas planas o variedades afines complejas , esto se deriva del teorema de Chern-Gauss-Bonnet .

Además, como lo demostraron MW Hirsch y William Thurston en 1975 para variedades afines incompletas, la conjetura se cumple si el grupo de holonomía es una extensión finita, un producto libre de grupos susceptibles (sin embargo, su resultado se aplica a cualquier paquete plano sobre variedades). ^[3]

En 1977, John Smillie produjo una variedad con el haz tangente con conexión plana de torsión distinta de cero y característica de Euler distinta de cero, por lo que refutó la versión fuerte de la conjetura que preguntaba si la característica de Euler de una variedad plana cerrada desaparece. ^[2]

Más tarde, Huyk Kim y Hyunkoo Lee demostraron la existencia de variedades afines y, de manera más general, variedades proyectivas que se desarrollan en un espacio afín con holonomía adaptable mediante una técnica diferente que utiliza el teorema poliédrico no estándar de Gauss-Bonnet desarrollado por Ethan Bloch y Kim y Lee. ^{[4] [5]}

En 2002, Suhyoung Choi generalizó ligeramente el resultado de Hirsch y Thurston de que si la holonomía de una variedad afín cerrada es isomorfa a grupos amalgamados o HNN extendidos a lo largo de grupos finitos, entonces la característica de Euler de la variedad es 0. Demostró que si se obtiene una variedad de dimensión par a partir de una operación de suma conectada de K ( π , 1) con grupos fundamentales adaptables, entonces la variedad no admite una estructura afín (generalizando un resultado de Smillie). ^[6]

En 2008, después de los ejemplos simples de Smillie de variedades cerradas con haces tangentes planos (estos tendrían conexiones afines con curvatura cero, pero posiblemente torsión distinta de cero), Bucher y Gelander obtuvieron más resultados en esta dirección.

En 2015, Mihail Cocos propuso una posible forma de resolver la conjetura y demostró que la característica de Euler de una variedad afín cerrada de dimensión par desaparece.

En 2016, Huitao Feng ( chino :冯惠涛) y Weiping Zhang, ambos de la Universidad de Nankai , afirmaron probar la conjetura en general, pero se encontró un defecto grave, por lo que posteriormente se retractó de la afirmación. Después de la corrección, su resultado actual es una fórmula que cuenta el número de Euler de un paquete de vectores planos en términos de vértices de cubiertas abiertas transversales. ^[7]

Es notorio que el teorema intrínseco de Chern-Gauss-Bonnet demostrado por Chern de que la característica de Euler de una variedad afín cerrada es 0 se aplica sólo a conexiones ortogonales, no a conexiones lineales, de ahí que la conjetura permanezca abierta en esta generalidad (las variedades afines son considerablemente más complicadas). que las variedades de Riemann , donde la completitud métrica es equivalente a la completitud geodésica).

También existe una conjetura relacionada de Mikhail Leonidovich Gromov sobre la desaparición de la cohomología acotada de variedades afines. ^[8]

Conjeturas relacionadas

La conjetura de Chern puede considerarse un caso particular de la siguiente conjetura:

Una variedad asférica cerrada con característica de Euler distinta de cero no admite una estructura plana

Esta conjetura se planteó originalmente para variedades cerradas generales, no solo para las asféricas (pero debido a Smillie, hay un contraejemplo) y, a su vez, también puede considerarse un caso especial de una conjetura aún más general:

Una variedad asférica cerrada con volumen simplicial distinto de cero no admite una estructura plana

Si bien se generaliza la conjetura de Chern sobre variedades afines de esta manera, se la conoce como conjetura de Chern generalizada para variedades que son localmente un producto de superficies.

Referencias

1. J. Milnor, Sobre la existencia de una conexión con la curvatura cero, Commentarii Mathematici Helvetici , volumen 32 (1957), págs.
2. J. Smillie, Variedades planas con característica de Euler distinta de cero, Commentarii Mathematici Helvetici, volumen 52 (1977), págs.
3. M. Hirsch y W. Thurston, Haces foliados, medidas invariantes y variedades planas, Annals of Mathematics , volumen 101 (1975), págs.
4. H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de variedades proyectivamente planas con grupos fundamentales adaptables, Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , volumen 118 (1993), págs.
5. H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de una determinada clase de variedades proyectivamente planas, Topología y sus aplicaciones, volumen 40 (1991), págs.
6. S. Choi, La conjetura de Chern para variedades afines planas utilizando métodos combinatorios, Geometriae Dedicata , volumen 97 (2003), págs.
7. Feng, Huitao; Zhang, Weiping (2017). "Haces de vectores planos y coberturas abiertas". arXiv : 1603.07248v3 [matemáticas.DG].
8. M. Gromov, Invariantes asintóticas de grupos infinitos. Teoría de grupos geométricos. Volumen 2 (1993), 8.A ${\displaystyle _{4}}$

Otras lecturas

• JP Benzécri, Placas locales Variétés, Universidad de Princeton Ph.D. tesis (1955)
• JP Benzécri, Sur les variétés localement affines et projectives, Bulletin de la Société Mathématique de France , volumen 88 (1960), págs.
• W. Goldman y M. Hirsch, La obstrucción por radiación y las formas paralelas en variedades afines, Transactions of the American Mathematical Society , volumen 286, número 2 (1984), págs.
• M. Bucher y T. Gelander, Desigualdades de Milnor-Wood para variedades que son localmente un producto de superficies, Avances en Matemáticas , volumen 228 (2011), págs. 1503-1542
• H. Pieters, Espacios hiperbólicos y cohomología acotada, Universidad de Ginebra Ph.D. tesis (2016)
• B. Kostant y D. Sullivan, La característica de Euler de una forma espacial afín es cero, Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , volumen 81, número 5 (1975), págs.
• J. Milnor, Sobre la existencia de una conexión con la curvatura cero, Commentarii Mathematici Helvetici , volumen 32 (1957), págs. 215-223
• B. Klingler, Conjetura de Chern para variedades afines especiales, preimpresión 2015
• B. Klingler, Conjetura de Chern para variedades afines especiales, Annals of Mathematics , volumen 186 (2017), págs.
• M. Hirsch y W. Thurston, Haces foliados, medidas invariantes y variedades planas, Annals of Mathematics , volumen 101 (1975), págs.
• J. Smillie, Variedades planas con característica de Euler distinta de cero, Commentarii Mathematici Helvetici, volumen 52 (1977), págs.
• H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de una determinada clase de variedades proyectivamente planas, Topología y sus aplicaciones, volumen 40 (1991), págs.
• H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de variedades proyectivamente planas con grupos fundamentales susceptibles, Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , volumen 118 (1993), págs.
• E. Bloch, El defecto del ángulo para poliedros arbitrarios, Beiträge zur Algebra und Geometrie, volumen 39 (1998), págs. 379–393
• H. Kim, Una fórmula poliédrica de Gauss-Bonnet y variedades proyectivamente planas, preimpresión de GARC, Universidad Nacional de Seúl
• S. Choi, La conjetura de Chern para variedades afines planas utilizando métodos combinatorios, Geometriae Dedicata , volumen 97 (2003), págs. 81–92
• M. Bucher y T. Gelander, Desigualdades de Milnor-Wood para variedades localmente isométricas a un producto de planos hiperbólicos, Comptes Rendus Mathematique , volumen 346, números 11–12 (2008), págs.
• Cocos, Mihail (2015). "Conexiones cuasimétricas y una conjetura de Chern sobre variedades afines". arXiv : 1504.04852v3 [matemáticas.DG].
• Feng, Huitao; Zhang, Weiping (2017). "Haces de vectores planos y coberturas abiertas". arXiv : 1603.07248v3 [matemáticas.DG].
• M. Gromov, Invariantes asintóticas de grupos infinitos. Teoría de grupos geométricos. Volumen 2 (1993), 8.A ${\displaystyle _{4}}$