Variedad pseudo-riemanniana

Colector diferenciable con tensor métrico no degenerado

En geometría diferencial , una variedad pseudo-riemanniana , ^{[1] [2]} también llamada variedad semi-riemanniana , es una variedad diferenciable con un tensor métrico que es no degenerado en todas partes . Ésta es una generalización de una variedad de Riemann en la que se relaja el requisito de definición positiva .

Todo espacio tangente de una variedad pseudo-riemanniana es un espacio vectorial pseudo-euclidiano .

Un caso especial utilizado en la relatividad general es una variedad de Lorentz de cuatro dimensiones para modelar el espacio-tiempo , donde los vectores tangentes pueden clasificarse como temporales, nulos y espaciales .

Introducción

Colectores

En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio que es localmente similar a un espacio euclidiano . En un espacio euclidiano de n dimensiones, cualquier punto puede especificarse mediante n números reales. Éstas se llaman coordenadas del punto.

Una variedad diferenciable de n dimensiones es una generalización del espacio euclidiano de n dimensiones. En una variedad, es posible que solo sea posible definir coordenadas localmente . Esto se logra definiendo parches de coordenadas : subconjuntos de la variedad que se pueden mapear en un espacio euclidiano de n dimensiones.

Consulte Colector , Colector diferenciable y Parche de coordenadas para obtener más detalles.

Espacios tangentes y tensores métricos

Asociado con cada punto en una variedad diferenciable de dimensiones hay un espacio tangente (denotado ). Este es un espacio vectorial dimensional cuyos elementos pueden considerarse como clases de equivalencia de curvas que pasan por el punto . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Un tensor métrico es un mapa bilineal , simétrico, suave y no degenerado que asigna un número real a pares de vectores tangentes en cada espacio tangente de la variedad. Denotando el tensor métrico por podemos expresar esto como ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

El mapa es simétrico y bilineal, por lo que si hay vectores tangentes en un punto de la variedad, entonces tenemos ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

para cualquier número real . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Eso es no degenerado significa que no existe un valor distinto de cero para todos . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \,g(X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$

Firmas de métricas

Dado un tensor métrico g en una variedad real de n dimensiones, la forma cuadrática q ( x ) = g ( x , x ) asociada con el tensor métrico aplicado a cada vector de cualquier base ortogonal produce n valores reales. Según la ley de inercia de Sylvester , el número de valores positivos, negativos y cero producidos de esta manera son invariantes del tensor métrico, independientemente de la elección de la base ortogonal. La firma ( p , q , r ) del tensor métrico da estos números, que se muestran en el mismo orden. Un tensor métrico no degenerado tiene r = 0 y la firma se puede denotar ( p , q ), donde p + q = n .

Definición

Una variedad pseudo-riemanniana es una variedad diferenciable equipada con un tensor métrico simétrico, suave y no degenerado en todas partes . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Esta métrica se denomina métrica pseudoriemanniana . Aplicado a un campo vectorial, el valor del campo escalar resultante en cualquier punto de la variedad puede ser positivo, negativo o cero.

La firma de una métrica pseudo-riemanniana es ( p ,  q ) , donde tanto p como q son no negativos. La condición de no degeneración junto con la continuidad implica que p y q permanecen sin cambios en toda la variedad (suponiendo que esté conectada).

Propiedades de las variedades pseudo-riemannianas

Así como el espacio euclidiano puede considerarse como el modelo de variedad de Riemann , el espacio de Minkowski con la métrica plana de Minkowski es el modelo de variedad de Lorentz. Asimismo, el espacio modelo para una variedad pseudo-riemanniana de firma ( p ,  q ) es con la métrica ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

Algunos teoremas básicos de la geometría riemanniana pueden generalizarse al caso pseudoriemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría de Riemann también se aplica a las variedades pseudo-riemannianas. Esto permite hablar de la conexión Levi-Civita en una variedad pseudo-riemanniana junto con el tensor de curvatura asociado . Por otro lado, hay muchos teoremas en la geometría de Riemann que no se cumplen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es cierto que toda variedad suave admita una métrica pseudo-riemanniana de una firma determinada; hay ciertas obstrucciones topológicas . Además, una subvariedad no siempre hereda la estructura de una variedad pseudo-riemanniana; por ejemplo, el tensor métrico se vuelve cero en cualquier curva similar a la luz . El toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo de una variedad pseudo-riemanniana que es compacta pero no completa, una combinación de propiedades que el teorema de Hopf-Rinow no permite para las variedades de Riemann. ^[3]

variedad lorentziana

Una variedad de Lorentz es un caso especial importante de una variedad pseudo-riemanniana en la que la firma de la métrica es (1,  n −1) (equivalentemente, ( n −1, 1) ; ver Convención de signos ). Este tipo de métricas se denominan métricas de Lorentz . Llevan el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz .

Aplicaciones en física

Después de las variedades de Riemann, las variedades de Lorentz forman la subclase más importante de variedades pseudo-riemannianas. Son importantes en aplicaciones de la relatividad general .

Una premisa principal de la relatividad general es que el espacio-tiempo se puede modelar como una variedad lorentziana de firma de 4 dimensiones (3, 1) o, de manera equivalente, (1, 3) . A diferencia de las variedades de Riemann con métricas definidas positivas, una firma indefinida permite clasificar los vectores tangentes en temporales , nulos o espaciales . Con una firma de ( p , 1) o (1,  q ) , la variedad también se puede orientar en el tiempo local (y posiblemente globalmente) (ver Estructura causal ).

Ver también

• Condiciones de causalidad
• Colector globalmente hiperbólico
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Colector orientable
• Tiempo espacial

Notas

1. Benn y Tucker (1987), pág. 172.
2. Obispo y Goldberg (1968), pág. 208
3. O'Neill (1983), pág. 193.

Referencias

• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (publicado por primera vez en la edición de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
• Obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial de variedades (primera edición de Dover, 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Chen, Bang-Yen (2011), Geometría pseudoriemanniana, invariantes δ y aplicaciones , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• O'Neill, Barrett (1983), Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad, matemáticas puras y aplicadas, vol. 103, Prensa académica, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G.; Roşca, R. (1976), Introducción a la relatividad y la geometría pseudoriemanniana , Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

enlaces externos

• Medios relacionados con las variedades de Lorentz en Wikimedia Commons