En teoría de calibre y física matemática , una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT ) es una teoría de campos cuánticos que calcula invariantes topológicos .
Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático, ya que están relacionados, entre otras cosas, con la teoría de nudos y la teoría de las cuatro variedades en topología algebraica , y con la teoría de los espacios de módulos en geometría algebraica . Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por trabajos matemáticos relacionados con la teoría de campos topológicos.
En física de la materia condensada , las teorías topológicas de campos cuánticos son teorías efectivas de baja energía de estados topológicamente ordenados , como los estados de Hall cuánticos fraccionarios , los estados condensados de red de cuerdas y otros estados líquidos cuánticos fuertemente correlacionados .
En una teoría de campos topológicos, las funciones de correlación no dependen de la métrica del espacio-tiempo . Esto significa que la teoría no es sensible a cambios en la forma del espacio-tiempo; si el espacio-tiempo se deforma o se contrae, las funciones de correlación no cambian. En consecuencia, son invariantes topológicas.
Las teorías de campos topológicos no son muy interesantes en el espacio-tiempo plano de Minkowski utilizado en la física de partículas. El espacio de Minkowski se puede contraer hasta un punto , por lo que una TQFT aplicada al espacio de Minkowski da como resultado invariantes topológicos triviales. En consecuencia, las TQFT se suelen aplicar a espacio-tiempos curvos, como, por ejemplo, las superficies de Riemann . La mayoría de las teorías de campos topológicos conocidas se definen en espacios-tiempos de dimensión menor que cinco. Parece que existen algunas teorías de dimensiones superiores, pero no se comprenden muy bien [ cita necesaria ] .
Se cree que la gravedad cuántica es independiente del fondo (en algún sentido adecuado), y las TQFT proporcionan ejemplos de teorías de campos cuánticos independientes del fondo. Esto ha impulsado investigaciones teóricas en curso sobre esta clase de modelos.
(Advertencia: a menudo se dice que las TQFT tienen sólo un número finito de grados de libertad. Esta no es una propiedad fundamental. Sucede que es cierto en la mayoría de los ejemplos que estudian los físicos y matemáticos, pero no es necesario. Un modelo sigma topológico apunta al espacio proyectivo de dimensión infinita, y si tal cosa pudiera definirse, tendría infinitamente infinitos grados de libertad).
Las teorías de campos topológicos conocidas se dividen en dos clases generales: TQFT de tipo Schwarz y TQFT de tipo Witten. Las TQFT de Witten también se denominan a veces teorías de campos cohomológicos. Véase (Schwarz 2000).
En los TQFT de tipo Schwarz , las funciones de correlación o funciones de partición del sistema se calculan mediante la integral de ruta de funcionales de acción independientes de la métrica. Por ejemplo, en el modelo BF , el espacio-tiempo es una variedad bidimensional M, los observables se construyen a partir de una F de dos formas, un escalar auxiliar B y sus derivadas. La acción (que determina la integral de trayectoria) es
La métrica del espacio-tiempo no aparece en ninguna parte de la teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante. El primer ejemplo apareció en 1977 y se debe a A. Schwarz ; su acción funcional es:
Otro ejemplo más famoso es la teoría de Chern-Simons , que puede aplicarse a invariantes de nudos . En general, las funciones de partición dependen de una métrica, pero los ejemplos anteriores son independientes de la métrica.
El primer ejemplo de TQFT de tipo Witten apareció en el artículo de Witten de 1988 (Witten 1988a), es decir, la teoría topológica de Yang-Mills en cuatro dimensiones. Aunque su acción funcional contiene la métrica espaciotemporal g αβ , después de un giro topológico resulta ser métrica independiente. La independencia del tensor tensión-energía T αβ del sistema de la métrica depende de si el operador BRST está cerrado. Siguiendo el ejemplo de Witten se pueden encontrar muchos otros ejemplos en la teoría de cuerdas .
Los TQFT de tipo Witten surgen si se cumplen las siguientes condiciones:
Como ejemplo (Linker 2015): Dado un campo de 2 formas con el operador diferencial que satisface , entonces la acción tiene simetría si desde
Además, se cumple lo siguiente (bajo la condición de que sea independiente y actúe de manera similar a una derivada funcional ):
La expresión es proporcional a con otra forma 2 .
Ahora bien, cualquier promedio de observables para la medida de Haar correspondiente es independiente del campo "geométrico" y, por lo tanto, es topológico:
La tercera igualdad utiliza el hecho de que y la invariancia de la medida de Haar bajo transformaciones de simetría. Como es sólo un número, su derivada de Lie desaparece.
Atiyah sugirió un conjunto de axiomas para la teoría cuántica de campos topológica, inspirados en los axiomas propuestos por Segal para la teoría de campos conforme (posteriormente, la idea de Segal se resumió en Segal (2001)), y el significado geométrico de supersimetría de Witten en Witten (1982). Los axiomas de Atiyah se construyen pegando el límite con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras que los axiomas de Segal son para transformaciones conformes. Estos axiomas han sido relativamente útiles para los tratamientos matemáticos de las QFT de tipo Schwarz, aunque no está claro que capturen toda la estructura de las QFT de tipo Witten. La idea básica es que un TQFT es un functor de una determinada categoría de cobordismos a la categoría de espacios vectoriales .
De hecho, existen dos conjuntos diferentes de axiomas que razonablemente podrían denominarse axiomas de Atiyah. Estos axiomas difieren básicamente en si se aplican o no a un TQFT definido en un único espaciotiempo fijo n -dimensional Riemanniano / Lorentziano M o un TQFT definido en todos los espaciotiempos n -dimensionales a la vez.
Sea Λ un anillo conmutativo con 1 (para casi todos los propósitos del mundo real tendremos Λ = Z , R o C ). Atiyah propuso originalmente los axiomas de una teoría de campos cuánticos topológicos (TQFT) en la dimensión d definida sobre un anillo de tierra Λ de la siguiente manera:
Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas (Atiyah añadió 4 y 5):
Observación. Si para una variedad cerrada M vemos Z ( M ) como un invariante numérico, entonces para una variedad con un límite deberíamos pensar en Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) como un invariante "relativo". Sea f : Σ → Σ un difeomorfismo que preserva la orientación e identifique los extremos opuestos de Σ × I por f . Esto da una variedad Σ f y nuestros axiomas implican
donde Σ( f ) es el automorfismo inducido de Z (Σ).
Observación. Para una variedad M con frontera Σ siempre podemos formar el doble que es una variedad cerrada. El quinto axioma muestra que
donde a la derecha calculamos la norma en la métrica hermitiana (posiblemente indefinida).
Físicamente (2) + (4) están relacionados con la invariancia relativista, mientras que (3) + (5) son indicativos de la naturaleza cuántica de la teoría.
Σ pretende indicar el espacio físico (normalmente, d = 3 para la física estándar) y la dimensión adicional en Σ × I es el tiempo "imaginario". El espacio Z (Σ) es el espacio de Hilbert de la teoría cuántica y una teoría física, con un hamiltoniano H , tendrá un operador de evolución temporal e itH o un operador de "tiempo imaginario" e −tH . La característica principal de las QFT topológicas es que H = 0, lo que implica que no hay dinámica o propagación real, a lo largo del cilindro Σ × I. Sin embargo, puede haber una "propagación" no trivial (o amplitudes de túnel) de Σ 0 a Σ 1 a través de una variedad intermedia M con ; esto refleja la topología de M .
Si ∂ M = Σ, entonces el vector distinguido Z ( M ) en el espacio de Hilbert Z (Σ) se considera como el estado de vacío definido por M . Para un colector cerrado M, el número Z ( M ) es el valor esperado de vacío . En analogía con la mecánica estadística, también se le llama función de partición .
La razón por la que se puede formular sensatamente una teoría con un hamiltoniano cero reside en el enfoque integral de trayectoria de Feynman para QFT. Esto incorpora la invariancia relativista (que se aplica a los "espaciotiempos" generales ( d + 1) dimensionales) y la teoría se define formalmente mediante un lagrangiano adecuado , un funcional de los campos clásicos de la teoría. Un lagrangiano que involucra sólo primeras derivadas en el tiempo conduce formalmente a un hamiltoniano cero, pero el lagrangiano en sí puede tener características no triviales que se relacionan con la topología de M.
En 1988, M. Atiyah publicó un artículo en el que describía muchos ejemplos nuevos de teoría cuántica de campos topológicos que se consideraban en ese momento (Atiyah 1988a) (Atiyah 1988b). Contiene algunos invariantes topológicos nuevos junto con algunas ideas nuevas: invariante de Casson , invariante de Donaldson , teoría de Gromov , homología de Floer y teoría de Jones-Witten .
En este caso Σ consta de un número finito de puntos. A un solo punto le asociamos un espacio vectorial V = Z (punto) y a n puntos el producto tensor de n veces: V ⊗ n = V ⊗ … ⊗ V . El grupo simétrico S n actúa sobre V ⊗ n . Una forma estándar de obtener el espacio cuántico de Hilbert es comenzar con una variedad simpléctica clásica (o espacio de fase ) y luego cuantizarla. Extendamos S n a un grupo de Lie compacto G y consideremos órbitas "integrables" para las cuales la estructura simpléctica proviene de un haz de líneas , luego la cuantificación conduce a las representaciones irreducibles V de G . Esta es la interpretación física del teorema de Borel-Weil o del teorema de Borel-Weil-Bott . El lagrangiano de estas teorías es la acción clásica ( holonomía del haz de líneas). Por lo tanto, las QFT topológicas con d = 0 se relacionan naturalmente con la teoría de representación clásica de los grupos de Lie y el grupo de simetría .
Deberíamos considerar condiciones de frontera periódicas dadas por bucles cerrados en una variedad simpléctica compacta X. Junto con la holonomía de Witten (1982), los bucles utilizados en el caso de d = 0 como lagrangiano se utilizan para modificar el hamiltoniano. Para una superficie cerrada M, el invariante Z ( M ) de la teoría es el número de mapas pseudoholomórficos f : M → X en el sentido de Gromov (son mapas holomórficos ordinarios si X es una variedad de Kähler ). Si este número se vuelve infinito , es decir, si hay "módulos", entonces debemos fijar más datos sobre M. Esto se puede hacer seleccionando algunos puntos Pi y luego mirando mapas holomórficos f : M → X con f ( Pi ) restringido a estar en un hiperplano fijo. Witten (1988b) ha escrito el lagrangiano relevante para esta teoría. Floer ha dado un tratamiento riguroso, es decir, la homología de Floer , basado en las ideas de la teoría Morse de Witten ; Para el caso en que las condiciones de contorno están sobre el intervalo en lugar de ser periódicas, los puntos inicial y final de la ruta se encuentran en dos subvariedades lagrangianas fijas . Esta teoría se ha desarrollado como teoría invariante de Gromov-Witten .
Otro ejemplo es la teoría holomorfa de campos conformes . Es posible que esto no se haya considerado una teoría de campos cuántica estrictamente topológica en ese momento porque los espacios de Hilbert son de dimensión infinita. Las teorías de campos conformes también están relacionadas con el grupo de Lie compacto G en el que la fase clásica consiste en una extensión central del grupo de bucles (LG) . Cuantizarlos produce los espacios de Hilbert de la teoría de representaciones irreducibles (proyectivas) de LG . El grupo Diff + ( S 1 ) ahora sustituye al grupo simétrico y juega un papel importante. Como resultado, la función de partición en tales teorías depende de una estructura compleja , por lo que no es puramente topológica.
La teoría de Jones-Witten es la teoría más importante en este caso. Aquí, el espacio de fase clásico, asociado con una superficie cerrada Σ, es el espacio de módulos de un paquete G plano sobre Σ. El lagrangiano es un múltiplo entero de la función de Chern-Simons de una conexión G en una variedad 3 (que debe estar "enmarcada"). El múltiplo entero k , llamado nivel, es un parámetro de la teoría y k → ∞ da el límite clásico. Esta teoría puede combinarse naturalmente con la teoría d = 0 para producir una teoría "relativa". Los detalles han sido descritos por Witten, quien muestra que la función de partición para un vínculo (enmarcado) en las 3 esferas es simplemente el valor del polinomio de Jones para una raíz de unidad adecuada. La teoría se puede definir sobre el campo ciclotómico relevante , ver Atiyah (1988) . Al considerar una superficie de Riemann con límite, podemos acoplarla a la teoría conforme d = 1 en lugar de acoplar la teoría d = 2 a d = 0. Esto se ha convertido en la teoría de Jones-Witten y ha llevado al descubrimiento de conexiones profundas entre nudos. Teoría y teoría cuántica de campos.
Donaldson ha definido el invariante entero de 4 variedades suaves utilizando espacios de módulos de SU(2)-instantons. Estos invariantes son polinomios de segunda homología. Por lo tanto, las variedades 4 deberían tener datos adicionales que consistan en el álgebra simétrica de H 2 . Witten (1988a) ha producido un lagrangiano supersimétrico que reproduce formalmente la teoría de Donaldson. La fórmula de Witten podría entenderse como un análogo de dimensión infinita del teorema de Gauss-Bonnet . En una fecha posterior, esta teoría se desarrolló aún más y se convirtió en la teoría de calibre de Seiberg-Witten , que reduce SU(2) a U(1) en la teoría de calibre N = 2, d = 4. Floer ha desarrollado la versión hamiltoniana de la teoría en términos del espacio de conexiones en una variedad 3. Floer utiliza la función de Chern-Simons , que es la teoría lagrangiana de Jones-Witten para modificar el hamiltoniano. Para más detalles, véase Atiyah (1988) . Witten (1988a) también ha demostrado cómo se pueden acoplar las teorías d = 3 y d = 1: esto es bastante análogo al acoplamiento entre d = 2 y d = 0 en la teoría de Jones-Witten.
Ahora bien, la teoría de campos topológicos se considera un functor , no en una dimensión fija sino en todas las dimensiones al mismo tiempo.
Sea Bord M la categoría cuyos morfismos son subvariedades n -dimensionales de M y cuyos objetos son componentes conectados de los límites de tales subvariedades. Considere dos morfismos como equivalentes si son homotópicos a través de subvariedades de M , y así forman la categoría de cociente hBord M : Los objetos en hBord M son los objetos de Bord M , y los morfismos de hBord M son clases de equivalencia de homotopía de morfismos en Bord M . Un TQFT en M es un functor monoide simétrico desde hBord M hasta la categoría de espacios vectoriales.
Tenga en cuenta que los cobordismos pueden, si sus límites coinciden, unirse para formar un nuevo bordismo. Esta es la ley de composición de los morfismos en la categoría de cobordismo. Dado que se requieren funtores para preservar la composición, esto dice que el mapa lineal correspondiente a un morfismo cosido es solo la composición del mapa lineal para cada pieza.
Existe una equivalencia de categorías entre la categoría de teorías de campos cuánticos topológicos bidimensionales y la categoría de álgebras conmutativas de Frobenius .
.svg/1280px-Pair_of_pants_cobordism_(pantslike).svg.png)
Para considerar todos los espacio-tiempos a la vez, es necesario reemplazar hBord M por una categoría mayor. Entonces, dejemos que Bord n sea la categoría de bordismos, es decir, la categoría cuyos morfismos son variedades n -dimensionales con límite, y cuyos objetos son los componentes conectados de los límites de variedades n-dimensionales. (Tenga en cuenta que cualquier variedad ( n −1)-dimensional puede aparecer como un objeto en Bord n .) Como arriba, considere dos morfismos en Bord n como equivalentes si son homotópicos y formen la categoría de cociente hBord n . Bord n es una categoría monoidal bajo la operación que asigna dos bordismos al bordismo formado a partir de su unión disjunta. Un TQFT en variedades n -dimensionales es entonces un funtor de hBord n a la categoría de espacios vectoriales, que asigna uniones disjuntas de bordismos a su producto tensorial.
Por ejemplo, para bordismos (1 + 1)-dimensionales (bordismos bidimensionales entre variedades unidimensionales), el mapa asociado con un par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes límite, lo cual es conmutativo. o cocommutativo, mientras que el mapa asociado con un disco proporciona una unidad (traza) o unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de componentes de límite y, por lo tanto, los TQFT de dimensiones (1 + 1) corresponden a álgebras de Frobenius .
Además, podemos considerar simultáneamente variedades tetradimensionales, tridimensionales y bidimensionales relacionadas por los bordismos anteriores, y de ellas podemos obtener amplios e importantes ejemplos.
Al observar el desarrollo de la teoría cuántica de campos topológicos, debemos considerar sus numerosas aplicaciones a la teoría de calibre de Seiberg-Witten , la teoría de cuerdas topológica , la relación entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos, y las invariantes de nudos cuánticos . Además, ha generado temas de gran interés tanto en matemáticas como en física. También son de importante interés reciente los operadores no locales en TQFT (Gukov & Kapustin (2013)). Si la teoría de cuerdas se considera fundamental, entonces las TQFT no locales pueden verse como modelos no físicos que proporcionan una aproximación computacionalmente eficiente a la teoría de cuerdas local.
Las ecuaciones diferenciales estocásticas (parciales) (SDE) son la base de los modelos de todo lo que existe en la naturaleza por encima de la escala de degeneración y coherencia cuánticas y son esencialmente TQFT de tipo Witten. Todas las SDE poseen supersimetría topológica o BRST, y en la representación del operador de dinámica estocástica está la derivada exterior , que es conmutativa con el operador de evolución estocástica. Esta supersimetría preserva la continuidad del espacio de fase mediante flujos continuos, y el fenómeno de ruptura espontánea supersimétrica por un estado fundamental global no supersimétrico abarca conceptos físicos tan bien establecidos como caos , turbulencia , 1/f y ruidos crepitantes , criticidad autoorganizada. etc. El sector topológico de la teoría para cualquier SDE puede reconocerse como un TQFT de tipo Witten.
