4 colectores

Espacio matemático

En matemáticas , una variedad de 4 dimensiones es una variedad topológica de 4 dimensiones . Un 4 colectores lisos es un 4 colectores con una estructura lisa . En la cuarta dimensión, en marcado contraste con las dimensiones inferiores, las variedades topológicas y suaves son bastante diferentes. Existen algunas 4 variedades topológicas que no admiten una estructura suave, e incluso si existe una estructura suave, no necesita ser única (es decir, hay 4 variedades suaves que son homeomorfas pero no difeomorfas ).

Las 4 variedades son importantes en física porque en la Relatividad General , el espacio-tiempo se modela como una 4 variedades pseudo-riemannianas .

4 variedades topológicas

El tipo de homotopía de una variedad 4 compacta simplemente conectada solo depende de la forma de intersección en la homología de dimensión media. Un famoso teorema de Michael Freedman  (1982) implica que el tipo de homeomorfismo de la variedad sólo depende de esta forma de intersección y de un invariante llamado invariante de Kirby-Siebenmann , y además que puede surgir toda combinación de forma unimodular e invariante de Kirby-Siebenmann. , excepto que si la forma es par, entonces el invariante de Kirby-Siebenmann debe ser la firma/8 (mod 2). ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Ejemplos:

• En el caso especial en el que la forma es 0, esto implica la conjetura topológica de Poincaré de 4 dimensiones .
• Si la forma es la red E8 , esto da una variedad llamada variedad E8 , una variedad no homeomorfa a ningún complejo simplicial .
• Si la forma es , hay dos variedades dependiendo del invariante de Kirby-Siebenmann: una es un espacio proyectivo complejo bidimensional y la otra es un espacio proyectivo falso, con el mismo tipo de homotopía pero no homeomórfico (y sin una estructura suave) . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cuando el rango de la forma es mayor que aproximadamente 28, el número de formas unimodulares definidas positivas comienza a aumentar extremadamente rápidamente con el rango, por lo que hay un gran número de 4 variedades topológicas simplemente conectadas correspondientes (la mayoría de las cuales parecen ser de casi no hay interés).

La clasificación de Freedman se puede ampliar a algunos casos en los que el grupo fundamental no es demasiado complicado; por ejemplo, cuando es , hay una clasificación similar a la anterior usando formas hermitianas sobre el anillo del grupo de . Si el grupo fundamental es demasiado grande (por ejemplo, un grupo libre con 2 generadores), entonces las técnicas de Freedman parecen fallar y se sabe muy poco acerca de tales variedades. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para cualquier grupo presentado finitamente, es fácil construir una variedad 4 compacta (suave) con él como grupo fundamental. Como no existe un algoritmo para saber si dos grupos presentados finitamente son isomorfos (incluso si se sabe que uno es trivial), no existe un algoritmo para saber si dos variedades de 4 tienen el mismo grupo fundamental. Ésta es una de las razones por las que gran parte del trabajo sobre 4 variedades sólo considera el caso simplemente conexo: ya se sabe que el caso general de muchos problemas es intratable.

4 colectores lisos

Para variedades de dimensión 6 como máximo, cualquier estructura lineal por partes (PL) se puede suavizar de una manera esencialmente única, ^[1] por lo que, en particular, la teoría de las variedades PL de 4 dimensiones es muy similar a la teoría de las variedades suaves de 4 dimensiones.

Un importante problema abierto en la teoría de las 4 variedades suaves es clasificar las compactas simplemente conectadas. Como se conocen los topológicos, este se divide en dos partes:

1. ¿Qué variedades topológicas se pueden suavizar?
2. Clasificar las diferentes estructuras lisas en una variedad suavizable.

Existe una respuesta casi completa al primer problema de saber qué colectores compactos de 4 conectados simplemente tienen estructuras lisas. En primer lugar, la clase Kirby-Siebenmann debe desaparecer.

• Si la forma de intersección es definida, el teorema de Donaldson (Donaldson 1983) da una respuesta completa: hay una estructura suave si y sólo si la forma es diagonalizable.
• Si la forma es indefinida e impar hay una estructura suave.
• Si la forma es indefinida e incluso podemos suponer que es de firma no positiva cambiando de orientación si es necesario, en cuyo caso es isomorfa a una suma de m copias de II _1,1 y 2 n copias de E ₈ (- 1) para algunos m y n . Si m ≥ 3 n (de modo que la dimensión sea al menos 11/8 veces la |firma|) entonces hay una estructura suave, dada al tomar una suma conexa de n K3 superficies y m  − 3 n copias de S ² × S ² . Si m ≤ 2 n (por lo que la dimensión es como máximo 10/8 veces la |firma|) entonces Furuta demostró que no existe una estructura suave (Furuta 2001). Esto deja una pequeña brecha entre 8/10 y 8/11 donde la respuesta es mayoritariamente desconocida. (El caso más pequeño no cubierto anteriormente tiene n =2 y m =5, pero esto también se ha descartado, por lo que la red más pequeña para la que actualmente no se conoce la respuesta es la red II _7,55 de rango 62 con n =3 y m = 7 Consulte ^[2] para conocer los avances recientes (a partir de 2019) en esta área). La "conjetura 11/8" establece que no existen estructuras suaves si la dimensión es menor que 11/8 veces la |firma| .

Por el contrario, se sabe muy poco sobre la segunda cuestión de clasificar las estructuras suaves en una variedad 4 suavizable; de hecho, no hay ni una sola variedad 4 suavizable donde se conozca la respuesta. Donaldson demostró que existen algunas 4 variedades compactas simplemente conectadas, como las superficies de Dolgachev , con un número infinitamente contable de estructuras suaves diferentes. Hay un número incontable de estructuras lisas diferentes en R ⁴ ; ver exótico R ⁴ . Fintushel y Stern mostraron cómo utilizar la cirugía para construir un gran número de estructuras suaves diferentes (indexadas mediante polinomios integrales arbitrarios) en muchas variedades diferentes, utilizando invariantes de Seiberg-Witten para mostrar que las estructuras suaves son diferentes. Sus resultados sugieren que cualquier clasificación de 4 colectores lisos simplemente conectados será muy complicada. Actualmente no existen conjeturas plausibles sobre cómo sería esta clasificación. ( Se han refutado algunas de las primeras conjeturas de que todas las variedades 4 suaves simplemente conectadas podrían ser sumas conectadas de superficies algebraicas o variedades simplécticas , posiblemente con orientaciones invertidas).

Fenómenos especiales en 4 dimensiones.

Hay varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones 3 como máximo, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensión 5 al menos, pero que son falsos en dimensión 4. A continuación se muestran algunos ejemplos:

• En dimensiones distintas de 4, el invariante de Kirby-Siebenmann obstaculiza la existencia de una estructura PL; en otras palabras, una variedad topológica compacta tiene una estructura PL si y sólo si su invariante de Kirby-Siebenmann en H ⁴ ( M , Z /2 Z ) desaparece. En la dimensión 3 e inferiores, cada variedad topológica admite una estructura PL esencialmente única. En la dimensión 4 hay muchos ejemplos con invariante de Kirby-Siebenmann que desaparece pero sin estructura PL.
• En cualquier dimensión distinta de 4, una variedad topológica compacta tiene solo un número finito de PL o estructuras suaves esencialmente distintas. En la dimensión 4, las variedades compactas pueden tener un número infinito y contable de estructuras suaves no difeomorfas.
• Cuatro es la única dimensión n para la cual R ⁿ puede tener una estructura suave y exótica. R ⁴ tiene un número incontable de estructuras lisas exóticas; ver exótico R ⁴ .
• La solución a la conjetura suave de Poincaré se conoce en todas las dimensiones excepto 4 (normalmente es falsa en dimensiones al menos 7; ver esfera exótica ). La conjetura de Poincaré para variedades PL se ha demostrado para todas las dimensiones excepto 4, pero no se sabe si es cierta en 4 dimensiones (es equivalente a la conjetura suave de Poincaré en 4 dimensiones).
• El teorema del cobordismo h suave es válido para los cobordismos siempre que ni el cobordismo ni su límite tengan dimensión 4. Puede fallar si el límite del cobordismo tiene dimensión 4 (como lo muestra Donaldson ). ^[3] Si el cobordismo tiene dimensión 4, entonces se desconoce si se cumple el teorema del cobordismo h.
• Una variedad topológica de dimensión distinta de 4 tiene una descomposición del cuerpo del mango . Los colectores de dimensión 4 tienen descomposición del cuerpo del mango si y sólo si son suavizables.
• Existen variedades topológicas compactas de 4 dimensiones que no son homeomorfas a ningún complejo simplicial . En al menos la dimensión 5, la existencia de variedades topológicas no homeomorfas a un complejo simplicial era un problema abierto. Ciprian Manolescu demostró que existen variedades en cada dimensión mayores o iguales a 5, que no son homeomorfas a un complejo simplicial. ^[4]

Fracaso del truco de Whitney en la dimensión 4

Según Frank Quinn , "dos subvariedades de dimensión n de una variedad de dimensión 2 n normalmente se intersectarán entre sí en puntos aislados. El "truco de Whitney" utiliza una isotopía a través de un disco 2 incrustado para simplificar estas intersecciones. En términos generales esto reduce el estudio de incrustaciones de n dimensiones a incrustaciones de 2 discos, pero esto no es una reducción cuando la dimensión es 4: los 2 discos en sí son de dimensión media, por lo que intentar incrustarlos encuentra exactamente los mismos problemas que ellos. "Se supone que debe resolverse. Este es el fenómeno que separa la dimensión 4 de las demás". ^[5]

Ver también

• cálculo de kirby
• Superficie algebraica
• 3 colectores
• 5 colectores
• Clasificación Enriques-Kodaira
• mango casson
• corcho akbulut

Referencias

1. Milnor, John (2011), "Topología diferencial cuarenta y seis años después" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 58 (6): 804–809, SEÑOR  2839925.
2. Hopkins, Michael J .; Lin, Jianfeng; Shi, Xiao Lin; Xu, Zhouli (2019), "Formas de intersección de 4 colectores de espín y el invariante de Mahowald equivalente al pin (2), arXiv : 1812.04052 [math.AT].
3. Donaldson, Simon K. (1987). "La irracionalidad y la conjetura del h-cobordismo". J. Geometría diferencial . 26 (1): 141–168. doi : 10.4310/jdg/1214441179 . SEÑOR  0892034.
4. Manolescu, Ciprián (2016). "Homología de Seiberg-Witten Floer equivalente a Pin (2) y la conjetura de triangulación". J.Amer. Matemáticas. Soc. 29 : 147-176. arXiv : 1303.2354 . doi :10.1090/jams829. S2CID  16403004.
5. Quinn, F. (1996). "Problemas en topología de baja dimensión". En Ranicki, A.; Yamasaki, M. (eds.). Cirugía y topología geométrica: actas de una conferencia celebrada en la Universidad Josai, Sakado, septiembre de 1996 (PDF) . págs. 97-104.

• Donaldson, Simon K. (1983), "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665
• Donaldson, Simon K .; Kronheimer, Peter B. (1997), La geometría de las cuatro variedades , Monografías matemáticas de Oxford, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
• Liberado, Daniel S .; Uhlenbeck, Karen K. (1984), Instantones y cuatro variedades , Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, vol. 1, Springer-Verlag, Nueva York, doi :10.1007/978-1-4684-0258-2, ISBN 0-387-96036-8, señor  0757358
• Freedman, Michael Hartley (1982), "La topología de variedades de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310/jdg/1214437136 , SEÑOR  0679066
• Freedman, Michael H .; Quinn, Frank (1990), Topología de 4 variedades , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-08577-3
• Furuta, Mikio (2001), "Ecuación monopolo y la conjetura 11/8", Mathematical Research Letters , 8 : 279–291, doi : 10.4310/mrl.2001.v8.n3.a5 , MR  1839478
• Kirby, Robion C. (1989), La topología de 4 variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, señor  1001966
• Gompf, Robert E .; Stipsicz, András I. (1999), 4-Manifolds y Kirby Calculus , Grad. Estudios de Matemáticas, vol. 20, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , SEÑOR  1707327
• Kirby, RC; Taylor, LR (1998). "Un estudio de 4 variedades a través de los ojos de la cirugía". arXiv : math.GT/9803101 .
• Mandelbaum, R. (1980), "Topología de cuatro dimensiones: una introducción", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 2 : 1–159, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14687-X
• Matveev, SV (2001) [1994], "Variedades de cuatro dimensiones", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Scorpan, A. (2005), El mundo salvaje de las 4 variedades , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4

enlaces externos

• Medios relacionados con 4 variedades en Wikimedia Commons