Hipótesis del cobordismo

Clasificación de las teorías cuánticas de campos topológicos

En matemáticas , la hipótesis del cobordismo , de John C. Baez y James Dolan, ^[1] se refiere a la clasificación de las teorías cuánticas de campos topológicos (TQFT) extendidas. En 2008, Jacob Lurie esbozó una prueba de la hipótesis del cobordismo, aunque los detalles de su enfoque aún no han aparecido en la literatura a fecha de 2022. ^{[2] [3] [4]} En 2021, Daniel Grady y Dmitri Pavlov afirmaron una prueba completa de la hipótesis del cobordismo, así como una generalización a los bordismos con estructuras geométricas arbitrarias. ^[4]

Formulación

Para una -categoría monoidal simétrica que es completamente dualizable y cada -morfismo de la cual es adjuntable, para , existe una biyección entre los funtores monoidales simétricos con valores de la categoría de cobordismo y los objetos de . ${\displaystyle (\infty ,n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Motivación

Los funtores monoidales simétricos de la categoría de cobordismo corresponden a las teorías cuánticas de campos topológicas . La hipótesis de cobordismo para las teorías cuánticas de campos topológicas es análoga a los axiomas de Eilenberg-Steenrod para las teorías de homología. Los axiomas de Eilenberg-Steenrod establecen que una teoría de homología está determinada únicamente por su valor para el punto, por lo que, análogamente, lo que establece la hipótesis de cobordismo es que una teoría cuántica de campos topológica está determinada únicamente por su valor para el punto. En otras palabras, la biyección entre los funtores monoidales simétricos de valor - y los objetos de está definida únicamente por su valor para el punto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Véase también

• Cobordismo

Referencias

1. Baez, John C.; Dolan, James (1995). "Álgebra de dimensiones superiores y teoría cuántica de campos topológica". Journal of Mathematical Physics . 36 (11): 6073–6105. arXiv : q-alg/9503002 . Código Bibliográfico :1995JMP....36.6073B. doi :10.1063/1.531236. ISSN  0022-2488. S2CID  14908618.
2. Hisham Sati; Urs Schreiber (2011). Fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas perturbativa. American Mathematical Soc. pág. 18. ISBN 978-0-8218-5195-1.
3. Ayala, David; Francis, John (5 de mayo de 2017). "La hipótesis del cobordismo". arXiv : 1705.02240 [math.AT].
4. Grady, Daniel; Pavlov, Dmitri (1 de noviembre de 2021). "La hipótesis del cobordismo geométrico". arXiv : 2111.01095 [math.AT].

Lectura adicional

• Freed, Daniel S. (11 de octubre de 2012). "La hipótesis del cobordismo". Boletín de la American Mathematical Society . 50 (1). American Mathematical Society (AMS): 57–92. doi : 10.1090/s0273-0979-2012-01393-9 . ISSN  0273-0979.
• Seminario sobre la hipótesis del cobordismo y las categorías (infinitas,n), 22-04-2013
• Jacob Lurie (4 de mayo de 2009). Sobre la clasificación de las teorías de campos topológicos

Enlaces externos

• Hipótesis del cobordismo en el laboratorio n