En matemáticas , un coeficiente matricial (o elemento matricial ) es una función de un grupo de forma especial, que depende de una representación lineal del grupo y de datos adicionales. Precisamente, es una función sobre un grupo topológico compacto G obtenida componiendo una representación de G en un espacio vectorial V con un mapa lineal desde los endomorfismos de V hacia el campo subyacente de V. También se le llama función representativa . [1] Surgen naturalmente de representaciones de dimensión finita de G como funciones de entrada matricial de las representaciones matriciales correspondientes. El teorema de Peter-Weyl dice que los coeficientes matriciales de G son densos en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado de G.
Los coeficientes matriciales de las representaciones de grupos de Lie resultaron estar íntimamente relacionados con la teoría de funciones especiales , proporcionando un enfoque unificador a gran parte de esta teoría. Las propiedades de crecimiento de los coeficientes matriciales juegan un papel clave en la clasificación de representaciones irreducibles de grupos localmente compactos , en particular, grupos reales reductivos y p -ádicos . El formalismo de los coeficientes matriciales conduce a una generalización de la noción de forma modular . En otra dirección, las propiedades de mezcla de ciertos sistemas dinámicos están controladas por las propiedades de coeficientes de matriz adecuados.
Un coeficiente matricial (o elemento matricial ) de una representación lineal ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una función f v,η en el grupo, del tipo
donde v es un vector en V , η es un funcional lineal continuo en V y g es un elemento de G. Esta función toma valores escalares en G . Si V es un espacio de Hilbert , entonces según el teorema de representación de Riesz , todos los coeficientes matriciales tienen la forma
para algunos vectores v y w en V .
Para V de dimensión finita, y v y w tomados de una base estándar , esta es en realidad la función dada por la entrada de la matriz en un lugar fijo.
Los coeficientes matriciales de representaciones irreducibles de grupos finitos juegan un papel destacado en la teoría de la representación de estos grupos, desarrollada por Burnside , Frobenius y Schur . Satisfacen las relaciones de ortogonalidad de Schur . El carácter de una representación ρ es una suma de los coeficientes matriciales f v i , η i , donde { v i } forma una base en el espacio de representación de ρ, y {η i } forma la base dual .
Élie Cartan consideró por primera vez los coeficientes matriciales de las representaciones de los grupos de Lie . Israel Gelfand se dio cuenta de que muchas funciones especiales clásicas y polinomios ortogonales se pueden expresar como coeficientes matriciales de representación de grupos de Lie G. [2] [ cita necesaria ] Esta descripción proporciona un marco uniforme para demostrar muchas propiedades hasta ahora dispares de funciones especiales, como fórmulas de suma, ciertas relaciones de recurrencia, relaciones de ortogonalidad, representaciones integrales y propiedades de valores propios con respecto a operadores diferenciales. [3] Funciones especiales de la física matemática, como las funciones trigonométricas , la función hipergeométrica y sus generalizaciones, los polinomios ortogonales de Legendre y Jacobi y las funciones de Bessel surgen como coeficientes matriciales de representaciones de grupos de Lie. Las funciones theta y las series analíticas reales de Eisenstein , importantes en geometría algebraica y teoría de números , también admiten tales realizaciones.
A powerful approach to the theory of classical modular forms, initiated by Gelfand, Graev, and Piatetski-Shapiro, views them as matrix coefficients of certain infinite-dimensional unitary representations, automorphic representations of adelic groups. This approach was further developed by Langlands, for general reductive algebraic groups over global fields.
