Relaciones de ortogonalidad de Schur

En matemáticas , las relaciones de ortogonalidad de Schur , demostradas por Issai Schur mediante el lema de Schur , expresan un hecho central sobre las representaciones de grupos finitos . Admiten una generalización al caso de los grupos compactos en general, y en particular de los grupos de Lie compactos , como el grupo de rotación SO(3) .

Grupos finitos

Declaración intrínseca

El espacio de funciones de clase de valor complejo de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

donde denota el conjugado complejo del valor de en g . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres: ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Para , aplicar el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres da como resultado: ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

donde la suma es sobre todos los caracteres irreducibles de , y denota el orden del centralizador de . Nótese que como g y h son conjugados si y solo si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales. ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ ${\displaystyle g}$

Las relaciones de ortogonalidad pueden facilitar muchos cálculos, entre ellos:

• descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles;
• construir la tabla de caracteres completa cuando sólo se conocen algunos de los caracteres irreducibles;
• encontrar los órdenes de los centralizadores de los representantes de las clases de conjugación de un grupo; y
• Encontrar el orden del grupo.

Declaración de coordenadas

Sea un elemento matricial de una representación matricial irreducible de un grupo finito de orden | G |. Puesto que se puede demostrar que cualquier representación matricial de cualquier grupo finito es equivalente a una representación unitaria , suponemos que es unitaria: ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle G=\{R\}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}$

donde es la dimensión (finita) de la representación irreducible . ^[1] ${\displaystyle l_{\lambda }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

Las relaciones de ortogonalidad , válidas únicamente para elementos matriciales de representaciones irreducibles , son:

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}$

Aquí está el conjugado complejo de y la suma es sobre todos los elementos de G . El delta de Kronecker es 1 si las matrices están en la misma representación irreducible . Si y no son equivalentes es cero. Los otros dos deltas de Kronecker establecen que los índices de fila y columna deben ser iguales ( y ) para obtener un resultado que no se anule. Este teorema también se conoce como el Gran (o Magnífico) Teorema de Ortogonalidad. ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}}$ ${\displaystyle n=n'}$ ${\displaystyle m=m'}$

Cada grupo tiene una representación de identidad (todos los elementos del grupo se asignan a 1). Esta es una representación irreducible. Las grandes relaciones de ortogonalidad implican inmediatamente que

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}$

para y cualquier representación irreducible no igual a la representación identidad. ${\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}$

Ejemplo del grupo de permutación en 3 objetos

Las 3! permutaciones de tres objetos forman un grupo de orden 6, comúnmente denominado S ₃ (el grupo simétrico de grado tres). Este grupo es isomorfo al grupo de puntos , que consiste en un eje de rotación triple y tres planos de espejo verticales. Los grupos tienen una representación irreducible bidimensional ( l = 2). En el caso de S _3, se suele etiquetar esta representación mediante la tabla de Young y en el caso de uno, se suele escribir . En ambos casos, la representación consta de las siguientes seis matrices reales , cada una de las cuales representa un único elemento del grupo: ^[2] ${\displaystyle C_{3v}}$ ${\displaystyle \lambda =[2,1]}$ ${\displaystyle C_{3v}}$ ${\displaystyle \lambda =E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

La normalización del elemento (1,1):

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}$

De la misma manera se puede demostrar la normalización de los demás elementos de la matriz: (2,2), (1,2) y (2,1). La ortogonalidad de los elementos (1,1) y (2,2):

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}$

Relaciones similares se cumplen para la ortogonalidad de los elementos (1,1) y (1,2), etc. En el ejemplo se verifica fácilmente que todas las sumas de los elementos de la matriz correspondiente se desvanecen debido a la ortogonalidad de la representación irreducible dada con respecto a la representación identidad.

Implicaciones directas

La traza de una matriz es una suma de elementos de la matriz diagonal,

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}.}$

La colección de trazas es el carácter de una representación. A menudo se escribe para la traza de una matriz en una representación irreducible con carácter ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}}$ ${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right).}$

En esta notación podemos escribir varias fórmulas de caracteres:

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}$

que nos permite comprobar si una representación es irreducible o no. (La fórmula significa que las líneas en cualquier tabla de caracteres tienen que ser vectores ortogonales). Y

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}$

lo que nos ayuda a determinar con qué frecuencia la representación irreducible está contenida dentro de la representación reducible con carácter . ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle \chi (R)}$

Por ejemplo, si

${\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}$

y el orden del grupo es

${\displaystyle |G|=24\,}$

entonces el número de veces que está contenido dentro de la representación reducible dada es ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,}$ ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}$

Consulte Teoría del carácter para obtener más información sobre los personajes grupales.

Grupos compactos

La generalización de las relaciones de ortogonalidad de grupos finitos a grupos compactos (que incluyen grupos de Lie compactos como SO(3)) es básicamente simple: reemplazar la suma sobre el grupo por una integración sobre el grupo.

Cada grupo compacto tiene una medida de Haar bi-invariante única , de modo que el volumen del grupo es 1. Denotemos esta medida por . Sea un conjunto completo de representaciones irreducibles de , y sea un coeficiente matricial de la representación . Las relaciones de ortogonalidad pueden entonces enunciarse en dos partes: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle (\pi ^{\alpha })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=\langle v,\pi ^{\alpha }(g)w\rangle }$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

1) Si entonces ${\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}$

2) Si es una base ortonormal del espacio de representación entonces ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g){\overline {\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)}}dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}{\frac {1}{d^{\alpha }}}}$

donde es la dimensión de . Estas relaciones de ortogonalidad y el hecho de que todas las representaciones tienen dimensiones finitas son consecuencias del teorema de Peter-Weyl . ${\displaystyle d^{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

Un ejemplo: SO(3)

Un ejemplo de un grupo de parámetros r = 3 es el grupo de matrices SO(3) que consta de todas las matrices ortogonales 3 × 3 con determinante unitario . Una posible parametrización de este grupo es en términos de ángulos de Euler: (véase, por ejemplo, este artículo para la forma explícita de un elemento de SO(3) en términos de ángulos de Euler). Los límites son y . ${\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }$

No sólo la receta para el cálculo del elemento de volumen depende de los parámetros elegidos, sino también el resultado final, es decir, la forma analítica de la función de peso (medida) . ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}}$ ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )}$

Por ejemplo, la parametrización del ángulo de Euler de SO(3) proporciona el peso mientras que la parametrización n, ψ proporciona el peso con ${\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}$ ${\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}$ ${\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi .}$

Se puede demostrar que las representaciones matriciales irreducibles de los grupos de Lie compactos son de dimensión finita y pueden elegirse para que sean unitarias:

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}$

Con la notación abreviada

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}$

Las relaciones de ortogonalidad toman la forma

${\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}$

con el volumen del grupo:

${\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}$

Como ejemplo, observamos que las representaciones irreducibles de SO(3) son D-matrices de Wigner , que son de dimensión . Dado que ${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}$ ${\displaystyle 2\ell +1}$

${\displaystyle |\mathrm {SO} (3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}$

ellos satisfacen

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}$

Notas

1. La finitud de se desprende del hecho de que cualquier representación irreducible de un grupo finito G está contenida en la representación regular . ${\displaystyle l_{\lambda }}$
2. Esta elección no es única; cualquier transformación de similitud ortogonal aplicada a las matrices proporciona una representación irreducible válida.

Referencias

Cualquier libro de orientación física o química sobre teoría de grupos menciona las relaciones de ortogonalidad. Los siguientes libros más avanzados ofrecen pruebas:

• M. Hamermesh, Teoría de grupos y sus aplicaciones a problemas físicos , Addison-Wesley, Reading (1962). (Reimpreso por Dover).
• W. Miller, Jr., Grupos de simetría y sus aplicaciones , Academic Press, Nueva York (1972).
• JF Cornwell, Teoría de grupos en física , (tres volúmenes), Volumen 1, Academic Press, Nueva York (1997).

Los siguientes libros ofrecen tratamientos con mayor inclinación matemática:

• Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos. Nueva York: Springer-Verlag. pp. 13-20. ISBN. 0387901906. ISSN  0072-5285. OCLC  2202385.
• Sengupta, Ambar N. (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisimple. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8.OCLC 875741967  .