En geometría , un grupo de puntos en tres dimensiones es un grupo de isometría en tres dimensiones que deja fijo el origen, o correspondientemente, un grupo de isometría de una esfera . Es un subgrupo del grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías que dejan fijo el origen, o correspondientemente, el grupo de matrices ortogonales . O(3) en sí es un subgrupo del grupo euclidiano E(3) de todas las isometrías.
Los grupos de simetría de objetos geométricos son grupos de isometría. En consecuencia, el análisis de grupos de isometría es un análisis de posibles simetrías . Todas las isometrías de un objeto 3D acotado (finito) tienen uno o más puntos fijos comunes. Seguimos la convención habitual eligiendo el origen como uno de ellos.
El grupo de simetría de un objeto a veces también se denomina grupo de simetría total , a diferencia de su grupo de simetría propio , la intersección de su grupo de simetría total con E + (3) , que consta de todas las isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación . Para un objeto acotado, el grupo de simetría adecuado se llama grupo de rotación . Es la intersección de su grupo de simetría completo con SO(3) , el grupo de rotación completo del espacio 3D. El grupo de rotación de un objeto acotado es igual a su grupo de simetría completo si y sólo si el objeto es quiral .
Los grupos de puntos que se generan puramente por un conjunto finito de planos de espejo de reflexión que pasan por el mismo punto son los grupos finitos de Coxeter , representados por la notación de Coxeter .
Los grupos de puntos en tres dimensiones se utilizan mucho en química , especialmente para describir las simetrías de una molécula y de los orbitales moleculares que forman enlaces covalentes , y en este contexto también se les llama grupos de puntos moleculares .
Las operaciones de grupos de simetría ( symmetry Operations ) son las isometrías del espacio tridimensional R 3 que dejan fijo el origen, formando el grupo O(3). Estas operaciones se pueden clasificar en:
La inversión es un caso especial de rotación-reflexión (i = S 2 ), al igual que la reflexión (σ = S 1 ), por lo que estas operaciones a menudo se consideran rotaciones impropias.
A veces se agrega un circunflejo al símbolo para indicar un operador, como en Ĉ n y Ŝ n .
Al comparar el tipo de simetría de dos objetos, el origen se elige para cada uno por separado, es decir, no es necesario que tengan el mismo centro. Además, dos objetos se consideran del mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son subgrupos conjugados de O(3) (dos subgrupos H 1 , H 2 de un grupo G son conjugados , si existe g ∈ G tal que H 1 = gramo −1 H 2 gramo ).
Por ejemplo, dos objetos 3D tienen el mismo tipo de simetría:
En el caso de múltiples planos de espejo y/o ejes de rotación, dos grupos de simetría son del mismo tipo de simetría si y sólo si hay una rotación que asigna toda la estructura del primer grupo de simetría a la del segundo. (De hecho, habrá más de una rotación de este tipo, pero no un número infinito como cuando solo hay un espejo o eje). La definición de conjugación también permitiría una imagen especular de la estructura, pero esto no es necesario, la estructura misma es aquiral. Por ejemplo, si un grupo de simetría contiene un eje de rotación triple, contiene rotaciones en dos direcciones opuestas. (La estructura es quiral para 11 pares de grupos espaciales con un eje de tornillo).
Hay muchos grupos de isometría infinitos ; por ejemplo, el " grupo cíclico " (lo que significa que es generado por un elemento; no debe confundirse con un grupo de torsión ) generado por una rotación de un número irracional de vueltas alrededor de un eje. Podemos crear grupos abelianos no cíclicos agregando más rotaciones alrededor del mismo eje. El conjunto de puntos en un círculo en números racionales de grados alrededor del círculo ilustra un grupo de puntos que requiere un número infinito de generadores . También existen grupos no abelianos generados por rotaciones alrededor de diferentes ejes. Suelen ser grupos (genéricamente) libres . Serán infinitos a menos que las rotaciones se elijan especialmente.
Todos los grupos infinitos mencionados hasta ahora no están cerrados como subgrupos topológicos de O(3). Ahora analizamos los subgrupos topológicamente cerrados de O(3).
El conjunto O(3) es el grupo de simetría de simetría esférica ; SO(3) es el grupo de rotación correspondiente. Los otros grupos de isometría infinitos consisten en todas las rotaciones alrededor de un eje que pasa por el origen, y aquellas con reflexión adicional en los planos que pasan por el eje y/o reflexión en el plano que pasa por el origen, perpendicular al eje. Aquellos con reflexión en los planos que pasan por el eje, con o sin reflexión en el plano que pasa por el origen perpendicular al eje, son los grupos de simetría para los dos tipos de simetría cilíndrica . Cualquier forma 3D (subconjunto de R 3 ) que tenga simetría rotacional infinita también debe tener simetría especular para cada plano que pasa por el eje. Los objetos físicos que tienen simetría rotacional infinita también tendrán la simetría de los planos especulares que pasan por el eje, pero es posible que los campos vectoriales no, por ejemplo los vectores de velocidad de un cono que gira alrededor de su eje, o el campo magnético que rodea un cable. [1]
Hay siete grupos continuos que, en cierto sentido, son límites de los grupos de isometría finitos. Estos llamados grupos de puntos límite o grupos límite de Curie llevan el nombre de Pierre Curie , quien fue el primero en investigarlos. [1] [2] Las siete series infinitas de grupos axiales conducen a cinco grupos limitantes (dos de ellos son duplicados), y los siete grupos de puntos restantes producen dos grupos continuos más. En notación internacional, la lista es ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ y ∞∞m. [3] No todo esto es posible para objetos físicos, por ejemplo, los objetos con simetría ∞∞ también tienen simetría ∞∞m. Consulte a continuación otras designaciones y más detalles.
Las simetrías en 3D que dejan fijo el origen se caracterizan completamente por simetrías en una esfera centrada en el origen. Para grupos de puntos 3D finitos, consulte también grupos de simetría esférica .
Hasta la conjugación, el conjunto de grupos finitos de puntos 3D consta de:
Según el teorema de restricción cristalográfica , sólo un número limitado de grupos de puntos son compatibles con la simetría traslacional discreta : 27 de las 7 series infinitas y 5 de las otras 7. Juntos, forman los 32 llamados grupos de puntos cristalográficos .
Las series infinitas de grupos axiales o prismáticos tienen un índice n , que puede ser cualquier número entero; en cada serie, el n- ésimo grupo de simetría contiene n simetría rotacional alrededor de un eje, es decir, simetría con respecto a una rotación de un ángulo de 360°/ n . n =1 cubre los casos sin simetría rotacional. Hay cuatro series sin otros ejes de simetría rotacional (ver simetrías cíclicas ) y tres con ejes adicionales de simetría doble (ver simetría diédrica ). Pueden entenderse como grupos de puntos en dos dimensiones extendidos con una coordenada axial y reflexiones en la misma. Están relacionados con los grupos de frisos ; [4] pueden interpretarse como patrones de grupos de frisos repetidos n veces alrededor de un cilindro.
La siguiente tabla enumera varias notaciones para grupos de puntos: notación de Hermann-Mauguin (utilizada en cristalografía ), notación de Schönflies (utilizada para describir la simetría molecular ), notación orbifold y notación de Coxeter . Los tres últimos no sólo están convenientemente relacionados con sus propiedades, sino también con el orden del grupo. La notación orbifold es una notación unificada, también aplicable a grupos de papel tapiz y grupos de frisos . Los grupos cristalográficos tienen n restringido a 1, 2, 3, 4 y 6; la eliminación de la restricción cristalográfica permite cualquier número entero positivo. Las series son:
Para n impar tenemos Z 2 n = Z n × Z 2 y Dih 2 n = Dih n × Z 2 .
Los grupos C n (incluido el trivial C 1 ) y D n son quirales, los demás son aquirales.
Los términos horizontal (h) y vertical (v), y los subíndices correspondientes, se refieren al plano especular adicional, que puede ser paralelo al eje de rotación (vertical) o perpendicular al eje de rotación (horizontal).
Los grupos axiales no triviales más simples son equivalentes al grupo abstracto Z 2 :
El segundo de ellos es el primero de los grupos uniaxiales ( grupos cíclicos ) Cn de orden n (también aplicable en 2D), que se generan mediante una sola rotación de ángulo 360°/ n . Además de esto, se puede agregar un plano especular perpendicular al eje, dando el grupo C n h de orden 2 n , o un conjunto de n planos especulares que contengan el eje, dando el grupo C n v , también de orden 2 n. . Este último es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados . Un objeto típico con grupo de simetría C n o D n es una hélice .
Si se suman los planos de reflexión horizontal y vertical, sus intersecciones dan n ejes de rotación de 180°, por lo que el grupo ya no es uniaxial. Este nuevo grupo de orden 4 n se denomina D n h . Su subgrupo de rotaciones es el grupo diédrico D n de orden 2 n , que todavía tiene los ejes de rotación dobles perpendiculares al eje de rotación primario, pero no tiene planos especulares.
Nota: en 2D, D n incluye reflejos, que también pueden verse como voltear objetos planos sin distinción de anverso y reverso; pero en 3D se distinguen las dos operaciones: D n contiene "voltear", no reflejos.
Hay un grupo más en esta familia, llamado D n d (o D n v ), que tiene planos especulares verticales que contienen el eje de rotación principal, pero en lugar de tener un plano especular horizontal, tiene una isometría que combina una reflexión en el plano horizontal y una rotación de un ángulo de 180°/ n . D n h es el grupo de simetría de un prisma n -gonal "regular" y también de una bipirámide n -gonal "regular" . D n d es el grupo de simetría de un antiprisma n -gonal "regular" y también de un trapezoedro n -gonal "regular" . D n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente girado ("retorcido").
Los grupos D 2 y D 2h destacan porque no existe ningún eje de rotación especial. Más bien, hay tres ejes dobles perpendiculares. D 2 es un subgrupo de todas las simetrías poliédricas (ver más abajo), y D 2h es un subgrupo de los grupos poliédricos Th y Oh . D 2 se produce en moléculas como el twistano y en homotetrámeros como la concanavalina A. Los elementos de D 2 están en correspondencia 1 a 2 con las rotaciones dadas por los cuaterniones unitarios de Lipschitz .
El grupo S n se genera por la combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación de un ángulo de 360°/n. Para n impar esto es igual al grupo generado por los dos por separado, C n h de orden 2 n , y por lo tanto no se necesita la notación S n ; sin embargo, para n incluso es distinto y de orden n . Al igual que D n d , contiene una serie de rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.
Todos los grupos de simetría de las 7 series infinitas son diferentes, excepto los siguientes cuatro pares de unos mutuamente iguales:
S 2 es el grupo de orden 2 con una única inversión ( C i ).
"Igual" se refiere aquí a lo mismo hasta la conjugación en el espacio. Esto es más fuerte que "hasta el isomorfismo algebraico". Por ejemplo, hay tres grupos diferentes de orden dos en el primer sentido, pero sólo hay uno en el segundo sentido. De manera similar, por ejemplo, S 2 n es algebraicamente isomorfo con Z 2 n .
Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:
Los grupos con rotaciones axiales continuas se designan poniendo ∞ en lugar de n . Sin embargo, tenga en cuenta que C ∞ aquí no es lo mismo que el grupo cíclico infinito (a veces también denominado C ∞ ), que es isomorfo a los números enteros. La siguiente tabla muestra los cinco grupos de rotación axial continua. Son límites de los grupos finitos sólo en el sentido de que surgen cuando la rotación principal es reemplazada por una rotación de un ángulo arbitrario, por lo que no necesariamente un número racional de grados como ocurre con los grupos finitos. Los objetos físicos sólo pueden tener simetría C ∞v o D ∞h , pero los campos vectoriales pueden tener las demás.
Se dice que los grupos de puntos restantes tienen simetría muy alta o poliédrica porque tienen más de un eje de rotación de orden mayor que 2. Aquí, C n denota un eje de rotación de 360°/n y S n denota un eje de simetría impropia. rotación a través del mismo. En líneas sucesivas están la notación orbifold , la notación de Coxeter y el diagrama de Coxeter , y la notación de Hermann-Mauguin (completa y abreviada si es diferente) y el orden (número de elementos) del grupo de simetría. Los grupos son:
Los grupos continuos relacionados con estos grupos son:
Como se señaló anteriormente para los grupos de isometría infinitos, cualquier objeto físico que tenga simetría K también tendrá simetría K h .
Los grupos de puntos reflectantes en tres dimensiones también se denominan grupos de Coxeter y pueden estar dados por un diagrama de Coxeter-Dynkin y representar un conjunto de espejos que se cruzan en un punto central. La notación de Coxeter ofrece una notación entre corchetes equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para grupos de puntos rotacionales y otros grupos de puntos de subsimetría. En la notación de Schoenflies, los grupos de puntos reflectantes en 3D son C n v , D n h y los grupos poliédricos completos T , O e I .
Los planos especulares unían un conjunto de dominios triangulares esféricos en la superficie de una esfera. Un grupo Coxeter de rango n tiene n planos espejo. Los grupos de Coxeter que tienen menos de 3 generadores tienen dominios triangulares esféricos degenerados, como un lunes o un hemisferio . En notación de Coxeter , estos grupos son simetría tetraédrica [3,3], simetría octaédrica [4,3], simetría icosaédrica [5,3] y simetría diédrica [p,2]. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo Coxeter , n es la dimensión (3). [5]
Los grupos de rotación, es decir, los subgrupos finitos de SO(3), son: los grupos cíclicos C n (el grupo de rotación de una pirámide canónica ), los grupos diédricos D n (el grupo de rotación de un prisma uniforme o bipirámide canónica ), y los grupos de rotación T , O e I de un tetraedro regular , octaedro / cubo e icosaedro / dodecaedro .
En particular, los grupos diédricos D 3 , D 4, etc. son los grupos de rotación de polígonos regulares planos incrustados en un espacio tridimensional, y dicha figura puede considerarse como un prisma regular degenerado. Por eso, también se le llama dicedro (griego: sólido de dos caras), lo que explica el nombre de grupo diédrico .
El grupo de rotación de un objeto es igual a su grupo de simetría completo si y sólo si el objeto es quiral . En otras palabras, los objetos quirales son aquellos que tienen su grupo de simetría en la lista de grupos de rotación.
Dados en notación de Schönflies , notación de Coxeter , ( notación orbifold ), los subgrupos de rotación son:
El grupo de rotación SO(3) es un subgrupo de O(3), el grupo de rotación de puntos completo del espacio euclidiano 3D. En consecuencia, O(3) es el producto directo de SO(3) y el grupo de inversión Ci (donde la inversión se denota por su matriz − I ):
Por tanto, existe una correspondencia 1 a 1 entre todas las isometrías directas y todas las isometrías indirectas, mediante inversión. También existe una correspondencia 1 a 1 entre todos los grupos H de isometrías directas en SO(3) y todos los grupos K de isometrías en O(3) que contienen inversión:
donde la isometría ( A , I ) se identifica con A.
Para grupos finitos, la correspondencia es:
Si un grupo de isometrías directas H tiene un subgrupo L de índice 2, entonces hay un grupo correspondiente que contiene isometrías indirectas pero no inversión:
Por ejemplo, H = C 4 corresponde a M = S 4 .
Así, M se obtiene de H invirtiendo las isometrías en H ∖ L . Este grupo M es, cuando se considera como un grupo abstracto , isomorfo a H. Por el contrario, para todos los grupos de puntos M que contienen isometrías indirectas pero sin inversión, podemos obtener un grupo de rotación H invirtiendo las isometrías indirectas.
Para grupos finitos, la correspondencia es:
En 2D, el grupo cíclico de k rotaciones C k es para cada entero positivo k un subgrupo normal de O(2) y SO(2). En consecuencia, en 3D, para cada eje, el grupo cíclico de k rotaciones alrededor de ese eje es un subgrupo normal del grupo de todas las rotaciones alrededor de ese eje. Dado que cualquier subgrupo de índice dos es normal, el grupo de rotaciones ( C n ) es normal tanto en el grupo ( C n v ) obtenido sumando a ( C n ) planos de reflexión que pasan por su eje como en el grupo ( C n h ) se obtiene sumando a ( C n ) un plano de reflexión perpendicular a su eje.
Hay dos grupos de puntos discretos con la propiedad de que ningún grupo de puntos discretos lo tiene como subgrupo propio: Oh h y I h . Su subgrupo común más grande es T h . Los dos grupos se obtienen a partir de él cambiando la simetría rotacional de 2 veces a 4 veces y agregando simetría de 5 veces, respectivamente.
Existen dos grupos de puntos cristalográficos con la propiedad de que ningún grupo de puntos cristalográficos lo tiene como subgrupo propio : Oh y D 6h . Sus subgrupos comunes máximos, según la orientación, son D 3d y D 2h .
A continuación, los grupos explicados anteriormente están ordenados por tipo de grupo abstracto.
Los grupos abstractos más pequeños que no son ningún grupo de simetría en 3D son el grupo cuaternión (de orden 8), Z 3 × Z 3 (de orden 9), el grupo dicíclico Dic 3 (de orden 12) y 10 de los 14. grupos de orden 16.
La columna "# de elementos de orden 2" en las siguientes tablas muestra el número total de subgrupos de isometría de tipos C 2 , C i , C s . Este número total es una de las características que ayudan a distinguir los distintos tipos de grupos abstractos, mientras que su tipo de isometría ayuda a distinguir los distintos grupos de isometría de un mismo grupo abstracto.
Dentro de las posibilidades de los grupos de isometría en 3D, existen infinitos tipos de grupos abstractos con 0, 1 y 3 elementos de orden 2, hay dos con 4 n + 1 elementos de orden 2, y hay tres con 4 n + 3 elementos. de orden 2 (para cada n ≥ 8 ). Nunca existe un número par positivo de elementos de orden 2.
El grupo de simetría para la simetría rotacional de n veces es C n ; su tipo de grupo abstracto es el grupo cíclico Z n , que también se denota por C n . Sin embargo, hay dos series infinitas más de grupos de simetría con este tipo de grupo abstracto:
Así tenemos, con negrita, los 10 grupos de puntos cristalográficos cíclicos, para los cuales se aplica la restricción cristalográfica :
etc.
En el grupo diédrico 2D D n se incluyen reflejos, que también pueden verse como voltear objetos planos sin distinción de parte delantera y trasera.
Sin embargo, en 3D las dos operaciones se distinguen: el grupo de simetría denotado por D n contiene n ejes dobles perpendiculares al eje n veces, no reflexiones. D n es el grupo de rotación del prisma de n caras con base regular, y de la bipirámide de n caras con base regular, y también de un antiprisma regular de n caras y de un trapezoedro regular de n caras . El grupo es también el grupo de simetría completa de dichos objetos después de hacerlos quirales mediante, por ejemplo, una marca quiral idéntica en cada cara o alguna modificación en la forma.
El tipo de grupo abstracto es el grupo diédrico Dih n , que también se denota por D n . Sin embargo, hay tres series infinitas más de grupos de simetría con este tipo de grupo abstracto:
Tenga en cuenta la siguiente propiedad:
Así tenemos, con negrita los 12 grupos de puntos cristalográficos y escribiendo D 1d como equivalente C 2h :
etc.
C 2 n ,h de orden 4 n es de tipo de grupo abstracto Z 2 n × Z 2 . Para n = 1 obtenemos Dih 2 , ya cubierto anteriormente, entonces n ≥ 2.
Así tenemos, con negrita de los 2 grupos de puntos cristalográficos cíclicos:
etc.
D n h de orden 4 n es de tipo de grupo abstracto Dih n × Z 2 . Para n impar , esto ya se cubrió anteriormente, por lo que aquí tenemos D 2 n h de orden 8 n , que es de tipo de grupo abstracto Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).
Así tenemos, con negrita de los 3 grupos de puntos cristalográficos diédricos:
etc.
Los siete restantes son, con negrita los 5 grupos de puntos cristalográficos (ver también arriba):
El dominio fundamental de un grupo de puntos es un sólido cónico . Un objeto con una simetría determinada en una orientación determinada se caracteriza por el dominio fundamental. Si el objeto es una superficie, se caracteriza por una superficie en el dominio fundamental que continúa hasta sus caras o superficie bordeales radiales. Si las copias de la superficie no encajan, se pueden agregar caras o superficies radiales. Se ajustan de todos modos si el dominio fundamental está delimitado por planos de reflexión.
Para un poliedro, esta superficie en el dominio fundamental puede ser parte de un plano arbitrario. Por ejemplo, en el triacontaedro de Disdyakis una cara completa es un dominio fundamental de la simetría icosaédrica . Ajustar la orientación del plano ofrece varias posibilidades de combinar dos o más caras adyacentes en una, dando varios otros poliedros con la misma simetría. El poliedro es convexo si la superficie se ajusta a sus copias y la recta radial perpendicular al plano está en el dominio fundamental.
Además, la superficie en el dominio fundamental puede estar compuesta de múltiples caras.
El mapa Spin(3) → SO(3) es la doble cobertura del grupo de rotación por el grupo de spin en 3 dimensiones. (Esta es la única cubierta conexa de SO(3), ya que Spin(3) es simplemente conexo.) Según el teorema de la red , existe una conexión de Galois entre subgrupos de Spin(3) y subgrupos de SO(3) (punto de rotación grupos): la imagen de un subgrupo de Spin(3) es un grupo de puntos de rotación, y la preimagen de un grupo de puntos es un subgrupo de Spin(3). (Tenga en cuenta que Spin(3) tiene descripciones alternativas como el grupo unitario especial SU(2) y como el grupo de cuaterniones unitarios . Topológicamente, este grupo de Lie es la esfera tridimensional S 3. )
La preimagen de un grupo de puntos finito se llama grupo poliédrico binario , representado como ⟨l,n,m⟩, y recibe el mismo nombre que su grupo de puntos, con el prefijo binario , con el doble de orden del grupo poliédrico relacionado. (l,m,n). Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico (2,3,5) es el grupo icosaédrico binario , ⟨2,3,5⟩.
Los grupos poliédricos binarios son:
Éstos se clasifican mediante la clasificación ADE , y el cociente de C 2 por la acción de un grupo poliédrico binario es una singularidad de Du Val . [6]
Para los grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos posibles grupos binarios correspondientes a un grupo de puntos determinado.
Tenga en cuenta que se trata de una cobertura de grupos, no de espacios : la esfera simplemente está conectada y, por lo tanto, no tiene espacios de cobertura . Por tanto, no existe la noción de un "poliedro binario" que cubra un poliedro tridimensional. Los grupos poliédricos binarios son subgrupos discretos de un grupo Spin y, bajo una representación del grupo Spin, actúan en un espacio vectorial y pueden estabilizar un poliedro en esta representación; bajo el mapa Spin(3) → SO(3), actúan sobre el mismo poliedro sobre el que actúa el grupo subyacente (no binario), mientras que bajo representaciones de espín u otras representaciones pueden estabilizar otros poliedros.
Esto contrasta con los poliedros proyectivos : la esfera cubre el espacio proyectivo (y también los espacios de lentes ) y, por lo tanto, una teselación de espacio proyectivo o espacio de lentes produce una noción distinta de poliedro.
