grupo dicíclico

En teoría de grupos , un grupo dicíclico (notación Dic _n o Q _{4 n} , ^[1] ⟨ n ,2,2⟩ ^[2] ) es un tipo particular de grupo no abeliano de orden 4 n ( n > 1). Es una extensión del grupo cíclico de orden 2 por un grupo cíclico de orden 2 n , dándole el nombre de dicíclico . En la notación de secuencias exactas de grupos, esta extensión se puede expresar como:

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,}$

De manera más general, dado cualquier grupo abeliano finito con un elemento de orden 2, se puede definir un grupo dicíclico.

Definición

Para cada número entero n > 1, el grupo dicíclico Dic _n se puede definir como el subgrupo de los cuaterniones unitarios generados por

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=e^{\frac {i\pi }{n}}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}}\\x&=j\end{aligned}}}$

De manera más abstracta, se puede definir el grupo dicíclico Dic _n como el grupo con la siguiente presentación ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Dic} _{n}=\left\langle a,x\mid a^{2n}=1,\ x^{2}=a^{n},\ x^{-1}ax=a^{-1}\right\rangle .\,\!}$

Algunas cosas a tener en cuenta que se derivan de esta definición:

• ${\displaystyle x^{4}=1}$
• ${\displaystyle x^{2}a^{m}=a^{m+n}=a^{m}x^{2}}$
• si entonces ${\displaystyle l=\pm 1}$ ${\displaystyle x^{l}a^{m}=a^{-m}x^{l}}$
• ${\displaystyle a^{m}x^{-1}=a^{m-n}a^{n}x^{-1}=a^{m-n}x^{2}x^{-1}=a^{m-n}x}$

Por lo tanto, cada elemento de Dic _n se puede escribir de forma única como m x ^l , donde 0 ≤ m < 2 n y l = 0 o 1. Las reglas de multiplicación están dadas ^por

• ${\displaystyle a^{k}a^{m}=a^{k+m}}$
• ${\displaystyle a^{k}a^{m}x=a^{k+m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}=a^{k-m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}x=a^{k-m+n}}$

Se deduce que Dic _n tiene orden 4 n . ^[3]

Cuando n = 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaternión Q. De manera más general, cuando n es una potencia de 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaternión generalizado . ^[3]

Propiedades

Para cada n > 1, el grupo dicíclico Dic _n es un grupo no abeliano de orden 4 n . (Para el caso degenerado n = 1, el grupo Dic ₁ es el grupo cíclico C ₄ , que no se considera dicíclico).

Sea A = ⟨ a ⟩ el subgrupo de Dic _n generado por a . Entonces A es un grupo cíclico de orden 2 n , entonces [Dic _n : A ] = 2. Como subgrupo del índice 2, es automáticamente un subgrupo normal . El grupo cociente Dic _n / A es un grupo cíclico de orden 2.

Dic _n tiene solución ; tenga en cuenta que A es normal y, al ser abeliano, en sí mismo tiene solución.

Grupo diédrico binario

El grupo dicíclico es un grupo poliédrico binario : es una de las clases de subgrupos del grupo Pin Pin ₋ (2), que es un subgrupo del grupo Spin Spin(3) y, en este contexto, se conoce como diédrico binario. grupo .

La conexión con el grupo cíclico binario C _{2 n} , el grupo cíclico C _n y el grupo diédrico Dih _n de orden 2 n se ilustra en el diagrama de la derecha y es paralelo al diagrama correspondiente para el grupo Pin. Coxeter escribe el grupo diédrico binario como ⟨2,2, n ⟩ y el grupo cíclico binario con corchetes angulares, ⟨ n ⟩.

Existe una semejanza superficial entre los grupos dicíclicos y los grupos diédricos ; ambos son una especie de "reflejo" de un grupo cíclico subyacente. Pero la presentación de un grupo diédrico tendría x ² = 1, en lugar de x ² = a ⁿ ; y esto produce una estructura diferente. En particular, Dic _n no es un producto semidirecto de A y ⟨ x ⟩ , ya que A  ∩  ⟨ x ⟩ no es trivial.

El grupo dicíclico tiene una involución única (es decir, un elemento de orden 2), a saber, x ² = a ⁿ . Tenga en cuenta que este elemento se encuentra en el centro de Dic _n . De hecho, el centro consta únicamente del elemento identidad y x ² . Si sumamos la relación x ² = 1 a la presentación de Dic _n se obtiene una presentación del grupo diédrico Dih _n , por lo que el grupo cociente Dic _n /< x ² > es isomorfo a Dih _n .

Existe un homomorfismo natural de 2 a 1 desde el grupo de cuaterniones unitarios hasta el grupo de rotación tridimensional descrito en cuaterniones y rotaciones espaciales . Dado que el grupo dicíclico puede estar incrustado dentro de los cuaterniones unitarios, uno puede preguntarse cuál es su imagen bajo este homomorfismo. La respuesta es simplemente el grupo de simetría diédrico Dih _n . Por este motivo al grupo dicíclico también se le conoce como grupo diédrico binario . Tenga en cuenta que el grupo dicíclico no contiene ningún subgrupo isomorfo a Dih _n .

La construcción análoga de la preimagen, usando Pin ₊ (2) en lugar de Pin ₋ (2), produce otro grupo diédrico, Dih _{2 n} , en lugar de un grupo dicíclico.

Generalizaciones

Sea A un grupo abeliano , que tiene un elemento específico y en A con orden 2. Un grupo G se llama grupo dicíclico generalizado , escrito como Dic( A , y ) , si es generado por A y un elemento adicional x , y además tenemos que [ G : A ] = 2, x ² = y , y para todo a en A , x ⁻¹ ax = a ⁻¹ .

Dado que para un grupo cíclico de orden par, siempre hay un elemento único de orden 2, podemos ver que los grupos dicíclicos son solo un tipo específico de grupo dicíclico generalizado.

El grupo dicíclico es el caso de la familia de grupos de triángulos binarios definidos por la presentación:[1] ${\displaystyle (p,q,r)=(2,2,n)}$ ${\displaystyle \Gamma (p,q,r)}$

${\displaystyle \langle a,b,c\mid a^{p}=b^{q}=c^{r}=abc\rangle .}$

Tomando el cociente por la relación adicional se produce un grupo de triángulos ordinario , que en este caso es el cociente diédrico . ${\displaystyle abc=e}$ ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}\rightarrow \mathrm {Dih} _{n}}$

Ver también

• grupo poliédrico binario
• grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
• grupo tetraédrico binario , 2T = ⟨2,3,3⟩, ^[2] orden 24
• grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2] orden 48
• grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2] orden 120

Referencias

1. Nicholson, W. Keith (1999). Introducción al álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. p. 449.ISBN​ 0-471-33109-0.
2. Coxeter&Moser: Generadores y relaciones para grupos discretos: <l,m,n>: R ^l = S ^m = T ⁿ = RST
3. romano, Steven (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Saltador. págs. 347–348. ISBN 9780817683016.

• Coxeter, HSM (1974), "7.1 Los grupos cíclicos y dicíclicos", Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, págs..
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.

enlaces externos

• Grupos dicíclicos en GroupNames