grupo cuaternión

Grupo no abeliano de orden ocho

Diagrama de ciclo de Q ₈ . Cada color especifica una serie de potencias de cualquier elemento conectado al elemento identidad e = 1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que i ² = e , i ³ = i e i ⁴ = e. El ciclo rojo también refleja que i ² = e , i ³ = i y i ⁴ = e.

En teoría de grupos , el grupo de cuaterniones Q ₈ (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos de los cuaterniones bajo multiplicación. Está dado por la presentación del grupo. ${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}$

donde e es el elemento de identidad y e conmuta con los demás elementos del grupo. Estas relaciones, descubiertas por WR Hamilton , también generan los cuaterniones como un álgebra sobre los números reales.

Otra presentación de la Q ₈ es

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}$

Como muchos otros grupos finitos, puede realizarse como el grupo de Galois de un determinado campo de números algebraicos . ^[1]

Comparado con el grupo diédrico

El grupo cuaternión Q ₈ tiene el mismo orden que el grupo diédrico D 4 , pero una estructura diferente, como lo muestran sus gráficas de Cayley y de ciclo:

En los diagramas para D ₄ , los elementos del grupo están marcados con su acción en una letra F en la representación definitoria R ² . No se puede hacer lo mismo con Q ₈ , ya que no tiene una representación fiel en R ² o R ³ . D ₄ puede realizarse como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que Q ₈ puede verse como un subconjunto de los cuaterniones.

mesa cayley

La tabla de Cayley (tabla de multiplicar) para la pregunta ₈ viene dada por: ^[2]

Propiedades

Los elementos i , j y k tienen orden cuatro en Q ₈ y dos de ellos generan el grupo completo. Otra presentación de la Pregunta ₈ ^[3] basada en sólo dos elementos para saltarse esta redundancia es:

${\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .}$

Por ejemplo, al escribir los elementos del grupo en formas normales lexicográficamente mínimas, se pueden identificar:

${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.}$

El grupo de cuaterniones tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano : Q ₈ no es abeliano, pero todos los subgrupos son normales . ^[4] Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de Q ₈ . ^[5]

El grupo cuaternión Q ₈ y el grupo diédrico D ₄ son los dos ejemplos más pequeños de un grupo nilpotente no abeliano.

El subgrupo central y conmutador de Q ₈ es el subgrupo . El grupo de automorfismo interno de Q ₈ viene dado por el grupo módulo su centro, es decir, el grupo de factores que es isomorfo al grupo V de cuatro de Klein . El grupo de automorfismo completo de Q ₈ es isomorfo a S ₄ , el grupo simétrico de cuatro letras. (ver representaciones matriciales a continuación), y el grupo de automorfismo externo de Q ₈ es, por tanto, S ₄ /V, que es isomorfo a S ₃ . ${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},}$

El grupo de cuaterniones Q ₈ tiene cinco clases de conjugación y, por tanto, cinco representaciones irreducibles de los números complejos, con dimensiones 1, 1, 1, 1, 2: ${\displaystyle \{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},}$

Representación trivial .

Representaciones de signos con núcleo i, j, k : Q ₈ tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máximo N , obtenemos una representación unidimensional factorizando a través del grupo cociente de 2 elementos G / N . La representación envía elementos de N a 1 y elementos fuera de N a −1.

Representación bidimensional : se describe a continuación en Representaciones matriciales . No es realizable sobre los números reales , pero es una representación compleja: de hecho, son solo los cuaterniones considerados como un álgebra sobre , y la acción es la de multiplicar por la izquierda por . ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q_{8}\subset \mathbb {H} }$

La tabla de caracteres de Q ₈ resulta ser la misma que la de D ₄ :

Sin embargo, todos los caracteres irreducibles en las filas anteriores tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupos reales en ideales mínimos de dos lados : ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Q} _{8}}$

${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}$

donde los idempotentes corresponden a los irreducibles: ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

${\displaystyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}}$

Cada uno de estos ideales irreductibles es isomorfo a un álgebra simple central real , los primeros cuatro al campo real . El último ideal es isomorfo al campo sesgado de cuaterniones por la correspondencia: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}}$

Además, el homomorfismo de proyección dado por tiene un ideal del núcleo generado por el idempotente: ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$

${\displaystyle e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como anillo cociente . Tenga en cuenta que esto es irreducible como una representación real de , pero se divide en dos copias del irreducible bidimensional cuando se extiende a los números complejos. De hecho, el álgebra de grupos complejos es donde se encuentra el álgebra de bicuaterniones . ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Representaciones matriciales

Tabla de multiplicación del grupo de cuaterniones como subgrupo de SL (2, C ). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), −1 (rojo), − i (amarillo).

La representación compleja irreducible bidimensional descrita anteriormente da el grupo cuaternión Q ₈ como un subgrupo del grupo lineal general . El grupo de cuaterniones es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaterniones: ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j,}$

que tiene una representación regular por multiplicación por la izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con base tal que corresponde al mapeo lineal La representación resultante ${\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{1,j\},}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}}$

es dado por:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Dado que todas las matrices anteriores tienen determinante unitario, esta es una representación de Q ₈ en el grupo lineal especial . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Una variante da una representación mediante matrices unitarias (tabla de la derecha). Correspondamos al mapeo lineal tal que viene dado por: ${\displaystyle g\in \mathrm {Q} _{8}}$ ${\displaystyle \rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Vale la pena señalar que los físicos utilizan exclusivamente una convención diferente para la representación matricial para hacer contacto con las matrices habituales de Pauli : ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}}$

Esta elección particular es conveniente y elegante cuando se describen los estados de espín 1/2 en la base y se consideran los operadores de escalera de momento angular. ${\displaystyle ({\vec {J}}^{2},J_{z})}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.}$

Tabla de multiplicar del grupo cuaternión como subgrupo de SL(2,3) . Los elementos del campo se denotan 0, +, −.

También hay una acción importante de Q ₈ en el espacio vectorial bidimensional sobre el campo finito (tabla de la derecha). Una representación modular viene dada por ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Esta representación se puede obtener del campo de extensión :

${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}$

donde y el grupo multiplicativo tiene cuatro generadores, de orden 8. Para cada uno, el espacio vectorial bidimensional admite una aplicación lineal: ${\displaystyle k^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}^{\times }}$ ${\displaystyle \pm (k\pm 1),}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {F} _{9},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}}$

Además tenemos el automorfismo de Frobenius que satisface y Entonces las matrices de representación anteriores son: ${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$ ${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}}$

Esta representación realiza Q ₈ como un subgrupo normal de GL(2, 3) . Así, para cada matriz , tenemos un automorfismo de grupo ${\displaystyle m\in \operatorname {GL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}}$

De hecho, estos dan el grupo de automorfismo completo como: ${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.}$

Esto es isomorfo al grupo simétrico S ₄ ya que las asignaciones lineales permutan los cuatro subespacios unidimensionales de , es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivo. ${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).}$

Además, esta representación permuta los ocho vectores distintos de cero para dar una incrustación de Q ₈ en el grupo simétrico S ₈ , además de las incrustaciones dadas por las representaciones regulares. ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$

grupo galois

Richard Dedekind consideró el campo al intentar relacionar el grupo de cuaterniones con la teoría de Galois . ^[7] En 1936 Ernst Witt publicó su aproximación al grupo de cuaterniones a través de la teoría de Galois. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$

In 1981, Richard Dean showed the quaternion group can be realized as the Galois group Gal(T/Q) where Q is the field of rational numbers and T is the splitting field of the polynomial

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

The development uses the fundamental theorem of Galois theory in specifying four intermediate fields between Q and T and their Galois groups, as well as two theorems on cyclic extension of degree four over a field.^[1]

Generalized quaternion group

A generalized quaternion group Q_4n of order 4n is defined by the presentation^[3]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

for an integer n ≥ 2, with the usual quaternion group given by n = 2.^[9] Coxeter calls Q_4n the dicyclic group ${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$, a special case of the binary polyhedral group ${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ and related to the polyhedral group ${\displaystyle (p,q,r)}$ and the dihedral group ${\displaystyle (2,2,n)}$. The generalized quaternion group can be realized as the subgroup of ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ generated by

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

where ${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$.^[3] It can also be realized as the subgroup of unit quaternions generated by^[10] ${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$ and ${\displaystyle y=j}$.

The generalized quaternion groups have the property that every abelian subgroup is cyclic.^[11] It can be shown that a finite p-group with this property (every abelian subgroup is cyclic) is either cyclic or a generalized quaternion group as defined above.^[12] Another characterization is that a finite p-group in which there is a unique subgroup of order p is either cyclic or a 2-group isomorphic to generalized quaternion group.^[13] In particular, for a finite field F with odd characteristic, the 2-Sylow subgroup of SL₂(F) is non-abelian and has only one subgroup of order 2, so this 2-Sylow subgroup must be a generalized quaternion group, (Gorenstein 1980, p. 42). Letting p^r be the size of F, where p is prime, the size of the 2-Sylow subgroup of SL₂(F) is 2ⁿ, where n = ord₂(p² − 1) + ord₂(r).

El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos subgrupos Sylow 2 son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Otra terminología reserva el nombre de "grupo cuaternión generalizado" para un grupo dicíclico de orden una potencia de 2, ^[14] que admite la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Ver también

• 16 celdas
• Grupo tetraédrico binario
• Álgebra de Clifford
• grupo dicíclico
• Cuaternión integral de Hurwitz
• Lista de grupos pequeños

Notas

1. Dean, Richard (1981). "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones". El Mensual Matemático Estadounidense . 88 (1): 42–45. doi :10.2307/2320711. JSTOR  2320711.
2. Véase también una tabla de Wolfram Alpha.
3. Johnson 1980, págs. 44-45
4. Véase Hall (1999), pág. 190
5. Véase Kurosh (1979), pág. 67
6. Artín 1991
7. Richard Dedekind (1887) "Konstrucktion der Quaternionkörpern", Ges. matemáticas. Obra II 376–84
8. Ernst Witt (1936) "Konstruktion von galoisschen Körpern..." Crelle's Journal 174: 237-45
9. Algunos autores (p. ej., Rotman 1995, págs. 87, 351) se refieren a este grupo como grupo dicíclico, reservando el nombre de grupo de cuaterniones generalizado al caso en que n es una potencia de 2.
10. Marrón 1982, pag. 98
11. Marrón 1982, pag. 101, ejercicio 1
12. Cartan y Eilenberg 1999, Teorema 11.6, p. 262
13. Brown 1982, Teorema 4.3, pág. 99
14. Romano, Steven (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Saltador. págs. 347–348. ISBN 9780817683016.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomología de grupos (3.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Dean, Richard A. (1981) "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones", American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, señor  0569209
• Johnson, David L. (1980), Temas de la teoría de las presentaciones grupales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-23108-4, señor  0695161
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos (4ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) "El grupo de los cuaterniones y la física moderna", European Journal of Physics 5:25–32.
• Hall, Marshall (1999), La teoría de grupos (2ª ed.), Librería AMS, ISBN 0-8218-1967-4
• Kurosh, Alexander G. (1979), Teoría de grupos , Librería AMS, ISBN 0-8284-0107-1

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Grupo Cuaternión". MundoMatemático .
• Grupos de cuaterniones en GroupNames
• Grupo cuaternión en GroupProps
• Conrado, Keith. "Cuaterniones generalizados"