En álgebra , un anillo de división , también llamado cuerpo sesgado , es un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero. En concreto, es un anillo no trivial [1] en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento que normalmente se denota a –1 , tal que a a –1 = a –1 a = 1. Por tanto, la división (derecha) puede definirse como a / b = a b –1 , pero se evita esta notación, ya que se puede tener a b –1 ≠ b –1 a .
Un anillo de división conmutativo es un cuerpo . El pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, cuerpos finitos .
Históricamente, a los anillos de división a veces se los denominaba campos, mientras que a los campos se los llamaba "campos conmutativos". [5] En algunos idiomas, como el francés , la palabra equivalente a "campo" ("corps") se usa tanto para casos conmutativos como no conmutativos, y la distinción entre los dos casos se hace agregando calificativos como "corps commutatif" (campo conmutativo) o "corps gauche" (campo sesgado).
Todos los anillos de división son simples , es decir, no tienen ningún ideal bilateral además del ideal cero y de sí mismo.
Todos los cuerpos son anillos de división, y todo anillo de división que no sea de cuerpo es no conmutativo. El ejemplo más conocido es el anillo de cuaterniones . Si se permiten solo coeficientes racionales en lugar de reales en las construcciones de los cuaterniones, se obtiene otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R , entonces, por el lema de Schur , el anillo de endomorfismo de S es un anillo de división; [6] todo anillo de división surge de esta manera a partir de algún módulo simple.
Gran parte del álgebra lineal se puede formular, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo. Al hacerlo, se debe especificar si se están considerando módulos derechos o izquierdos, y se necesita cierto cuidado para distinguir correctamente izquierdo y derecho en las fórmulas. En particular, cada módulo tiene una base y se puede utilizar la eliminación gaussiana . Por lo tanto, todo lo que se puede definir con estas herramientas funciona en álgebras de división. Las matrices y sus productos se definen de manera similar. [ cita requerida ] Sin embargo, una matriz que es invertible por la izquierda no necesita ser invertible por la derecha, y si lo es, su inversa derecha puede diferir de su inversa izquierda. (Véase Inversa generalizada § Inversa unilateral .)
Los determinantes no están definidos en álgebras de división no conmutativas, y todo lo que requiere este concepto no puede generalizarse a álgebras de división no conmutativas.
Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores columna, que se pueden multiplicar a la derecha por escalares, y a la izquierda por matrices (que representan aplicaciones lineales); para los elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben utilizar vectores fila, que se pueden multiplicar a la izquierda por escalares, y a la derecha por matrices. El dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo, y viceversa. La transpuesta de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesto D op para que la regla ( AB ) T = B T A T siga siendo válida.
Todo módulo sobre un anillo de división es libre ; es decir, tiene una base, y todas las bases de un módulo tienen el mismo número de elementos . Las aplicaciones lineales entre módulos de dimensión finita sobre un anillo de división se pueden describir mediante matrices ; el hecho de que las aplicaciones lineales por definición conmutan con la multiplicación escalar se representa más convenientemente en notación escribiéndolas en el lado opuesto de los vectores como lo son los escalares. El algoritmo de eliminación gaussiana sigue siendo aplicable. El rango de columna de una matriz es la dimensión del módulo derecho generado por las columnas, y el rango de fila es la dimensión del módulo izquierdo generado por las filas; la misma prueba que para el caso del espacio vectorial se puede utilizar para mostrar que estos rangos son los mismos y definir el rango de una matriz.
Los anillos de división son los únicos anillos en los que cada módulo es libre: un anillo R es un anillo de división si y sólo si cada módulo R es libre . [7]
El centro de un anillo de división es conmutativo y, por lo tanto, un campo. [8] Por lo tanto, cada anillo de división es un álgebra de división sobre su centro. Los anillos de división se pueden clasificar aproximadamente según sean de dimensión finita o de dimensión infinita sobre sus centros. Los primeros se denominan centralmente finitos y los segundos centralmente infinitos . Todo campo es unidimensional sobre su centro. El anillo de cuaterniones hamiltonianos forma un álgebra de cuatro dimensiones sobre su centro, que es isomorfa a los números reales.
Pequeño teorema de Wedderburn : todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, campos finitos . ( Ernst Witt dio una prueba sencilla).
Teorema de Frobenius : Las únicas álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los números reales son los propios números reales, los números complejos y los cuaterniones .
Los anillos de división solían llamarse "campos" en un uso más antiguo. En muchos idiomas, se utiliza una palabra que significa "cuerpo" para los anillos de división, en algunos idiomas designando anillos de división conmutativos o no conmutativos, mientras que en otros designan específicamente anillos de división conmutativos (lo que ahora llamamos campos en inglés). Se puede encontrar una comparación más completa en el artículo sobre campos .
El nombre "campo sesgado" tiene una característica semántica interesante : un modificador (aquí "sesgado") amplía el alcance del término base (aquí "campo"). Por lo tanto, un campo es un tipo particular de campo sesgado, y no todos los campos sesgados son campos.
Si bien se supone que los anillos de división y las álgebras analizadas aquí tienen multiplicación asociativa, las álgebras de división no asociativas, como los octoniones, también son de interés.
Un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división, excepto que solo tiene una de las dos leyes distributivas .
