Anillo de grupo

El conjunto de funciones finitamente admitidas de un grupo a un anillo.

En álgebra , un anillo de grupo es un módulo libre y al mismo tiempo un anillo , construido de forma natural a partir de cualquier anillo dado y de cualquier grupo dado . Como módulo libre, su anillo de escalares es el anillo dado y su base es el conjunto de elementos del grupo dado. Como anillo, su ley de suma es la del módulo libre y su multiplicación extiende "por linealidad" la ley de grupo dada sobre la base. De manera menos formal, un anillo de grupo es una generalización de un grupo determinado, al asociar a cada elemento del grupo un "factor de ponderación" de un anillo determinado.

Si el anillo es conmutativo, entonces el anillo de grupo también se denomina álgebra de grupo , ya que de hecho es un álgebra sobre el anillo dado. Un álgebra de grupos sobre un campo tiene una estructura adicional de un álgebra de Hopf ; en este caso, se denomina álgebra de Hopf de grupo .

El aparato de anillos de grupos es especialmente útil en la teoría de representaciones de grupos .

Definición

Sea un grupo, escrito multiplicativamente, y sea un anillo. El anillo de grupo de over , que denotaremos por , o simplemente , es el conjunto de asignaciones de soporte finito ( es distinto de cero sólo para un número finito de elementos ), donde el módulo escalar producto de un escalar in y una asignación se define como la asignación , y el grupo de módulos suma de dos asignaciones y se define como la asignación . Para convertir el grupo aditivo en un anillo, definimos el producto de y como el mapeo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}$

La sumatoria es legítima porque y tienen un apoyo finito y los axiomas del anillo se verifican fácilmente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Se utilizan algunas variaciones en la notación y la terminología. En particular, las asignaciones como a veces se escriben ^[1] como lo que se denomina "combinaciones lineales formales de elementos con coeficientes en ": ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$

o simplemente

${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.}$^[2]

Tenga en cuenta que si el anillo es de hecho un campo , entonces la estructura del módulo del anillo de grupo es de hecho un espacio vectorial sobre . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

1. Sea G = C ₃ , el grupo cíclico de orden 3, con generador y elemento identidad 1 _G . Un elemento r de C [ G ] se puede escribir como ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}$

donde z ₀ , z ₁ y z ₂ están en C , los números complejos . Esto es lo mismo que un anillo polinomial en variable tal que, es decir , C [ G ] es isomorfo al anillo C [ ]/ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a^{3}-1)}$

Escribiendo un elemento diferente s como , su suma es ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,}$

y su producto es

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}$

Observe que el elemento identidad 1 _G de G induce una incrustación canónica del anillo de coeficientes (en este caso C ) en C [ G ]; sin embargo, estrictamente hablando, el elemento identidad multiplicativo de C [ G ] es 1⋅1 _G donde el primer 1 proviene de C y el segundo de G . El elemento de identidad aditivo es cero.

Cuando G es un grupo no conmutativo, se debe tener cuidado de preservar el orden de los elementos del grupo (y no conmutarlos accidentalmente) al multiplicar los términos.

2. El anillo de polinomios de Laurent sobre un anillo R es el anillo del grupo cíclico infinito Z sobre R.

3. Sea Q el grupo de cuaterniones con elementos . Considere el anillo de grupo R Q , donde R es el conjunto de números reales. Un elemento arbitrario de este anillo de grupo tiene la forma ${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}$

${\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}$

donde es un número real. ${\displaystyle x_{i}}$

La multiplicación, como en cualquier otro anillo de grupo, se define en función de la operación del grupo. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.}$

Tenga en cuenta que R Q no es lo mismo que el campo sesgado de cuaterniones sobre R . Esto se debe a que el campo sesgado de los cuaterniones satisface relaciones adicionales en el anillo, como , mientras que en el anillo del grupo R Q , no es igual a . Para ser más específicos, el anillo de grupo R Q tiene dimensión 8 como espacio vectorial real , mientras que el campo sesgado de cuaterniones tiene dimensión 4 como espacio vectorial real . ${\displaystyle -1\cdot i=-i}$ ${\displaystyle -1\cdot i}$ ${\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}$

4. Otro ejemplo de anillo de grupo no abeliano es donde está el grupo simétrico de 3 letras. Este no es un dominio integral ya que tenemos donde el elemento es la transposición que intercambia 1 y 2. Por lo tanto, el anillo del grupo no necesita ser un dominio integral incluso cuando el anillo subyacente es un dominio integral. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{3}}$ ${\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}$ ${\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}$

Algunas propiedades básicas

Usando 1 para denotar la identidad multiplicativa del anillo R , y denotando la unidad del grupo por 1 _G , el anillo R [ G ] contiene un subanillo isomorfo a R , y su grupo de elementos invertibles contiene un subgrupo isomorfo a G. Para considerar la función indicadora de {1 _G }, que es el vector f definido por

${\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}$

el conjunto de todos los múltiplos escalares de f es un subanillo de R [ G ] isomorfo a R . Y si asignamos cada elemento s de G a la función indicadora de { s }, que es el vector f definido por

${\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}$

el mapeo resultante es un homomorfismo de grupo inyectivo (con respecto a la multiplicación, no a la suma, en R [ G ]).

Si R y G son conmutativos (es decir, R es conmutativo y G es un grupo abeliano ), R [ G ] es conmutativo.

Si H es un subgrupo de G , entonces R [ H ] es un subanillo de R [ G ]. De manera similar, si S es un subanillo de R , S [ G ] es un subanillo de R [ G ].

Si G es un grupo finito de orden mayor que 1, entonces R [ G ] siempre tiene divisores cero . Por ejemplo, considere un elemento g de G de orden | gramo | = m > 1. Entonces 1 - g es divisor de cero:

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}$

Por ejemplo, considere el grupo anillo Z [ S ₃ ] y el elemento de orden 3 g =(123). En este caso,

${\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.}$

Un resultado relacionado: si el anillo del grupo es primo , entonces G no tiene un subgrupo normal finito sin identidad (en particular, G debe ser infinito). ${\displaystyle K[G]}$

Prueba: Considerando el contrapositivo , supongamos que es un subgrupo normal finito sin identidad de . Llevar . Ya que para cualquiera , lo sabemos , por lo tanto . Tomando , tenemos . Por normalidad de , se desplaza con una base de , y por tanto ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a=\sum _{h\in H}h}$ ${\displaystyle hH=H}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ha=a}$ ${\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a}$ ${\displaystyle b=|H|\,1-a}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[G]}$

${\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}$.

Y vemos que no son cero, lo que demuestra que no es primo. Esto muestra la declaración original. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle K[G]}$

Álgebra de grupos sobre un grupo finito

Las álgebras de grupo ocurren naturalmente en la teoría de representaciones de grupos de grupos finitos . El álgebra de grupo K [ G ] sobre un campo K es esencialmente el anillo del grupo, donde el campo K ocupa el lugar del anillo. Como conjunto y espacio vectorial, es el espacio vectorial libre en G sobre el campo K. Es decir, para x en K [ G ],

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}$

La estructura algebraica en el espacio vectorial se define mediante la multiplicación en el grupo:

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

donde a la izquierda, g y h indican elementos del álgebra de grupo, mientras que la multiplicación de la derecha es la operación de grupo (denotada por yuxtaposición).

Debido a que la multiplicación anterior puede resultar confusa, también se pueden escribir los vectores base de K [ G ] como e _g (en lugar de g ), en cuyo caso la multiplicación se escribe como:

${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}$

Interpretación como funciones.

Pensando en el espacio vectorial libre como funciones con valores K en G , la multiplicación de álgebra es convolución de funciones.

Si bien el álgebra de grupos de un grupo finito se puede identificar con el espacio de funciones del grupo, para un grupo infinito estos son diferentes. El álgebra de grupos, que consta de sumas finitas , corresponde a funciones del grupo que desaparecen para un número infinito de puntos; topológicamente (usando la topología discreta ), estos corresponden a funciones con soporte compacto .

Sin embargo, el álgebra de grupos K [ G ] y el espacio de funciones K ^G  := Hom( G , K ) son duales: dado un elemento del álgebra de grupos

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$

y una función en el grupo f  : G → K estos pares para dar un elemento de K vía

${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

que es una suma bien definida porque es finita.

Representaciones de un álgebra de grupos.

Tomando K [ G ] como un álgebra abstracta, se pueden pedir representaciones del álgebra que actúa sobre un K- espacio vectorial V de dimensión d . tal representación

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}$

es un homomorfismo de álgebra del álgebra de grupos al álgebra de endomorfismos de V , que es isomorfo al anillo de matrices d × d :. De manera equivalente, este es un módulo K [ G ] izquierdo sobre el grupo abeliano V . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}$

En consecuencia, una representación grupal

${\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}$

es un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos lineales de V , que es isomorfo al grupo lineal general de matrices invertibles: . Cualquier representación de este tipo induce una representación de álgebra. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}$

simplemente dejando y extendiendo linealmente. Por tanto, las representaciones del grupo corresponden exactamente a las representaciones del álgebra y las dos teorías son esencialmente equivalentes. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}$

Representación regular

El álgebra de grupos es un álgebra sobre sí misma; bajo la correspondencia de representaciones sobre los módulos R y R [ G ], es la representación regular del grupo.

Escrito como una representación, es la representación g ↦ ρ _g con la acción dada por , o ${\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}$

${\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}$

Descomposición semisimple

La dimensión del espacio vectorial K [ G ] es exactamente igual al número de elementos del grupo. El campo K se considera comúnmente como los números complejos C o los reales R , de modo que se analizan las álgebras de grupo C [ G ] o R [ G ].

El álgebra de grupos C [ G ] de un grupo finito sobre números complejos es un anillo semisimple . Este resultado, el teorema de Maschke , nos permite entender C [ G ] como un producto finito de anillos matriciales con entradas en C. De hecho, si enumeramos las representaciones complejas irreducibles de G como V _k para k = 1, . . . , m , estos corresponden a homomorfismos de grupo y, por tanto, a homomorfismos de álgebra . El ensamblaje de estos mapeos da un isomorfismo de álgebra ${\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}$

donde d _k es la dimensión de V _k . La subálgebra de C [ G ] correspondiente a End( V _k ) es el ideal bilateral generado por el idempotente

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,}$

¿ Dónde está el carácter de V _k ? Estos forman un sistema completo de idempotentes ortogonales, de modo que , para j ≠ k , y . El isomorfismo está estrechamente relacionado con la transformada de Fourier en grupos finitos . ${\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)}$ ${\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0}$ ${\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$

Para un campo K más general, siempre que la característica de K no divida el orden del grupo G , entonces K [ G ] es semisimple. Cuando G es un grupo abeliano finito , el anillo del grupo K [G] es conmutativo y su estructura es fácil de expresar en términos de raíces de unidad .

Cuando K es un campo de característica p que divide el orden de G , el anillo de grupo no es semisimple: tiene un radical de Jacobson distinto de cero , y esto le da al tema correspondiente de la teoría de la representación modular su propio carácter más profundo.

Centro de un álgebra de grupo

El centro del álgebra de grupos es el conjunto de elementos que conmutan con todos los elementos del álgebra de grupos:

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}$

El centro es igual al conjunto de funciones de clase , es decir, el conjunto de elementos que son constantes en cada clase de conjugación.

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}$

Si K = C , el conjunto de caracteres irreducibles de G forma una base ortonormal de Z( K [ G ]) con respecto al producto interno

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}$

Anillos de grupo sobre un grupo infinito

Se sabe mucho menos en el caso en el que G es contablemente infinito o incontable, y ésta es un área de investigación activa. ^[3] El caso en el que R es el cuerpo de números complejos es probablemente el mejor estudiado. En este caso, Irving Kaplansky demostró que si a y b son elementos de C [ G ] con ab = 1 , entonces ba = 1 . Aún se desconoce si esto es cierto si R es un campo de característica positiva.

Una conjetura de Kaplansky (~1940) de larga data dice que si G es un grupo libre de torsión y K es un campo, entonces el anillo del grupo K [ G ] no tiene divisores de cero no triviales . Esta conjetura es equivalente a que K [ G ] no tenga nilpotentes no triviales bajo las mismas hipótesis para K y G.

De hecho, la condición de que K sea un campo se puede relajar a cualquier anillo que pueda incluirse en un dominio integral .

La conjetura permanece abierta en general, sin embargo, se ha demostrado que algunos casos especiales de grupos libres de torsión satisfacen la conjetura del divisor cero. Éstas incluyen:

• Grupos de productos únicos (por ejemplo, grupos que se pueden pedir , en particular grupos gratuitos )
• Grupos elementales susceptibles (por ejemplo, grupos virtualmente abelianos )
• Grupos difusos, en particular, grupos que actúan libremente isométricamente sobre R -árboles, y los grupos fundamentales de grupos de superficie, excepto los grupos fundamentales de sumas directas de una, dos o tres copias del plano proyectivo.

El caso en el que G es un grupo topológico se analiza con mayor detalle en el artículo Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto .

Teoría de categorías

adjunto

Categóricamente , la construcción del anillo del grupo se deja adjunta al " grupo de unidades "; los siguientes functores son un par adjunto :

${\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }$

${\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }$

donde lleva un grupo a su anillo de grupo sobre R y lleva un R -álgebra a su grupo de unidades. ${\displaystyle R[-]}$ ${\displaystyle (-)^{\times }}$

Cuando R = Z , esto da una conjunción entre la categoría de grupos y la categoría de anillos , y la unidad de la conjunción lleva un grupo G a un grupo que contiene unidades triviales: G × {±1} = {± g }. En general, los anillos de grupo contienen unidades no triviales. Si G contiene elementos a y b tales que y b no se normaliza, entonces el cuadrado de ${\displaystyle a^{n}=1}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

${\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}$

es cero, por lo tanto . El elemento 1 + x es una unidad de orden infinito. ${\displaystyle (1+x)(1-x)=1}$

propiedad universal

La adición anterior expresa una propiedad universal de los anillos de grupo. ^{[2] [4]} Sea R un anillo (conmutativo), sea G un grupo y sea S una R -álgebra. Para cualquier homomorfismo de grupo , existe un homomorfismo de álgebra R único tal que donde i es la inclusión ${\displaystyle f:G\to S^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}$

En otras palabras, ¿es el homomorfismo único el que hace conmutar el siguiente diagrama? ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Cualquier otro anillo que satisfaga esta propiedad es canónicamente isomorfo al anillo del grupo.

álgebra de hopf

El álgebra de grupos K [ G ] tiene una estructura natural de un álgebra de Hopf . La comultiplicación está definida por , extendida linealmente, y la antípoda es , nuevamente extendida linealmente. ${\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}$ ${\displaystyle S(g)=g^{-1}}$

Generalizaciones

El álgebra de grupos se generaliza al anillo monoide y de allí al álgebra de categorías , de la cual otro ejemplo es el álgebra de incidencia .

Filtración

Si un grupo tiene una función de longitud (por ejemplo, si hay una opción de generadores y se toma la palabra métrica , como en los grupos de Coxeter ), entonces el anillo del grupo se convierte en un álgebra filtrada .

Ver también

• Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto
• Anillo monoide
• Las conjeturas de Kaplansky

Teoría de la representación

• Representación del grupo
• Representación regular

Teoría de categorías

• álgebra categórica
• grupo de unidades
• Álgebra de incidencia
• álgebra de carcaj

Notas

1. Milies y Sehgal (2002), págs.129 y 131.
2. Milies y Sehgal (2002), pág. 131.
3. Passman, Donald S. (1976). "¿Qué es un anillo grupal?". América. Matemáticas. Mensual . 83 (3): 173–185. doi :10.2307/2977018. JSTOR  2977018.
4. "álgebra de grupos en nLab". ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .

Referencias

• AA Bovdi (2001) [1994], "Álgebra de grupos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Miliés, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. Introducción a los anillos grupales . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Charles W. Curtis , Irving Reiner . Teoría de la representación de grupos finitos y álgebras asociativas, Interscience (1962)
• DS Passman, La estructura algebraica de los anillos de grupo, Wiley (1977)