En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un elemento idempotente o simplemente idempotente de un anillo es un elemento a tal que a 2 = a . [1] [a] Es decir, el elemento es idempotente bajo la multiplicación del anillo. Inductivamente entonces, uno puede concluir también que a = a 2 = a 3 = a 4 = ... = a n para cualquier entero positivo n . Por ejemplo, un elemento idempotente de un anillo de matrices es precisamente una matriz idempotente .
En el caso de los anillos generales, los elementos idempotentes bajo la multiplicación están involucrados en las descomposiciones de módulos y están conectados con las propiedades homológicas del anillo. En el álgebra de Boole , los principales objetos de estudio son los anillos en los que todos los elementos son idempotentes bajo la suma y la multiplicación.
Se puede considerar el anillo de números enteros módulo n , donde n es un número libre de cuadrados . Por el teorema del resto chino , este anillo se factoriza en el producto de anillos de números enteros módulo p , donde p es primo . Ahora bien, cada uno de estos factores es un cuerpo , por lo que está claro que los únicos idempotentes de los factores serán 0 y 1 . Es decir, cada factor tiene dos idempotentes. Por lo tanto, si hay m factores, habrá 2 m idempotentes.
Podemos comprobar esto para los números enteros módulo 6 , R = Z / 6 Z. Como 6 tiene dos factores primos ( 2 y 3 ), debería tener 2 2 idempotentes.
De estos cálculos, 0 , 1 , 3 y 4 son idempotentes de este anillo, mientras que 2 y 5 no lo son. Esto también demuestra las propiedades de descomposición descritas a continuación: debido a que 3 + 4 ≡ 1 (mod 6) , existe una descomposición en anillo 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z. En 3 Z / 6 Z la identidad multiplicativa es 3 + 6 Z y en 4 Z / 6 Z la identidad multiplicativa es 4 + 6 Z.
Dado un anillo R y un elemento f ∈ R tal que f 2 ≠ 0 , el anillo cociente
tiene el idempotente f . Por ejemplo, esto podría aplicarse a x ∈ Z [ x ] , o a cualquier polinomio f ∈ k [ x 1 , ..., x n ] .
Hay un hiperboloide de idempotentes en el anillo de cuaterniones divididos . [ cita requerida ]
Una lista parcial de tipos importantes de idempotentes incluye:
Cualquier idempotente no trivial a es un divisor de cero (porque ab = 0 y ni a ni b son cero, donde b = 1 − a ). Esto demuestra que los dominios integrales y los anillos de división no tienen tales idempotentes. Los anillos locales tampoco tienen tales idempotentes, pero por una razón diferente. El único idempotente contenido en el radical de Jacobson de un anillo es 0 .
Los idempotentes de R tienen una conexión importante con la descomposición de los módulos R. Si M es un módulo R y E = End R ( M ) es su anillo de endomorfismos , entonces A ⊕ B = M si y solo si hay un único idempotente e en E tal que A = eM y B = (1 − e ) M . Claramente, entonces, M es directamente indescomponible si y solo si 0 y 1 son los únicos idempotentes en E . [2]
En el caso en que M = R (supuesto unital), el anillo de endomorfismos End R ( R ) = R , donde cada endomorfismo surge como multiplicación por la izquierda por un elemento fijo del anillo. Con esta modificación de la notación, A ⊕ B = R como módulos por la derecha si y solo si existe un único idempotente e tal que eR = A y (1 − e ) R = B . Por lo tanto, cada sumando directo de R es generado por un idempotente.
Si a es un idempotente central, entonces el anillo de esquina aRa = Ra es un anillo con identidad multiplicativa a . Así como los idempotentes determinan las descomposiciones directas de R como un módulo, los idempotentes centrales de R determinan las descomposiciones de R como una suma directa de anillos. Si R es la suma directa de los anillos R 1 , ..., R n , entonces los elementos identidad de los anillos R i son idempotentes centrales en R , ortogonales entre pares, y su suma es 1 . Por el contrario, dados los idempotentes centrales a 1 , ..., a n en R que son ortogonales entre pares y tienen suma 1 , entonces R es la suma directa de los anillos Ra 1 , ..., Ra n . Así, en particular, cada idempotente central a en R da lugar a una descomposición de R como una suma directa de los anillos de esquina aRa y (1 − a ) R (1 − a ) . Como resultado, un anillo R es directamente indescomponible como anillo si y sólo si la identidad 1 es centralmente primitiva.
Trabajando inductivamente, uno puede intentar descomponer 1 en una suma de elementos centralmente primitivos. Si 1 es centralmente primitivo, hemos terminado. Si no, es una suma de idempotentes ortogonales centrales, que a su vez son primitivos o sumas de más idempotentes centrales, y así sucesivamente. El problema que puede ocurrir es que esto puede continuar sin fin, produciendo una familia infinita de idempotentes ortogonales centrales. La condición " R no contiene conjuntos infinitos de idempotentes ortogonales centrales " es un tipo de condición de finitud en el anillo. Se puede lograr de muchas maneras, como requerir que el anillo sea noetheriano recto . Si existe una descomposición R = c 1 R ⊕ c 2 R ⊕ ... ⊕ c n R con cada c i un idempotente centralmente primitivo, entonces R es una suma directa de los anillos de esquina c i Rc i , cada uno de los cuales es irreducible en el anillo. [3]
Para las álgebras asociativas o las álgebras de Jordan sobre un cuerpo, la descomposición de Peirce es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes conmutativos.
Si a es un idempotente del anillo de endomorfismo End R ( M ) , entonces el endomorfismo f = 1 − 2 a es una involución de módulo R de M . Es decir, f es un homomorfismo de módulo R tal que f 2 es el endomorfismo identidad de M .
Un elemento idempotente a de R y su involución asociada f dan lugar a dos involuciones del módulo R , dependiendo de si se considera a R como un módulo izquierdo o derecho. Si r representa un elemento arbitrario de R , f puede considerarse como un homomorfismo de módulo R derecho r ↦ fr de modo que ffr = r , o f también puede considerarse como un homomorfismo de módulo R izquierdo r ↦ rf , donde rff = r .
Este proceso se puede invertir si 2 es un elemento invertible de R : [b] si b es una involución, entonces 2 −1 (1 − b ) y 2 −1 (1 + b ) son idempotentes ortogonales, correspondientes a a y 1 − a . Por lo tanto, para un anillo en el que 2 es invertible, los elementos idempotentes corresponden a involuciones de manera biunívoca.
La elevación de idempotentes también tiene consecuencias importantes para la categoría de R -módulos . Todos los idempotentes se elevan módulo I si y solo si cada R sumando directo de R / I tiene una cubierta proyectiva como un R -módulo. [4] Los idempotentes siempre elevan ideales y anillos módulo nulo para los cuales R es I -ádicamente completo .
La elevación es más importante cuando I = J( R ) , el radical de Jacobson de R . Otra caracterización de los anillos semiperfectos es que son anillos semilocales cuyos idempotentes se elevan módulo J( R ) . [5]
Se puede definir un orden parcial de los idempotentes de un anillo de la siguiente manera: si a y b son idempotentes, escribimos a ≤ b si y sólo si ab = ba = a . Con respecto a este orden, 0 es el idempotente más pequeño y 1 el más grande. Para los idempotentes ortogonales a y b , a + b también es idempotente, y tenemos a ≤ a + b y b ≤ a + b . Los átomos de este orden parcial son precisamente los idempotentes primitivos. [6]
Cuando el orden parcial anterior se restringe a los idempotentes centrales de R , se puede dar una estructura reticular , o incluso una estructura de álgebra de Boole . Para dos idempotentes centrales e y f , el complemento está dado por
El encuentro lo da
y la unión viene dada por
El ordenamiento ahora se vuelve simplemente e ≤ f si y solo si eR ⊆ f R , y la unión y el encuentro satisfacen ( e ∨ f ) R = eR + f R y ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR )( f R ) . Se muestra en Goodearl 1991, p. 99 que si R es regular de von Neumann y autoinyectivo derecho , entonces la red es una red completa .