En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo perfecto por la izquierda es un tipo de anillo sobre el cual todos los módulos izquierdos tienen cubiertas proyectivas . El caso correcto se define por analogía y la condición no es simétrica izquierda-derecha; es decir, existen anillos que son perfectos por un lado pero no por el otro. Los anillos perfectos se introdujeron en el libro de Bass .
Un anillo semiperfecto es un anillo sobre el cual cada módulo izquierdo finitamente generado tiene una cubierta proyectiva. Esta propiedad es simétrica de izquierda a derecha.
anillo perfecto
Definiciones
Las siguientes definiciones equivalentes de un anillo perfecto por la izquierda R se encuentran en Aderson y Fuller: [2]
Ejemplos
- Tome el conjunto de matrices infinitas con entradas indexadas por , y que solo tienen un número finito de entradas distintas de cero, todas ellas por encima de la diagonal, y denote este conjunto por . También toma la matriz con todos los unos en la diagonal y forma el conjunto.
![{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Se puede demostrar que R es un anillo con identidad, cuyo radical de Jacobson es J. Además, R / J es un campo, de modo que R es local y R es perfecto a la derecha pero no a la izquierda.
Propiedades
Para un anillo perfecto a la izquierda R :
- De las equivalencias anteriores, cada módulo R izquierdo tiene un submódulo máximo y una cubierta proyectiva, y los módulos R izquierdos planos coinciden con los módulos izquierdos proyectivos.
- Un análogo del criterio de Baer es válido para los módulos proyectivos. [ cita necesaria ]
anillo semiperfecto
Definición
Sea R el anillo. Entonces R es semiperfecto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
Ejemplos
Ejemplos de anillos semiperfectos incluyen:
Propiedades
Dado que un anillo R es semiperfecto si cada módulo R izquierdo simple tiene una cubierta proyectiva, cada anillo de Morita equivalente a un anillo semiperfecto también es semiperfecto.
Citas
- ^ Anderson y Fuller 1992, pág. 315.
Referencias
- Anderson, Frank W; Fuller, Kent R (1992), Anillos y categorías de módulos (2ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
- Bass, Hyman (1960), "Dimensión finitista y generalización homológica de anillos semiprimarios", Transactions of the American Mathematical Society , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307/1993568 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1993568 , señor 0157984
- Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, señor 1838439