Teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos

En álgebra abstracta , el teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos , probado por primera vez por Irving Kaplansky , establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local es libre ; ^[1] donde un anillo no necesariamente conmutativo se llama local si para cada elemento x , x o 1 − x es un elemento unitario. ^[2] El teorema también se puede formular para caracterizar un anillo local (#Caracterización de un anillo local).

Para un módulo proyectivo finito sobre un anillo local conmutativo, el teorema es una consecuencia fácil del lema de Nakayama . ^[3] Para el caso general, la prueba (tanto la original como la posterior) consta de los dos pasos siguientes:

• Observe que un módulo proyectivo sobre un anillo arbitrario es una suma directa de módulos proyectivos generados contablemente .
• Demuestre que un módulo proyectivo generado contablemente sobre un anillo local es libre (mediante una "[reminiscencia] de la prueba del lema de Nakayama" ^[4] ).

Hyman Bass también utilizó más tarde la idea de la demostración del teorema para demostrar que los módulos proyectivos grandes (en algunas condiciones suaves) son libres. ^[5] Según (Anderson y Fuller 1992), el teorema de Kaplansky "es muy probablemente la inspiración para una parte importante de los resultados" en la teoría de los anillos semiperfectos . ^[1]

Prueba

La demostración del teorema se basa en dos lemas, los cuales se refieren a descomposiciones de módulos y son de interés general independiente.

Lema 1  -  ^[6] Denotemos la familia de módulos que son sumas directas de algunos submódulos generados contablemente (aquí los módulos pueden ser aquellos sobre un anillo, un grupo o incluso un conjunto de endomorfismos). Si está en , entonces cada suma directa de también está en . ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Prueba : Sea N una suma directa; es decir, . Usando el supuesto, escribimos donde cada uno es un submódulo generado contablemente. Para cada subconjunto , escribimos la imagen de debajo de la proyección y de la misma manera. Ahora, considere el conjunto de todos los triples ( , , ) que consta de un subconjunto y subconjuntos tales que y son las sumas directas de los módulos en . Le damos a este conjunto un orden parcial tal que si y sólo si ,. Según el lema de Zorn , el conjunto contiene un elemento máximo . Lo demostraremos ; es decir, . Supongamos lo contrario. Entonces podemos construir inductivamente una secuencia de, como máximo, subconjuntos contables tales que y para cada número entero , ${\displaystyle M=N\oplus L}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle A\subset I}$ ${\displaystyle M_{A}=\bigoplus _{i\in A}M_{i},N_{A}=}$ ${\displaystyle M_{A}}$ ${\displaystyle M\to N\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle L_{A}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle B,C\subset {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M_{J}=N_{J}\oplus L_{J}}$ ${\displaystyle N_{J},L_{J}}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle (J,B,C)\leq (J',B',C')}$ ${\displaystyle J\subset J'}$ ${\displaystyle B\subset B',C\subset C'}$ ${\displaystyle (J,B,C)}$ ${\displaystyle J=I}$ ${\displaystyle N=N_{J}=\bigoplus _{N'\in B}N'\in {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots \subset I}$ ${\displaystyle I_{1}\not \subset J}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle M_{I_{n}}\subset N_{I_{n}}+L_{I_{n}}\subset M_{I_{n+1}}}$.

Deja y . Reclamamos: ${\displaystyle I'=\bigcup _{0}^{\infty }I_{n}}$ ${\displaystyle J'=J\cup I'}$

${\displaystyle M_{J'}=N_{J'}\oplus L_{J'}.}$

La inclusión es trivial. Por el contrario, es la imagen de y así . Lo mismo ocurre también con . Por tanto, la afirmación es válida. ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle N_{J'}}$ ${\displaystyle N_{J}+L_{J}+M_{I'}\subset N_{J}+M_{I'}}$ ${\displaystyle N_{J'}\subset M_{J'}}$ ${\displaystyle L_{J'}}$

Ahora, es una suma directa de (ya que es una suma de , que es una suma de ); es decir, para algunos . Entonces, por ley modular, . Colocar . Definir de la misma manera. Entonces, usando la reclamación anticipada, tenemos: ${\displaystyle N_{J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{J}\oplus M'=M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle N_{J'}=N_{J}\oplus (M'\cap N_{J'})}$ ${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}=M'\cap N_{J'}}$ ${\displaystyle {\widetilde {L_{J}}}}$

${\displaystyle M_{J'}=M_{J}\oplus {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}},}$

lo que implica que

${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}}\simeq M_{J'}/M_{J}\simeq M_{J'-J}}$

se genera contablemente como . Esto contradice la maximalidad de . ${\displaystyle J'-J\subset I'}$ ${\displaystyle (J,B,C)}$ ${\displaystyle \square }$

Lema 2  :  si son módulos generados contablemente con anillos de endomorfismo locales y si es un módulo generado contablemente que es una suma directa de , entonces es isomórfico para algún subconjunto contable como máximo . ${\displaystyle M_{i},i\in I}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I'}M_{i}}$ ${\displaystyle I'\subset I}$

Prueba : ^[7] Denotemos la familia de módulos que son isomorfos a módulos de la forma para algún subconjunto finito . La afirmación queda implícita entonces en la siguiente afirmación: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in F}M_{i}}$ ${\displaystyle F\subset I}$

• Dado un elemento , existe un que contiene x y es suma directa de  N. ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$

De hecho, suponga que el reclamo es válido. Luego elija una secuencia en N que sea un conjunto generador. Luego, usando el reclamo, escribe dónde . Luego escribimos dónde . Luego descomponemos con . Nota . Repitiendo este argumento, al final tenemos: ; es decir, . Por lo tanto, la prueba se reduce a probar la afirmación y la afirmación es una consecuencia directa del teorema de Azumaya (consulte el artículo vinculado para conocer el argumento). ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle N=H_{1}\oplus N_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}\in H_{1}\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle x_{2}=y+z}$ ${\displaystyle y\in H_{1},z\in N_{1}}$ ${\displaystyle N_{1}=H_{2}\oplus N_{2}}$ ${\displaystyle z\in H_{2}\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\subset H_{1}\oplus H_{2}}$ ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}\subset \bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ ${\textstyle N=\bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba del teorema : Sea un módulo proyectivo sobre un anillo local. Entonces, por definición, es una suma directa de algún módulo libre . Esto está en la familia del Lema 1; por tanto, es una suma directa de submódulos generados contablemente, cada uno de los cuales es una suma directa de F y, por tanto, proyectivo. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que se genera contablemente. Entonces el Lema 2 da el teorema. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \square }$

Caracterización de un anillo local.

El teorema de Kaplansky se puede enunciar de tal manera que proporcione una caracterización de un anillo local. Se dice que una suma directa es máxima si tiene un complemento indescomponible.

Teorema  -  ^[8] Sea R un anillo. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. R es un anillo local.
2. Cada módulo proyectivo sobre R es libre y tiene una descomposición indescomponible tal que para cada suma directa máxima L de M , hay una descomposición para algún subconjunto . ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M={\Big (}\bigoplus _{j\in J}M_{j}{\Big )}\bigoplus L}$ ${\displaystyle J\subset I}$

La implicación es exactamente el teorema (habitual) de Kaplansky y el teorema de Azumaya. Lo contrario se desprende del siguiente hecho general, que en sí mismo es interesante: ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$ ${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$

• Un anillo R es local para cada suma directa propia distinta de cero M de , o . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle R^{2}=R\times R}$ ${\displaystyle R^{2}=(0\times R)\oplus M}$ ${\displaystyle R^{2}=(R\times 0)\oplus M}$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$es por el teorema de Azumaya como en la prueba de . Por el contrario, supongamos que tiene la propiedad anterior y que se da un elemento x en R. Considere el mapa lineal . Colocar . Entonces , es decir, se divide y la imagen es una suma directa de . De ahí se deduce fácilmente la suposición de que x o - y son un elemento unitario. ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \sigma :R^{2}\to R,\,\sigma (a,b)=a-b}$ ${\displaystyle y=x-1}$ ${\displaystyle \sigma (x,y)=1}$ ${\displaystyle \eta :R\to R^{2},a\mapsto (ax,ay)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \square }$

Ver también

• Categoría Krull-Schmidt

Notas

1. Anderson y Fuller 1992, Corolario 26.7.
2. Anderson y Fuller 1992, Proposición 15.15.
3. Matsumura 1989, Teorema 2.5.
4. Lam 2000, Parte 1. § 1.
5. Bajo 1963
6. Anderson y Fuller 1992, teorema 26.1.
7. Anderson y Fuller 1992, Prueba del teorema 26.5.
8. Anderson y Fuller 1992, ejercicio 26.3.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor  1245487
• Bass, Hyman (28 de febrero de 1963). "Los grandes módulos proyectivos son gratuitos". Revista de Matemáticas de Illinois . 7 (1). Universidad de Illinois en Champagne-Urbana: 24–31. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .
• Kaplansky, Irving (1958), "Módulos proyectivos", Ann. de Matemáticas. , 2, 68 (2): 372–377, doi :10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, SEÑOR  0100017
• Lam, TY (2000). "El trabajo de Bass en teoría de anillos y módulos proyectivos". arXiv : matemáticas/0002217 . Señor 1732042
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6