Lema de Nakayama

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta y álgebra conmutativa , el lema de Nakayama —también conocido como teorema de Krull-Azumaya ^[1] — gobierna la interacción entre el radical de Jacobson de un anillo (típicamente un anillo conmutativo ) y sus módulos finitamente generados . De manera informal, el lema da inmediatamente un sentido preciso en el que los módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo se comportan como espacios vectoriales sobre un cuerpo . Es una herramienta importante en geometría algebraica , porque permite estudiar datos locales sobre variedades algebraicas , en forma de módulos sobre anillos locales , puntualmente como espacios vectoriales sobre el cuerpo de residuos del anillo.

El lema recibe su nombre del matemático japonés Tadashi Nakayama y fue introducido en su forma actual en Nakayama (1951), aunque fue descubierto primero en el caso especial de ideales en un anillo conmutativo por Wolfgang Krull y luego en general por Goro Azumaya (1951). ^[2] En el caso conmutativo, el lema es una consecuencia simple de una forma generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , una observación hecha por Michael Atiyah (1969). El caso especial de la versión no conmutativa del lema para ideales rectos aparece en Nathan Jacobson (1945), y por eso el lema no conmutativo de Nakayama a veces se conoce como el teorema de Jacobson-Azumaya . ^[1] Este último tiene varias aplicaciones en la teoría de radicales de Jacobson . ^[3]

Declaración

Sea un anillo conmutativo con identidad 1. El siguiente es el lema de Nakayama, como se indica en Matsumura (1989): ${\displaystyle R}$

Enunciado 1 : Sea un ideal en , y un módulo finitamente generado sobre . Si , entonces existe con tal que . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$ ${\displaystyle rM=0}$

Esto se demuestra a continuación. Una regla mnemotécnica útil para el lema de Nakayama es " ". Esto resume la siguiente formulación alternativa: ${\displaystyle IM=M\implies im=m}$

Enunciado 2 : Sea un ideal en , y un módulo finitamente generado sobre . Si , entonces existe un tal que para todo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle im=m}$ ${\displaystyle m\in M}$

Prueba : tomemos la afirmación 1. ${\displaystyle i=1-r}$

El siguiente corolario también se conoce como lema de Nakayama, y ​​es en esta forma que aparece con mayor frecuencia. ^[4]

Afirmación 3 : Si es un módulo finitamente generado sobre , es el radical de Jacobson de , y , entonces . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Prueba : ( como en la afirmación 1) está en el radical de Jacobson, por lo que es invertible. ${\displaystyle 1-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

De manera más general, se tiene que es un submódulo superfluo de cuando se genera finitamente. ${\displaystyle J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Afirmación 4 : Si es un módulo finitamente generado sobre , es un submódulo de , y = , entonces = . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N+J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Prueba : Aplicar la afirmación 3 a . ${\displaystyle M/N}$

El siguiente resultado manifiesta el lema de Nakayama en términos de generadores. ^[5]

Afirmación 5 : Si es un módulo finitamente generado sobre y las imágenes de los elementos ₁ ,..., de en se generan como un -módulo, entonces ₁ ,..., también se generan como un -módulo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Prueba : Aplicar la afirmación 4 a . ${\displaystyle \textstyle {N=\sum _{i}Rm_{i}}}$

Si uno supone en cambio que es completo y está separado con respecto a la topología -ádica para un ideal en , esta última afirmación se cumple con en lugar de y sin suponer de antemano que es finitamente generado. ^[6] Aquí la separación significa que la topología -ádica satisface el axioma de separación T 1 , y es equivalente a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0.}}$

Consecuencias

Anillos locales

En el caso especial de un módulo finitamente generado sobre un anillo local con ideal máximo , el cociente es un espacio vectorial sobre el cuerpo . La afirmación 5 implica entonces que una base de se eleva a un conjunto mínimo de generadores de . A la inversa, todo conjunto mínimo de generadores de se obtiene de esta manera, y cualesquiera dos conjuntos de generadores de este tipo están relacionados por una matriz invertible con entradas en el anillo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Interpretación geométrica

En esta forma, el lema de Nakayama adquiere un significado geométrico concreto. Los anillos locales surgen en geometría como gérmenes de funciones en un punto. Los módulos finitamente generados sobre anillos locales surgen con bastante frecuencia como gérmenes de secciones de fibrados vectoriales . Trabajando a nivel de gérmenes en lugar de puntos, la noción de fibrado vectorial de dimensión finita da paso a la de haz coherente . De manera informal, el lema de Nakayama dice que todavía se puede considerar que un haz coherente proviene de un fibrado vectorial en algún sentido. Más precisamente, sea un haz coherente de -módulos sobre un esquema arbitrario . El tallo de en un punto , denotado por , es un módulo sobre el anillo local y la fibra de en es el espacio vectorial . El lema de Nakayama implica que una base de la fibra se eleva a un conjunto mínimo de generadores de . Es decir: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,p},{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\mathcal {M}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$

• Toda base de la fibra de un haz coherente en un punto proviene de una base mínima de secciones locales. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Reformulando esto geométricamente, si es un módulo localmente libre que representa un fibrado vectorial , y si tomamos una base del fibrado vectorial en un punto del esquema , esta base puede elevarse a una base de secciones del fibrado vectorial en alguna vecindad del punto. Podemos organizar estos datos diagramáticamente ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E|_{p}&\to &E|_{U}&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\p&\to &U&\to &X\end{matrix}}}$

donde es un espacio vectorial n-dimensional, es decir, una base en (que es una base de secciones del fibrado ) puede elevarse a una base de secciones para algún vecindario de . ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E_{p}\to p}$ ${\displaystyle E|_{U}\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

Subiendo y bajando

El teorema de ascenso es esencialmente un corolario del lema de Nakayama. ^[7] Afirma:

• Sea una extensión integral de anillos conmutativos y un ideal primo de . Entonces existe un ideal primo en tal que . Además, puede elegirse que contenga cualquier primo de tal que . ${\displaystyle R\hookrightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap R={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cap R\subset {\mathfrak {p}}}$

Epimorfismos de módulos

El lema de Nakayama tiene un sentido preciso en el que los módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo son como espacios vectoriales sobre un cuerpo. La siguiente consecuencia del lema de Nakayama ofrece otra forma en la que esto es cierto:

• Si es un módulo finitamente generado y es un endomorfismo sobreyectivo, entonces es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f}$

Sobre un anillo local, se puede decir más sobre los epimorfismos del módulo: ^[9]

• Supóngase que es un anillo local con ideal máximo , y son módulos finitamente generados. Si es una función lineal tal que el cociente es sobreyectivo, entonces es sobreyectivo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {m}}:M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N}$ ${\displaystyle \phi }$

Versiones homológicas

El lema de Nakayama también tiene varias versiones en el álgebra homológica . La afirmación anterior sobre los epimorfismos se puede utilizar para demostrar: ^[9]

• Sea un módulo finitamente generado sobre un anillo local. Entonces es proyectivo si y solo si es libre . Esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck de cualquier anillo local como . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K(R)=\mathbb {Z} }$

Una contraparte geométrica y global de esto es el teorema de Serre-Swan , que relaciona módulos proyectivos y haces coherentes.

De manera más general, se tiene ^[10]

• Sea un anillo local y un módulo finitamente generado sobre . Entonces la dimensión proyectiva de sobre es igual a la longitud de cada resolución libre mínima de . Además, la dimensión proyectiva es igual a la dimensión global de , que es por definición el entero más pequeño tal que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.}$

Aquí está el campo de residuos de y es el functor tor . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Tor}}}$

Teorema de la función inversa

El lema de Nakayama se utiliza para demostrar una versión del teorema de la función inversa en geometría algebraica:

• Sea un morfismo proyectivo entre variedades cuasi-proyectivas . Entonces es un isomorfismo si y sólo si es una biyección y la diferencial es inyectiva para todo . ^[11] ${\textstyle f:X\to Y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle df_{p}}$ ${\displaystyle p\in X}$

Prueba

Una prueba estándar del lema de Nakayama utiliza la siguiente técnica debida a Atiyah y Macdonald (1969). ^[12]

• Sea M un módulo R generado por n elementos, y φ:  M  →  M una función R -lineal. Si existe un ideal I de R tal que φ( M ) ⊂  IM , entonces existe un polinomio mónico

${\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}}$

con p _k  ∈  I ^k , tal que

${\displaystyle p(\varphi )=0}$

como un endomorfismo de M .

Esta afirmación es precisamente una versión generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , y la demostración procede en la misma línea. En los generadores x _i de M , se tiene una relación de la forma

${\displaystyle \varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$

donde a _ij  ∈  I . Por lo tanto

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0.}$

El resultado requerido se obtiene multiplicando por el adjunto de la matriz (φδ _ij  −  a _ij ) e invocando la regla de Cramer . Se encuentra entonces que det(φδ _ij  −  a _ij ) = 0, por lo que el polinomio requerido es

${\displaystyle p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij}).}$

Para demostrar el lema de Nakayama a partir del teorema de Cayley-Hamilton, suponga que IM  =  M y tome φ como la identidad en M . Luego defina un polinomio p ( x ) como el anterior. Entonces

${\displaystyle r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$

tiene la propiedad requerida: y . ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$ ${\displaystyle rM=0}$

Caso no conmutativo

Una versión del lema se cumple para módulos rectos sobre anillos unitarios no conmutativos R . El teorema resultante a veces se conoce como el teorema de Jacobson-Azumaya . ^[13]

Sea J( R ) el radical de Jacobson de R . Si U es un módulo recto sobre un anillo, R , e I es un ideal recto en R , entonces definamos U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde · es simplemente la acción de R sobre U . Necesariamente, U · I es un submódulo de U .

Si V es un submódulo máximo de U , entonces U / V es simple . Por lo tanto, U · J( R ) es necesariamente un subconjunto de V , por la definición de J( R ) y el hecho de que U / V es simple. ^[14] Por lo tanto, si U contiene al menos un submódulo máximo (propio), U · J( R ) es un submódulo propio de U . Sin embargo, esto no tiene por qué cumplirse para módulos arbitrarios U sobre R , ya que U no necesita contener ningún submódulo máximo. ^[15] Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto se cumple. Si R es noetheriano y U es finitamente generado , entonces U es un módulo noetheriano sobre R , y la conclusión se satisface. ^[16] Algo notable es que el supuesto más débil, a saber, que U es finitamente generado como un R -módulo (y no hay ningún supuesto de finitud en R ), es suficiente para garantizar la conclusión. Esta es esencialmente la declaración del lema de Nakayama. ^[17]

Precisamente, se tiene:

Lema de Nakayama : Sea U un módulo recto finitamente generado sobre un anillo (unital) R. Si U es un módulo distinto de cero, entonces U · J( R ) es un submódulo propio de U. ^[17]

Prueba

Sea un subconjunto finito de , mínimo con respecto a la propiedad de que genera . Como no es cero, este conjunto no está vacío. Denotemos cada elemento de por para . Como genera , . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U}$

Supongamos que se obtiene una contradicción. Entonces cada elemento puede expresarse como una combinación finita para algún . ${\displaystyle U\cdot \operatorname {J} (R)=U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u=\sum \limits _{s=1}^{m}u_{s}j_{s}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,\,u_{s}\in U,\,j_{s}\in \operatorname {J} (R),\,s=1,\dots ,m}$

Cada uno puede descomponerse aún más como para algunos . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle u_{s}}$ ${\displaystyle u_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}}$ ${\displaystyle r_{i,s}\in R}$

${\displaystyle u=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}\right)j_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)}$.

Dado que es un ideal (bilateral) en , tenemos para cada , y por lo tanto esto se convierte en ${\displaystyle \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}k_{i}}$Para algunos , . ${\displaystyle k_{i}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Poniendo y aplicando la distributividad, obtenemos ${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})=0}$.

Elija algún . Si el ideal correcto fuera propio, entonces estaría contenido en un ideal correcto máximo y tanto y pertenecerían a , lo que conduce a una contradicción (nótese que por la definición del radical de Jacobson). Por lo tanto y tiene un inverso correcto en . Tenemos ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R}$ ${\displaystyle M\neq R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (R)\subseteq M}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R=R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=0}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle \sum _{i\neq j}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=-x_{j}}$.

Por lo tanto, es una combinación lineal de los elementos de . Esto contradice la minimalidad de y establece el resultado. ^[18] ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle X\setminus \{x_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$

Versión graduada

También existe una versión graduada del lema de Nakayama. Sea R un anillo graduado por el semigrupo ordenado de enteros no negativos, y sea denotar el ideal generado por elementos graduados positivamente. Entonces, si M es un módulo graduado sobre R para el cual para i es suficientemente negativo (en particular, si M es finitamente generado y R no contiene elementos de grado negativo) tal que , entonces . De particular importancia es el caso de que R sea un anillo polinomial con la graduación estándar, y M sea un módulo finitamente generado. ${\displaystyle R_{+}}$ ${\displaystyle M_{i}=0}$ ${\displaystyle R_{+}M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

La prueba es mucho más fácil que en el caso no graduado: tomando i como el menor entero tal que , vemos que no aparece en , por lo que o bien , o bien tal i no existe, es decir, . ${\displaystyle M_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle R_{+}M}$ ${\displaystyle M\neq R_{+}M}$ ${\displaystyle M=0}$

Véase también

• Teoría de módulos
• Teorema de Serre-Swan

Notas

1. Nagata 1975, §A.2
2. Nagata 1975, §A.2; Matsumura 1989, pág. 8
3. Isaacs 1993, Corolario 13.13, pág. 184
4. Eisenbud 1995, Corolario 4.8; Atiyah y Macdonald (1969, Proposición 2.6)
5. Eisenbud 1995, Corolario 4.8(b)
6. Eisenbud 1995, Ejercicio 7.2
7. Eisenbud 1995, §4.4
8. Matsumura 1989, Teorema 2.4
9. Griffiths y Harris 1994, pág. 681
10. Eisenbud 1995, Corolario 19.5
11. McKernan, James. "El teorema de la función inversa" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de septiembre de 2022.
12. Matsumura 1989, p. 7: "Una técnica estándar aplicable a módulos A finitos es el 'truco del determinante'..." Véase también la prueba contenida en Eisenbud (1995, §4.1).
13. Nagata 1975, §A2
14. Isaacs 1993, pág. 182
15. Isaacs 1993, pág. 183
16. Isaacs 1993, Teorema 12.19, pág. 172
17. Isaacs 1993, Teorema 13.11, pág. 183
18. Isaacs 1993, Teorema 13.11, pág. 183; Isaacs 1993, Corolario 13.12, pág. 183

Referencias

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Reading, MA: Addison-Wesley.
• Azumaya, Gorô (1951), "Sobre álgebras de máxima centralidad", Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN  0027-7630, MR  0040287.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 52, Springer-Verlag.
• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1945), "La radicalidad y la semisimplicidad para anillos arbitrarios", American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Sr.  1011461.
• Nagata, Masayoshi (1975), Anillos locales , Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, NY, ISBN 978-0-88275-228-0, Sr.  0460307.
• Nakayama, Tadasi (1951), "Una observación sobre módulos finitamente generados", Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017/s0027763000012265 , ISSN  0027-7630, MR  0043770.

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