ideal principal

Anillo ideal generado por un solo elemento del anillo.

En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , un ideal principal es un ideal en un anillo que se genera por un solo elemento de mediante la multiplicación por cada elemento de. El término también tiene otro significado similar en la teoría del orden , donde se refiere a un (orden) ideal en un poset generado por un solo elemento, es decir, el conjunto de todos los elementos menores o iguales a en ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

El resto de este artículo aborda el concepto de teoría de anillos.

Definiciones

• un ideal principal izquierdo de es un subconjunto de dado por para algún elemento ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• un ideal principal derecho de es un subconjunto de dado por para algún elemento ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• un ideal principal bilateral de es un subconjunto de dado por para algún elemento , es decir, el conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle ras.}$

Si bien esta definición de ideal principal bilateral puede parecer más complicada que las demás, es necesario garantizar que el ideal permanezca cerrado en la suma. ^{[ cita necesaria ]}

Si es un anillo conmutativo con identidad, entonces las tres nociones anteriores son todas iguales. En ese caso, es común escribir el ideal generado por as o ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle (a).}$

Ejemplos de ideal no principal

No todos los ideales son principales. Por ejemplo, consideremos el anillo conmutativo de todos los polinomios de dos variables y con coeficientes complejos . El ideal generado por y que consta de todos los polinomios que tienen cero para el término constante , no es principal. Para ver esto, supongamos que fuera un generador de Entonces y ambos serían divisibles por lo cual es imposible a menos que sea una constante distinta de cero. Pero el cero es la única constante, por lo que tenemos una contradicción . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

En el ring, los números pares forman un ideal no principal. Este ideal forma una red hexagonal regular en el plano complejo. Consideremos y Estos números son elementos de este ideal con la misma norma (dos), pero porque las únicas unidades en el anillo son y no son asociadas. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ ${\displaystyle (1,1).}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1,}$

Definiciones relacionadas

Un anillo en el que cada ideal es principal se llama principal , o anillo ideal principal . Un dominio ideal principal (PID) es un dominio integral en el que todo ideal es principal. Cualquier PID es un dominio de factorización único ; la prueba normal de factorización única en números enteros (el llamado teorema fundamental de la aritmética ) se cumple en cualquier PID.

Ejemplos de ideal principal

Los ideales principales en son de la forma De hecho, es un dominio ideal principal, que se puede mostrar de la siguiente manera. Supongamos dónde y considere los homomorfismos sobreyectivos. Dado que es finito, para lo suficientemente grande tenemos Así, lo que implica que siempre se genera de forma finita. Dado que el ideal es generado por cualquier número entero y es exactamente por inducción sobre el número de generadores, se deduce que es principal. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$

Sin embargo, todos los anillos tienen ideales principales, es decir, cualquier ideal generado exactamente por un elemento. Por ejemplo, el ideal es un ideal principal de y es un ideal principal de De hecho, y son ideales principales de cualquier anillo. ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$ ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ ${\displaystyle R.}$

Propiedades

Cualquier dominio euclidiano es un PID ; El algoritmo utilizado para calcular los máximos divisores comunes se puede utilizar para encontrar un generador de cualquier ideal. De manera más general, dos ideales principales cualesquiera en un anillo conmutativo tienen un máximo común divisor en el sentido de multiplicación ideal. En dominios ideales principales, esto nos permite calcular máximos comunes divisores de elementos del anillo, hasta la multiplicación por una unidad ; definimos como cualquier generador del ideal ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Para un dominio de Dedekind también podemos preguntar, dado un ideal no principal , si existe alguna extensión de tal que el ideal de generado por sea principal (dicho de manera más vaga, se vuelve principal en ). Esta pregunta surgió en relación con el estudio de los anillos de números enteros algebraicos (que son ejemplos de dominios de Dedekind) en la teoría de números , y condujo al desarrollo de la teoría de campos de clases por parte de Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert y muchos otros. ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$

El teorema ideal principal de la teoría de campos de clases establece que cada anillo de enteros (es decir, el anillo de números enteros de algún campo numérico ) está contenido en un anillo de enteros más grande que tiene la propiedad de que todo ideal de se convierte en un ideal principal de En este teorema podemos tomar ser el anillo de números enteros del campo de clase de Hilbert de ; es decir, la extensión abeliana máxima no ramificada (es decir, la extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano ) del campo fraccionario de y está determinada únicamente por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R.}$

El teorema del ideal principal de Krull establece que si es un anillo noetheriano y es un ideal principal y propio de entonces tiene una altura como máximo uno. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$

Ver también

• Condición de cadena ascendente para ideales principales

Referencias

• Galliano, Joseph A. (2017). Álgebra abstracta contemporánea (9ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-305-65796-0.