Categoría Krull-Schmidt

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una categoría de Krull-Schmidt es una generalización de categorías en las que se cumple el teorema de Krull-Schmidt . Surgen, por ejemplo, en el estudio de módulos de dimensión finita sobre un álgebra .

Definición

Sea C una categoría aditiva , o más generalmente una categoría lineal R aditiva para un anillo  conmutativo R. Llamamos a C una categoría de Krull-Schmidt siempre que cada objeto se descomponga en una suma directa finita de objetos que tienen anillos de endomorfismo locales. De manera equivalente, C tiene idempotentes divididos y el anillo de endomorfismo de cada objeto es semiperfecto .

Propiedades

Uno tiene el análogo del teorema de Krull-Schmidt en las categorías de Krull-Schmidt:

Un objeto se llama indescomponible si no es isomorfo a una suma directa de dos objetos distintos de cero. En una categoría de Krull-Schmidt tenemos que

• un objeto es indescomponible si y sólo si su anillo de endomorfismo es local.
• todo objeto es isomorfo a una suma directa finita de objetos indescomponibles.
• si donde y son todos indescomponibles, entonces , y existe una permutación tal que para todo i . ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}\oplus \cdots \oplus X_{r}\cong Y_{1}\oplus Y_{2}\oplus \cdots \oplus Y_{s}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X_{\pi (i)}\cong Y_{i}}$

Se puede definir el carcaj Auslander-Reiten de una categoría Krull-Schmidt.

Ejemplos

• Una categoría abeliana en la que cada objeto tiene una longitud finita . ^[1] Esto incluye como caso especial la categoría de módulos de dimensión finita sobre un álgebra.
• La categoría de módulos generados finitamente sobre una R -álgebra finita ^[2] , donde R es un anillo local completo noetheriano conmutativo . ^[3]
• La categoría de haces coherentes en una variedad completa sobre un campo algebraicamente cerrado . ^[4]

Un no ejemplo

La categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre los números enteros tiene idempotentes divididos, y cada módulo es isomorfo a una suma directa finita de copias del módulo regular, el número viene dado por el rango . Por tanto, la categoría tiene una descomposición única en indescomponibles, pero no es Krull-Schmidt ya que el módulo regular no tiene un anillo de endomorfismo local.

Ver también

• Carcaj
• sobre karoubi

Notas

1. Este es el caso clásico, véase, por ejemplo, Krause (2012), Corolario 3.3.3.
2. R -álgebra finita es una R -álgebra que se genera de forma finita como un R -módulo.
3. Reiner (2003), Sección 6, Ejercicios 5 y 6, p. 88.
4. Atiyah (1956), Teorema 2.

Referencias

• Michael Atiyah (1956) Sobre el teorema de Krull-Schmidt aplicado a las gavillas Bull. Soc. Matemáticas. Francia 84, 307–317.
• Henning Krause, Categorías Krull-Remak-Schmidt y cubiertas proyectivas, mayo de 2012.
• Irving Reiner (2003) Órdenes máximas. Reimpresión corregida del original de 1975. Con prólogo de MJ Taylor. Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN  0-19-852673-3 .
• Claus Michael Ringel (1984) Álgebras domesticadas y formas cuadráticas integrales , Lecture Notes in Mathematics 1099 , Springer-Verlag, 1984.