Cobertura proyectiva

En la rama de las matemáticas abstractas llamada teoría de categorías , una cubierta proyectiva de un objeto X es en cierto sentido la mejor aproximación de X por un objeto proyectivo P. Las cubiertas proyectivas son el dual de las envolturas inyectivas .

Definición

Sea una categoría y X un objeto en . Una cubierta proyectiva es un par ( P , p ), con P un objeto proyectivo en y p un epimorfismo superfluo en Hom( P , X ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Si R es un anillo, entonces en la categoría de R -módulos, un epimorfismo superfluo es entonces un epimorfismo tal que el núcleo de p es un submódulo superfluo de P. ${\displaystyle p:P\to X}$

Propiedades

Las cubiertas proyectivas y sus epimorfismos superfluos, cuando existen, son únicos hasta el isomorfismo . Sin embargo, el isomorfismo no necesita ser único, ya que la propiedad proyectiva no es una propiedad universal completa .

El efecto principal de que p tenga un núcleo superfluo es el siguiente: si N es cualquier submódulo propio de P , entonces . ^[1] Hablando informalmente, esto muestra que el núcleo superfluo hace que P cubra a M de manera óptima, es decir, ningún submódulo de P sería suficiente. Esto no depende de la proyectividad de P : es cierto para todos los epimorfismos superfluos. ${\displaystyle p(N)\neq M}$

Si ( P , p ) es una cubierta proyectiva de M , y P' es otro módulo proyectivo con un epimorfismo , entonces hay un epimorfismo dividido α de P' a P tal que ${\displaystyle p':P'\rightarrow M}$ ${\displaystyle p\alpha =p'}$

A diferencia de las envolventes inyectivas y las cubiertas planas , que existen para cada módulo R izquierdo (derecho) independientemente del anillo R , los módulos R izquierdos (derechos) en general no tienen cubiertas proyectivas. Un anillo R se llama perfecto izquierdo (derecho) si cada módulo R izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ).

Un anillo se denomina semiperfecto si cada módulo R izquierdo (derecho) finitamente generado tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ). "Semiperfecto" es una propiedad simétrica izquierda-derecha.

Un anillo se llama elevación/rad si los idempotentes se elevan desde R / J hasta R , donde J es el radical de Jacobson de R . La propiedad de ser elevación/rad se puede caracterizar en términos de recubrimientos proyectivos: R es elevación/rad si y solo si los sumandos directos del módulo R R / J (como módulo derecho o izquierdo) tienen recubrimientos proyectivos. ^[2]

Ejemplos

En la categoría de módulos R :

• Si M ya es un módulo proyectivo, entonces la función identidad de M a M es un epimorfismo superfluo (su núcleo es cero). Por lo tanto, los módulos proyectivos siempre tienen coberturas proyectivas.
• Si J( R )=0, entonces un módulo M tiene una cobertura proyectiva si y sólo si M ya es proyectivo.
• En el caso de que un módulo M sea simple , entonces necesariamente es el vértice de su cubierta proyectiva, si existe.
• La envolvente inyectiva de un módulo siempre existe, sin embargo, sobre ciertos anillos los módulos pueden no tener cubiertas proyectivas. Por ejemplo, la función natural de Z sobre Z /2 Z no es una cubierta proyectiva del Z -módulo Z /2 Z (que de hecho no tiene cubierta proyectiva). La clase de anillos que proporciona a todos sus módulos rectos cubiertas proyectivas es la clase de anillos rectos perfectos .
• Cualquier R -módulo M tiene una cubierta plana , que es igual a la cubierta proyectiva si M tiene una cubierta proyectiva.

Véase también

• Resolución proyectiva

Referencias

1. Demostración: Sea N propio en P y supóngase que p ( N )= M . Como ker( p ) es superfluo, ker( p )+ N ≠ P . Elijamos x en P fuera de ker( p )+ N . Por la sobreyectividad de p , existe x' en N tal que p ( x' )= p ( x ),, de donde x − x' está en ker( p ). Pero entonces x está en ker( p )+ N , una contradicción.
2. Anderson y Fuller 1992, pág. 302.

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Anillos y categorías de módulos. Springer. ISBN 0-387-97845-3. Consultado el 27 de marzo de 2007 .
• Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, n° 191. Springer-Verlag
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Textos de posgrado en matemáticas, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0