Casco inyectivo

Noción en álgebra abstracta

En matemáticas , particularmente en álgebra , la envoltura inyectiva (o envolvente inyectiva ) de un módulo es tanto el módulo inyectivo más pequeño que lo contiene como su extensión esencial más grande . Las envolturas inyectivas se describieron por primera vez en (Eckmann y Schopf 1953).

Definición

Un módulo E se denomina envoltura inyectiva de un módulo M si E es una extensión esencial de M y E es inyectiva . En este caso, el anillo base es un anillo con unidad, aunque posiblemente no conmutativo.

Ejemplos

• Un módulo inyectivo es su propio casco inyectivo.
• La envoltura inyectiva de un dominio integral (como un módulo sobre sí mismo) es su campo de fracciones (Lam 1999, Ejemplo 3.35).
• La envoltura inyectiva de un grupo p cíclico (como módulo Z ) es un grupo Prüfer (Lam 1999, Ejemplo 3.36).
• La envoltura inyectiva de un grupo abeliano libre de torsión es el producto tensorial . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$
• La envoltura inyectiva de R /rad( R ) es Hom _k ( R , k ), donde R es un k - álgebra de dimensión finita con radical de Jacobson rad( R ) (Lam 1999, Ejemplo 3.41).
• Un módulo simple es necesariamente el zócalo de su envoltura inyectiva.
• La envoltura inyectiva del campo de residuos de un anillo de valoración discreto donde es . ^[1] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=x\cdot R}$ ${\displaystyle R_{x}/R}$
• En particular, la envoltura inyectiva de in es el módulo . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$

Propiedades

• La envoltura inyectiva de M es única hasta los isomorfismos que son la identidad en M , sin embargo, el isomorfismo no es necesariamente único. Esto se debe a que la propiedad de extensión de mapa de la envoltura inyectiva no es una propiedad universal completa . Debido a esta unicidad, la envoltura puede denotarse como E ( M ).
• La envoltura inyectiva E ( M ) es una extensión esencial máxima de M en el sentido de que si M ⊆ E ( M ) ⊊ B para un módulo B , entonces M no es un submódulo esencial de B .
• La envoltura inyectiva E ( M ) es un módulo inyectivo mínimo que contiene M en el sentido de que si M ⊆ B para un módulo inyectivo B , entonces E ( M ) es (isomorfo a) un submódulo de B .
• Si N es un submódulo esencial de M , entonces E ( N )= E ( M ).
• Cada módulo M tiene una envoltura inyectiva. Fleischer (1968) ofrece una construcción de la envoltura inyectiva en términos de homomorfismos Hom( I , M ), donde I pasa por los ideales de R .
• La noción dual de cobertura proyectiva no siempre existe para un módulo, sin embargo existe una cobertura plana para cada módulo.

Estructura de anillo

En algunos casos, para R un subanillo de un anillo autoinyectivo S , la envoltura inyectiva de R también tendrá una estructura de anillo. ^[2] Por ejemplo, tomando S como un anillo de matrices completo sobre un cuerpo, y tomando R como cualquier anillo que contenga cada matriz que sea cero en todas las columnas excepto la última, la envoltura inyectiva del R -módulo derecho R es S . Por ejemplo, uno puede tomar R como el anillo de todas las matrices triangulares superiores. Sin embargo, no siempre es el caso de que la envoltura inyectiva de un anillo tenga una estructura de anillo, como lo muestra un ejemplo en (Osofsky 1964).

Una gran clase de anillos que tienen estructuras de anillo en sus envolturas inyectivas son los anillos no singulares . ^[3] En particular, para un dominio integral , la envoltura inyectiva del anillo (considerada como un módulo sobre sí misma) es el cuerpo de fracciones . Las envolturas inyectivas de anillos no singulares proporcionan un análogo del anillo de cocientes para anillos no conmutativos, donde la ausencia de la condición Ore puede impedir la formación del anillo clásico de cocientes . Este tipo de "anillo de cocientes" (como se denominan a estos "cuerpos de fracciones" más generales) fue pionero en (Utumi 1956), y la conexión con las envolturas inyectivas fue reconocida en (Lambek 1963).

Dimensión uniforme y módulos inyectivos

Un módulo R M tiene dimensión uniforme finita (= rango finito ) n si y sólo si la envoltura inyectiva de M es una suma directa finita de n submódulos indecomponibles .

Generalización

De manera más general, sea C una categoría abeliana . Un objeto E es una envoltura inyectiva de un objeto M si M → E es una extensión esencial y E es un objeto inyectivo .

Si C es localmente pequeño , satisface el axioma de Grothendieck AB5 y tiene suficientes inyectivos , entonces cada objeto en C tiene una envoltura inyectiva (estas tres condiciones se satisfacen por la categoría de módulos sobre un anillo). ^[4] Cada objeto en una categoría de Grothendieck tiene una envoltura inyectiva.

Véase también

• Cubierta plana , el concepto dual de las cubiertas inyectivas.
• Envolvente racional : es el análogo de la envolvente inyectiva cuando se considera una extensión racional máxima .

Notas

1. Walther, Uli. "Módulos inyectivos" (PDF) . pág. 11.
2. Lam 1999, págs. 78–80.
3. Lam 1999, pág. 366.
4. Sección III.2 de (Mitchell 1965)

Referencias

• Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi :10.1007/BF01899665, ISSN  0003-9268, SEÑOR  0055978
• Fleischer, Isidore (1968), "Una nueva construcción de la envoltura inyectiva", Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 19–21, doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR  0229680
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Lambek, Joachim (1963), "Sobre el anillo de cocientes de Utumi", Revista Canadiense de Matemáticas , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X, MR  0147509
• Matlis, Eben (1958), "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730, MR  0099360
• Matsumura, H. Teoría de anillos conmutativos , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas volumen 8.
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4.Sr .  0202787.
• Osofsky, BL (1964), "Sobre las propiedades de anillo de las envolturas inyectivas", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN  0008-4395, MR  0166227
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN  0030-6126, MR  0078966

Enlaces externos

• casco inyectivo (artículo de PlanetMath)
• Página de PlanetMath sobre módulos de rango finito