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Casco inyectivo

En matemáticas , particularmente en álgebra , la envoltura inyectiva (o envolvente inyectiva ) de un módulo es tanto el módulo inyectivo más pequeño que lo contiene como su extensión esencial más grande . Las envolturas inyectivas se describieron por primera vez en (Eckmann y Schopf 1953).

Definición

Un módulo E se denomina envoltura inyectiva de un módulo M si E es una extensión esencial de M y E es inyectiva . En este caso, el anillo base es un anillo con unidad, aunque posiblemente no conmutativo.

Ejemplos

Propiedades

Estructura de anillo

En algunos casos, para R un subanillo de un anillo autoinyectivo S , la envoltura inyectiva de R también tendrá una estructura de anillo. [2] Por ejemplo, tomando S como un anillo de matrices completo sobre un cuerpo, y tomando R como cualquier anillo que contenga cada matriz que sea cero en todas las columnas excepto la última, la envoltura inyectiva del R -módulo derecho R es S . Por ejemplo, uno puede tomar R como el anillo de todas las matrices triangulares superiores. Sin embargo, no siempre es el caso de que la envoltura inyectiva de un anillo tenga una estructura de anillo, como lo muestra un ejemplo en (Osofsky 1964).

Una gran clase de anillos que tienen estructuras de anillo en sus envolturas inyectivas son los anillos no singulares . [3] En particular, para un dominio integral , la envoltura inyectiva del anillo (considerada como un módulo sobre sí misma) es el cuerpo de fracciones . Las envolturas inyectivas de anillos no singulares proporcionan un análogo del anillo de cocientes para anillos no conmutativos, donde la ausencia de la condición Ore puede impedir la formación del anillo clásico de cocientes . Este tipo de "anillo de cocientes" (como se denominan a estos "cuerpos de fracciones" más generales) fue pionero en (Utumi 1956), y la conexión con las envolturas inyectivas fue reconocida en (Lambek 1963).

Dimensión uniforme y módulos inyectivos

Un módulo R M tiene dimensión uniforme finita (= rango finito ) n si y sólo si la envoltura inyectiva de M es una suma directa finita de n submódulos indecomponibles .

Generalización

De manera más general, sea C una categoría abeliana . Un objeto E es una envoltura inyectiva de un objeto M si ME es una extensión esencial y E es un objeto inyectivo .

Si C es localmente pequeño , satisface el axioma de Grothendieck AB5 y tiene suficientes inyectivos , entonces cada objeto en C tiene una envoltura inyectiva (estas tres condiciones se satisfacen por la categoría de módulos sobre un anillo). [4] Cada objeto en una categoría de Grothendieck tiene una envoltura inyectiva.

Véase también

Notas

  1. ^ Walther, Uli. "Módulos inyectivos" (PDF) . pág. 11.
  2. ^ Lam 1999, págs. 78–80.
  3. ^ Lam 1999, pág. 366.
  4. ^ Sección III.2 de (Mitchell 1965)

Referencias

Enlaces externos