En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , el p -grupo de Prüfer o el p -grupo cuasicíclico o p ∞ -grupo, Z ( p ∞ ), para un número primo p es el único p -grupo en el que cada elemento tiene p diferente p -ésimas raíces.
Los p -grupos de Prüfer son grupos abelianos contables que son importantes en la clasificación de infinitos grupos abelianos: ellos (junto con el grupo de números racionales ) forman los componentes básicos más pequeños de todos los grupos divisibles .
Los grupos llevan el nombre de Heinz Prüfer , un matemático alemán de principios del siglo XX.
El grupo p de Prüfer se puede identificar con el subgrupo del grupo circular , U(1), que consta de todas las p n -ésimas raíces de la unidad como n abarca todos los números enteros no negativos:
La operación de grupo aquí es la multiplicación de números complejos .
hay una presentacion
Aquí, la operación de grupo en Z ( p ∞ ) se escribe como multiplicación.
Alternativa y equivalente, el grupo p de Prüfer puede definirse como el subgrupo p de Sylow del grupo cociente Q / Z , que consta de aquellos elementos cuyo orden es una potencia de p :
(donde Z [1/ p ] denota el grupo de todos los números racionales cuyo denominador es una potencia de p , utilizando la suma de números racionales como operación de grupo).
Para cada número natural n , considere el grupo cociente Z / p n Z y la incrustación Z / p n Z → Z / p n +1 Z inducida por la multiplicación por p . El límite directo de este sistema es Z ( p ∞ ):
Si realizamos el límite directo en la categoría de grupos topológicos, entonces debemos imponer una topología a cada uno de ellos y tomar la topología final de . Si deseamos ser Hausdorff , debemos imponer la topología discreta en cada uno de los , lo que resulta en tener la topología discreta.
También podemos escribir
donde Q p denota el grupo aditivo de p -números ádicos y Z p es el subgrupo de p -números enteros ádicos.
La lista completa de subgrupos del grupo p de Prüfer Z ( p ∞ ) = Z [1/ p ]/ Z es:
Aquí, cada uno es un subgrupo cíclico de Z ( p ∞ ) con p n elementos; contiene precisamente aquellos elementos de Z ( p ∞ ) cuyo orden divide a p n y corresponde al conjunto de p n -ésimas raíces de la unidad.
Los p -grupos de Prüfer son los únicos grupos infinitos cuyos subgrupos están totalmente ordenados por inclusión. Esta secuencia de inclusiones expresa el grupo p de Prüfer como el límite directo de sus subgrupos finitos. Como no existe un subgrupo máximo de un p -grupo de Prüfer, es su propio subgrupo de Frattini .
Dada esta lista de subgrupos, está claro que los p -grupos de Prüfer son indescomponibles (no se pueden escribir como una suma directa de subgrupos propios). Más es cierto: los grupos p de Prüfer son subdirectamente irreducibles . Un grupo abeliano es subdirectamente irreducible si y sólo si es isomorfo a un grupo p cíclico finito o a un grupo de Prüfer.
El grupo p de Prüfer es el único grupo p infinito que es localmente cíclico (cada conjunto finito de elementos genera un grupo cíclico). Como se vio arriba, todos los subgrupos propios de Z ( p ∞ ) son finitos. Los p -grupos de Prüfer son los únicos grupos abelianos infinitos con esta propiedad. [1]
Los grupos p de Prüfer son divisibles . Desempeñan un papel importante en la clasificación de grupos divisibles; junto con los números racionales son los grupos divisibles más simples. Más precisamente: un grupo abeliano es divisible si y sólo si es la suma directa de un número (posiblemente infinito) de copias de Q y un número (posiblemente infinito) de copias de Z ( p ∞ ) para cada primo p . Los números ( cardinales ) de copias de Q y Z ( p ∞ ) que se utilizan en esta suma directa determinan el grupo divisible hasta el isomorfismo. [2]
Como grupo abeliano (es decir, como módulo Z ), Z ( p ∞ ) es artiniano pero no noetheriano . [3] Por lo tanto, puede usarse como un contraejemplo contra la idea de que cada módulo artiniano es noetheriano (mientras que cada anillo artiniano es noetheriano).
El anillo de endomorfismo de Z ( p ∞ ) es isomorfo al anillo de p -enteros ádicos Z p . [4]
En la teoría de grupos topológicos localmente compactos, el grupo p de Prüfer (dotado de la topología discreta ) es el dual de Pontryagin del grupo compacto de enteros p -ádicos , y el grupo de enteros p -ádicos es el dual de Pontryagin del p de Prüfer -grupo. [5]