Serie de subgrupos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , una serie de subgrupos de un grupo es una cadena de subgrupos : ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

donde es el subgrupo trivial . Las series de subgrupos pueden simplificar el estudio de un grupo al estudio de subgrupos más simples y sus relaciones, y varias series de subgrupos pueden definirse de manera invariante y son invariantes importantes de los grupos. Una serie de subgrupos se utiliza en el método de subgrupos . ${\displaystyle 1}$

Las series de subgrupos son un ejemplo especial del uso de filtraciones en álgebra abstracta .

Definición

Serie normal, serie subnormal.

Una serie subnormal (también serie normal , serie normal en torre , serie subinvariante o simplemente serie ) de un grupo G es una secuencia de subgrupos , cada uno de los cuales es un subgrupo normal del siguiente. En una notación estándar

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

No se exige que A _i sea un subgrupo normal de G , solo un subgrupo normal de A _{i  +1} . Los grupos cocientes A _{i  +1} / A _i se denominan grupos factoriales de la serie.

Si además cada A _i es normal en G , entonces la serie se llama serie normal , cuando este término no se usa en el sentido más débil, o serie invariante .

Longitud

Una serie con la propiedad adicional de que A _i ≠ A _{i  +1} para todo i se llama serie sin repetición ; equivalentemente, cada A _i es un subgrupo propio de A _{i  +1} . La longitud de una serie es el número de inclusiones estrictas A _i < A _{i  +1} . Si la serie no tiene repetición, entonces la longitud es n .

Para una serie subnormal, la longitud es el número de grupos de factores no triviales . Cada grupo no trivial tiene una serie normal de longitud 1, es decir , y cualquier subgrupo normal propio no trivial da una serie normal de longitud 2. Para grupos simples , la serie trivial de longitud 1 es la serie subnormal más larga posible. ${\displaystyle 1\triangleleft G}$

Serie ascendente, serie descendente

Las series se pueden anotar en orden ascendente:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

o orden descendente:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

Para una serie finita dada, no hay distinción entre una "serie ascendente" o una "serie descendente" más allá de la notación. Sin embargo, para las series infinitas , hay una distinción: la serie ascendente

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

tiene un término más pequeño, un segundo término más pequeño, y así sucesivamente, pero ningún término propio más grande, ningún segundo término más grande, y así sucesivamente, mientras que a la inversa la serie descendente

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

tiene un término más grande, pero no un término propio más pequeño.

Además, dada una fórmula recursiva para producir una serie, los términos producidos son ascendentes o descendentes, y se denomina a la serie resultante una serie ascendente o descendente, respectivamente. Por ejemplo, la serie derivada y la serie central inferior son series descendentes, mientras que la serie central superior es una serie ascendente.

Grupos noetherianos, grupos artinianos

Un grupo que satisface la condición de cadena ascendente (ACC) en subgrupos se llama grupo noetheriano , y un grupo que satisface la condición de cadena descendente (DCC) se llama grupo artiniano (que no debe confundirse con los grupos de Artin ), por analogía con los anillos noetherianos y los anillos artinianos . El ACC es equivalente a la condición máxima : cada colección no vacía de subgrupos tiene un miembro máximo, y el DCC es equivalente a la condición mínima análoga .

Un grupo puede ser noetheriano pero no artiniano, como el grupo cíclico infinito y, a diferencia de los anillos , un grupo puede ser artiniano pero no noetheriano, como el grupo de Prüfer . Todo grupo finito es claramente noetheriano y artiniano.

Las imágenes homomórficas y los subgrupos de grupos noetherianos son noetherianos, y una extensión de un grupo noetheriano por un grupo noetheriano es noetheriana. Se obtienen resultados análogos para los grupos artinianos.

Los grupos noetherianos son equivalentemente aquellos en los que cada subgrupo se genera finitamente , lo que es más fuerte que el hecho de que el grupo mismo se genere finitamente: el grupo libre en 2 o un número finito más de generadores se genera finitamente, pero contiene grupos libres de rango infinito.

Los grupos noetherianos no necesitan ser extensiones finitas de grupos policíclicos . ^[1]

Series infinitas y transfinitas

Las series de subgrupos infinitos también pueden definirse y surgir de forma natural, en cuyo caso el conjunto de indexación específico ( totalmente ordenado ) se vuelve importante, y existe una distinción entre series ascendentes y descendentes. Una serie ascendente donde los están indexados por los números naturales puede simplemente llamarse una serie ascendente infinita , y a la inversa para una serie descendente infinita . Si los subgrupos están indexados de forma más general por números ordinales , se obtiene una serie transfinita , ^[2] como esta serie ascendente: ${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

Dada una fórmula recursiva para producir una serie, se puede definir una serie transfinita por recursión transfinita definiendo la serie en los ordinales límite por (para series ascendentes) o (para series descendentes). Ejemplos fundamentales de esta construcción son la serie central inferior transfinita y la serie central superior . ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$

Otros conjuntos totalmente ordenados surgen raramente, si es que alguna vez lo hacen, como conjuntos de indexación de series de subgrupos. ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, se pueden definir, pero rara vez se ven series de subgrupos bi-infinitas de origen natural (series indexadas por los números enteros ):

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

Comparación de series

Un refinamiento de una serie es otra serie que contiene cada uno de los términos de la serie original. Se dice que dos series subnormales son equivalentes o isomorfas si existe una biyección entre los conjuntos de sus grupos factoriales de modo que los grupos factoriales correspondientes sean isomorfos . El refinamiento da un orden parcial a las series, hasta la equivalencia, y forman una red , mientras que las series subnormales y las series normales forman subredes. La existencia del supremo de dos series subnormales es el teorema de refinamiento de Schreier . De particular interés son las series maximalistas sin repetición.

Ejemplos

Serie máxima

• Una serie de composición es una serie subnormal máxima .

De manera equivalente, una serie subnormal para la cual cada uno de los A _i es un subgrupo normal máximo de A _{i  +1} . De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal para la cual cada uno de los grupos de factores son simples .

• Una serie principal es una serie normal máxima .

Resoluble y nilpotente

• Un grupo resoluble , o grupo soluble, es aquel con una serie subnormal cuyos grupos factoriales son todos abelianos .
• Una serie nilpotente es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son nilpotentes .

Una serie nilpotente existe si y sólo si el grupo es resoluble .

• Una serie central es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son centrales , es decir, dada la serie anterior, para . ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$

Existe una serie central si y sólo si el grupo es nilpotente .

Serie funcional

Algunas series de subgrupos se definen funcionalmente , en términos de subgrupos como el centro y operaciones como el conmutador. Entre ellas se incluyen:

• Serie central inferior
• Serie central superior
• Serie derivada
• Serie de montaje inferior
• Serie de montaje superior

pag-serie

Existen series que provienen de subgrupos de orden de potencia prima o de índice de potencia prima, relacionados con ideas como los subgrupos de Sylow .

• Serie p inferior
• Serie p superior

Referencias

1. Ol'shanskii, A. Yu. (1979). "Grupos infinitos con subgrupos cíclicos". Matemáticas soviéticas. Dokl . 20 : 343–346.(Traducción al inglés de Dokl. Akad. Nauk SSSR , 245 , 785–787)
2. Sharipov, RA (2009). "Series transfinitas normales y de composición de grupos". arXiv : 0908.2257 [math.GR].