En matemáticas , específicamente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , la longitud de Fitting (o longitud nilpotente ) mide qué tan lejos está un grupo resoluble de ser nilpotente . El concepto recibe su nombre de Hans Fitting , debido a sus investigaciones sobre subgrupos normales nilpotentes .
Una cadena de ajuste (o serie de ajuste oSerie nilpotente ) para ungrupoes unaserie subnormalconcocientesnilpotentes . En otras palabras, una secuencia finita desubgruposque incluye tanto al grupo completo como al grupo trivial, de manera que cada uno es unsubgrupo normaldel anterior, y de manera que los cocientes de los términos sucesivos son grupos nilpotentes.
La longitud de ajuste o longitud nilpotente de un grupo se define como la longitud más pequeña posible de una cadena de ajuste, si existe.
Así como las series centrales superiores y las series centrales inferiores son extremales entre las series centrales , existen series análogas extremales entre las series nilpotentes.
Para un grupo finito H , el subgrupo de ajuste Fit ( H ) es el subgrupo nilpotente normal máximo, mientras que el subgrupo normal mínimo tal que el cociente por él es nilpotente es γ ∞ ( H ), la intersección de la serie central inferior (finita) , que se llama residuo nilpotente . Estos corresponden al centro y al subgrupo conmutador (para las series centrales superior e inferior, respectivamente). Estos no se cumplen para grupos infinitos, por lo que para la secuela, suponga que todos los grupos son finitos.
La serie de ajuste superior de un grupo finito es la secuencia de subgrupos característicos Fit n ( G ) definidos por Fit 0 ( G ) = 1, y Fit n +1 ( G )/ Fit n ( G ) = Fit (G/ Fit n ( G )). Es una serie nilpotente ascendente, que en cada paso toma el máximo subgrupo posible.
La serie de ajuste inferior de un grupo finito G es la secuencia de subgrupos característicos F n ( G ) definidos por F 0 ( G ) = G , y F n +1 ( G ) = γ ∞ ( F n ( G )). Es una serie nilpotente descendente, que en cada paso toma el subgrupo mínimo posible.
Se puede encontrar más información en (Huppert 1967, Kap. III, §4).
Qué hacen las series centrales para los grupos nilpotentes y qué hacen las series de ajuste para los grupos resolubles. Un grupo tiene una serie central si y solo si es nilpotente y una serie de ajuste si y solo si es resoluble.
Dado un grupo resoluble, la serie de Fitting inferior es una división "más gruesa" que la serie central inferior: la serie de Fitting inferior da una serie para todo el grupo, mientras que la serie central inferior desciende sólo desde todo el grupo hasta el primer término de la serie de Fitting.
La serie de ajuste inferior procede:
mientras que la serie central inferior subdivide el primer paso,
y es una elevación de la serie central inferior para el primer cociente F 0 / F 1 , que es nilpotente.
Procediendo de esta manera (levantando la serie central inferior para cada cociente de la serie de ajuste) se obtiene una serie subnormal:
como las divisiones gruesas y finas de una regla .
Los cocientes sucesivos son abelianos, mostrando la equivalencia entre ser resoluble y tener una serie de ajuste.