En álgebra abstracta , una serie principal es una serie normal máxima para un grupo .
Es similar a una serie de composición , aunque los dos conceptos son distintos en general: una serie principal es una serie normal máxima , mientras que una serie de composición es una serie subnormal máxima .
Se puede pensar que la serie principal divide al grupo en partes menos complicadas, que pueden usarse para caracterizar diversas cualidades del grupo.
Una serie principal es una serie normal máxima para un grupo. De manera equivalente, una serie principal es una serie de composición del grupo G bajo la acción de automorfismos internos .
En detalle, si G es un grupo , entonces una serie principal de G es una colección finita de subgrupos normales N i ⊆ G ,
de modo que cada grupo cociente N i +1 / N i , para i = 1, 2,..., n − 1, es un subgrupo normal mínimo de G / N i . De modo equivalente, no existe ningún subgrupo A normal en G tal que N i < A < N i +1 para cualquier i . En otras palabras, una serie principal puede considerarse "completa" en el sentido de que no se le puede añadir ningún subgrupo normal de G.
Los grupos de factores N i +1 / N i en una serie principal se denominan factores principales de la serie. A diferencia de los factores de composición , los factores principales no son necesariamente simples . Es decir, puede existir un subgrupo A normal en N i +1 con N i < A < N i +1 , pero A no es normal en G. Sin embargo, los factores principales son siempre característicamente simples , es decir, no tienen subgrupos característicos no triviales propios . En particular, un factor principal finito es un producto directo de grupos simples isomorfos.
Los grupos finitos siempre tienen una serie principal, aunque los grupos infinitos no necesitan tener una serie principal. Por ejemplo, el grupo de números enteros Z con la adición como operación no tiene una serie principal. Para ver esto, note que Z es cíclico y abeliano , y por lo tanto todos sus subgrupos son normales y cíclicos también. Suponer que existe una serie principal N i conduce a una contradicción inmediata: N 1 es cíclico y por lo tanto es generado por algún número entero a , sin embargo, el subgrupo generado por 2 a es un subgrupo normal no trivial contenido correctamente en N 1 , contradiciendo la definición de una serie principal.
Cuando existe una serie principal para un grupo, generalmente no es única. Sin embargo, una forma del teorema de Jordan-Hölder establece que los factores principales de un grupo son únicos hasta el isomorfismo, independientemente de la serie principal particular a partir de la cual se construyen [1]. En particular, el número de factores principales es un invariante del grupo G , así como las clases de isomorfismo de los factores principales y sus multiplicidades.
En los grupos abelianos, las series principales y las series de composición son idénticas, ya que todos los subgrupos son normales.
Dado cualquier subgrupo normal N ⊆ G , siempre se puede encontrar una serie principal en la que N es uno de los elementos (suponiendo que exista una serie principal para G en primer lugar). Además, si G tiene una serie principal y N es normal en G , entonces tanto N como G / N tienen serie principal. La inversa también se cumple: si N es normal en G y tanto N como G / N tienen serie principal, G también tiene una serie principal.
