Subgrupo conmutador

Subgrupo normal más pequeño por el cual el cociente es conmutativo

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo. ^{[1] [2]}

El subgrupo conmutador es importante porque es el subgrupo normal más pequeño tal que el grupo cociente del grupo original por este subgrupo es abeliano . En otras palabras, es abeliano si y solo si contiene el subgrupo conmutador de . Por lo tanto, en cierto sentido proporciona una medida de qué tan lejos está el grupo de ser abeliano; cuanto mayor sea el subgrupo conmutador, "menos abeliano" es el grupo. ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Conmutadores

Para los elementos y de un grupo G , el conmutador de y es . El conmutador es igual al elemento identidad e si y solo si , es decir, si y solo si y conmutan. En general, . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [g,h]}$ ${\displaystyle gh=hg}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

Sin embargo, la notación es algo arbitraria y existe una definición variante no equivalente para el conmutador que tiene las inversas en el lado derecho de la ecuación: en cuyo caso pero en lugar de . ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$ ${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

Un elemento de G de la forma para algún g y h se llama conmutador. El elemento identidad e = [ e , e ] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y sólo si G es abeliano. ${\displaystyle [g,h]}$

A continuación se presentan algunas identidades de conmutador simples pero útiles, verdaderas para cualquier elemento s , g , h de un grupo G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$donde (o, respectivamente, ) es el conjugado de por ${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$ ${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s,}$
• para cualquier homomorfismo , ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

La primera y la segunda identidad implican que el conjunto de conmutadores en G es cerrado bajo inversión y conjugación. Si en la tercera identidad tomamos H = G , obtenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorfismo de G . Esto es de hecho una generalización de la segunda identidad, ya que podemos tomar f como el automorfismo de conjugación en G , , para obtener la segunda identidad. ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no tiene por qué ser necesariamente un conmutador. Un ejemplo genérico es [ a , b ][ c , d ] en el grupo libre en a , b , c , d . Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el que existen dos conmutadores cuyo producto no es un conmutador es 96; de hecho, hay dos grupos no isomorfos de orden 96 con esta propiedad. ^[3]

Definición

Esto motiva la definición del subgrupo de conmutadores (también llamado subgrupo derivado y denotado o ) de G : es el subgrupo generado por todos los conmutadores. ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G^{(1)}}$

De esta definición se desprende que cualquier elemento de es de la forma ${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

para algún número natural , donde g _i y h _i son elementos de G . Además, dado que , el subgrupo conmutador es normal en G . Para cualquier homomorfismo f : G → H , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

de modo que . ${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$

Esto demuestra que el subgrupo conmutador puede ser visto como un funtor en la categoría de grupos , algunas de cuyas implicaciones se exploran a continuación. Además, tomando G = H muestra que el subgrupo conmutador es estable bajo cada endomorfismo de G : es decir, [ G , G ] es un subgrupo completamente característico de G , una propiedad considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo conmutador también se puede definir como el conjunto de elementos g del grupo que tienen como expresión un producto g = g ₁ g ₂ ... g _k que puede reorganizarse para dar la identidad.

Serie derivada

Esta construcción se puede iterar:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

Los grupos se denominan segundo subgrupo derivado , tercer subgrupo derivado , y así sucesivamente, y la serie normal descendente. ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

se denomina serie derivada . No debe confundirse con la serie central inferior , cuyos términos son . ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto , que puede ser trivial o no. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y se puede continuar hasta números ordinales infinitos mediante recursión transfinita , obteniendo así la serie derivada transfinita , que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Abelianización

Dado un grupo , un grupo cociente es abeliano si y sólo si . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle [G,G]\subseteq N}$

El cociente es un grupo abeliano llamado abelianización de o hecho abeliano . ^[4] Generalmente se denota por o . ${\displaystyle G/[G,G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

Existe una interpretación categórica útil del mapa . Es decir, es universal para homomorfismos de a un grupo abeliano : para cualquier grupo abeliano y homomorfismo de grupos existe un homomorfismo único tal que . Como es habitual para objetos definidos por propiedades de aplicación universal, esto muestra la unicidad de la abelianización hasta el isomorfismo canónico, mientras que la construcción explícita muestra su existencia. ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$ ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

El funtor de abelianización es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos. La existencia del funtor de abelianización Grp → Ab convierte a la categoría Ab en una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos, definida como una subcategoría completa cuyo funtor de inclusión tiene un adjunto izquierdo.

Otra interpretación importante de es como , el primer grupo de homología de con coeficientes integrales. ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$

Clases de grupos

Un grupo es un grupo abeliano si y solo si el grupo derivado es trivial: [ G , G ] = { e }. De manera equivalente, si y solo si el grupo es igual a su abelianización. Véase más arriba la definición de abelianización de un grupo. ${\displaystyle G}$

Un grupo es un grupo perfecto si y solo si el grupo derivado es igual al grupo mismo: [ G , G ] = G . De manera equivalente, si y solo si la abelianización del grupo es trivial. Esto es "opuesto" a abeliano. ${\displaystyle G}$

Un grupo con para algún n en N se llama grupo resoluble ; esto es más débil que el abeliano, que es el caso n = 1. ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

Un grupo con para todo n en N se llama grupo no resoluble . ${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

Un grupo con para algún número ordinal , posiblemente infinito, se llama grupo hipoabeliano ; este es más débil que resoluble, que es el caso en que α es finito (un número natural). ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

Grupo perfecto

Siempre que un grupo tenga un subgrupo derivado igual a sí mismo, , se denomina grupo perfecto . Esto incluye los grupos simples no abelianos y los grupos lineales especiales para un cuerpo fijo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{(1)}=G}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

• El subgrupo conmutador de cualquier grupo abeliano es trivial .
• El subgrupo conmutador del grupo lineal general sobre un cuerpo o un anillo de división k es igual al grupo lineal especial siempre que o k no sea el cuerpo con dos elementos . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n\neq 2}$
• El subgrupo conmutador del grupo alterno A4 es el grupo _de Klein cuatro .
• El subgrupo conmutador del grupo simétrico S _n es el grupo alterno A _n .
• El subgrupo conmutador del grupo de cuaterniones Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } es [ Q , Q ] = {1, −1}.

Mapa desde fuera

Como el subgrupo derivado es característico , cualquier automorfismo de G induce un automorfismo de la abelianización. Como la abelianización es abeliana, los automorfismos internos actúan de manera trivial, por lo que esto produce una función

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

Véase también

• Grupo solucionable
• Grupo nilpotente
• La abelianización H / H ' de un subgrupo H  <  G de índice finito ( G : H ) es el objetivo de la transferencia de Artin  T ( G , H ).

Notas

1. Dummit y Foote (2004)
2. Lango (2002)
3. Suárez-Álvarez
4. Fraleigh (1976, pág. 108)
5. Suprunenko, DA (1976), Grupos de matrices , Traducciones de monografías matemáticas, American Mathematical Society, Teorema II.9.4

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , Springer , ISBN 0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. "Subgrupos derivados y conmutadores".

Enlaces externos

• "Subgrupo conmutador", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]