Subgrupo característico

Subgroup mapped to itself under every automorphism of the parent group

En matemáticas , particularmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , un subgrupo característico es un subgrupo que se mapea a sí mismo por cada automorfismo del grupo padre . ^{[1] [2]} Debido a que cada mapa de conjugación es un automorfismo interno , cada subgrupo característico es normal ; aunque no se garantiza lo inverso. Los ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo conmutador y el centro de un grupo .

Definición

Un subgrupo H de un grupo G se denomina subgrupo característico si para cada automorfismo φ de G , se tiene φ( H ) ≤ H ; entonces se escribe H char G .

Sería equivalente requerir la condición más fuerte φ( H ) = H para cada automorfismo φ de G , porque φ ⁻¹ ( H ) ≤ H implica la inclusión inversa H ≤ φ( H ) .

Propiedades básicas

Dado H char G , cada automorfismo de G induce un automorfismo del grupo cociente G/H , que produce un homomorfismo Aut( G ) → Aut( G / H ) .

Si G tiene un subgrupo único H de un índice dado, entonces H es característico en G.

Conceptos relacionados

Subgrupo normal

Un subgrupo de H que es invariante bajo todos los automorfismos internos se llama normal ; también, un subgrupo invariante.

∀φ ∈ Inn( GRAMO )： φ[ H ] ≤ H

Dado que Inn( G ) ⊆ Aut( G ) y un subgrupo característico es invariante ante todos los automorfismos, todo subgrupo característico es normal. Sin embargo, no todo subgrupo normal es característico. A continuación se ofrecen varios ejemplos:

• Sea H un grupo no trivial y sea G el producto directo , H × H . Entonces, los subgrupos, {1} × H y H × {1} , son ambos normales, pero ninguno es característico. En particular, ninguno de estos subgrupos es invariante bajo el automorfismo, ( x , y ) → ( y , x ) , que intercambia los dos factores.
• Para un ejemplo concreto de esto, sea V el cuatrigrupo de Klein (que es isomorfo al producto directo, ). Como este grupo es abeliano , cada subgrupo es normal; pero cada permutación de los 3 elementos no identidad es un automorfismo de V , por lo que los 3 subgrupos de orden 2 no son característicos. Aquí V = { e , a , b , ab } . Consideremos H = { e , a } y consideremos el automorfismo, T( e ) = e , T( a ) = b , T( b ) = a , T( ab ) = ab ; entonces T( H ) no está contenido en H . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$
• En el grupo de cuaterniones de orden 8, cada uno de los subgrupos cíclicos de orden 4 es normal, pero ninguno de ellos es característico. Sin embargo, el subgrupo {1, −1} es característico, ya que es el único subgrupo de orden 2.
• Si n es par, el grupo diedro de orden 2 n tiene 3 subgrupos de índice 2, todos ellos normales. Uno de ellos es el subgrupo cíclico, que es característico. Los otros dos subgrupos son diedros; estos están permutados por un automorfismo externo del grupo original y, por lo tanto, no son característicos.

Subgrupo estrictamente característico

Asubgrupo estrictamente característico , o unsubgrupo distinguido , que es invariante bajoendomorfismossobreyectivos . Paragrupos finitos, la sobreyectividad de un endomorfismo implica inyectividad, por lo que un endomorfismo sobreyectivo es un automorfismo; por lo tanto, serestrictamente característicoes equivalente acaracterístico. Este ya no es el caso para los grupos infinitos.

Subgrupo completamente característico

Para una restricción aún más fuerte, un subgrupo completamente característico (también, subgrupo completamente invariante ; cf. subgrupo invariante), H , de un grupo G , es un grupo que permanece invariante bajo cada endomorfismo de G ; es decir,

∀φ ∈ Fin( GRAMO )： φ[ H ] ≤ H .

Todo grupo se tiene a sí mismo (el subgrupo impropio) y al subgrupo trivial como dos de sus subgrupos completamente característicos. El subgrupo conmutador de un grupo es siempre un subgrupo completamente característico. ^{[3] [4]}

Todo endomorfismo de G induce un endomorfismo de G/H , que produce una función End( G ) → End( G / H ) .

Subgrupo verbal

Una restricción aún más fuerte es la del subgrupo verbal , que es la imagen de un subgrupo completamente invariante de un grupo libre bajo un homomorfismo. En términos más generales, cualquier subgrupo verbal es siempre completamente característico. Para cualquier grupo libre reducido y, en particular, para cualquier grupo libre , también se cumple la inversa: todo subgrupo completamente característico es verbal.

Transitividad

La propiedad de ser característico o completamente característico es transitiva ; si H es un subgrupo (completamente) característico de K , y K es un subgrupo (completamente) característico de G , entonces H es un subgrupo (completamente) característico de G .

H carácter K carácter G ⇒ H carácter G .

Además, si bien la normalidad no es transitiva, es cierto que cada subgrupo característico de un subgrupo normal es normal.

Carácter H K ⊲ G ⇒ H ⊲ G

De manera similar, si bien ser estrictamente característico (distinguido) no es transitivo, es cierto que todo subgrupo completamente característico de un subgrupo estrictamente característico es estrictamente característico.

Sin embargo, a diferencia de la normalidad, si H caracteriza a G y K es un subgrupo de G que contiene a H , entonces , en general, H no es necesariamente característico de K.

H carácter G , H < K < G ⇏ H carácter K

Contenciones

Todo subgrupo que es plenamente característico es ciertamente estrictamente característico y característico; pero un subgrupo característico o incluso estrictamente característico no necesita ser plenamente característico.

El centro de un grupo es siempre un subgrupo estrictamente característico, pero no siempre es completamente característico. Por ejemplo, el grupo finito de orden 12, Sym(3) × ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ , tiene un homomorfismo que toma ( π , y ) por ((1, 2) ^y , 0) , lo que lleva al centro, , a un subgrupo de Sym(3) × 1 , que se encuentra con el centro solo en la identidad. ${\displaystyle 1\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

La relación entre estas propiedades de subgrupos se puede expresar como:

Subgrupo ⇐ Subgrupo normal ⇐ Subgrupo característico ⇐ Subgrupo estrictamente característico ⇐ Subgrupo completamente característico ⇐ Subgrupo verbal

Ejemplos

Ejemplo finito

Considérese el grupo G = S ₃ × ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ (el grupo de orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de orden 6 y un grupo cíclico de orden 2). El centro de G es isomorfo a su segundo factor . Nótese que el primer factor, S ₃ , contiene subgrupos isomorfos a , por ejemplo {e, (12)} ; sea la proyección del morfismo sobre el subgrupo indicado. Entonces la composición de la proyección de G sobre su segundo factor , seguida de f , seguida de la inclusión de S ₃ en G como su primer factor, proporciona un endomorfismo de G bajo el cual la imagen del centro, , no está contenida en el centro, por lo que aquí el centro no es un subgrupo completamente característico de G . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Grupos cíclicos

Cada subgrupo de un grupo cíclico es característico.

Funciones de subgrupo

El subgrupo derivado (o subgrupo conmutador) de un grupo es un subgrupo verbal. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es un subgrupo completamente invariante.

Grupos topológicos

El componente identidad de un grupo topológico es siempre un subgrupo característico.

Véase también

• Grupo típicamente simple

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
3. Scott, WR (1987). Teoría de grupos . Dover. Págs. 45-46. ISBN. 0-486-65377-3.
4. Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004). Teoría de grupos combinatorios . Dover. Págs. 74-85. ISBN. 0-486-43830-9.