Anillo artiniano

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un anillo artiniano (a veces anillo de Artin ) es un anillo que satisface la condición de cadena descendente en ideales (unilaterales) ; es decir, no existe una secuencia descendente infinita de ideales. Los anillos artinianos reciben su nombre de Emil Artin , quien descubrió por primera vez que la condición de cadena descendente para ideales generaliza simultáneamente anillos finitos y anillos que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre cuerpos . La definición de anillos artinianos puede reformularse intercambiando la condición de cadena descendente con una noción equivalente: la condición mínima .

Precisamente, un anillo es artiniano izquierdo si satisface la condición de cadena descendente en ideales izquierdos, artiniano derecho si satisface la condición de cadena descendente en ideales derechos, y artiniano o artiniano de dos lados si es tanto artiniano izquierdo como derecho. ^[1] Para los anillos conmutativos las definiciones izquierda y derecha coinciden, pero en general son distintas entre sí.

El teorema de Wedderburn-Artin caracteriza cada anillo artiniano simple como un anillo de matrices sobre un anillo de división . Esto implica que un anillo simple es artiniano por la izquierda si y solo si es artiniano por la derecha.

La misma definición y terminología se puede aplicar a los módulos , reemplazando los ideales por submódulos .

Aunque la condición de cadena descendente parece dual a la condición de cadena ascendente , en los anillos es de hecho la condición más fuerte. Específicamente, una consecuencia del teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki es que un anillo artiniano izquierdo (o derecho) es automáticamente un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) . Esto no es cierto para los módulos generales; es decir, un módulo artiniano no necesita ser un módulo noetheriano .

Ejemplos y contraejemplos

• Un dominio integral es artiniano si y sólo si es un campo.
• Un anillo con un número finito de ideales, digamos izquierdos, es artiniano por izquierda. En particular, un anillo finito (por ejemplo, ) es artiniano por izquierda y derecha. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Sea k un cuerpo. Entonces es artiniano para todo entero positivo n . ${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$
• De manera similar, es un anillo artiniano con ideal máximo . ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• Sea un endomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces el subálgebra generado por es un anillo artiniano conmutativo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle x}$
• Si I es un ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind A , entonces es un anillo artiniano principal . ^[2] ${\displaystyle A/I}$
• Para cada , el anillo de matriz completo sobre un anillo artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo) R es artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo). ^[3] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$

Los dos siguientes son ejemplos de anillos no artinianos.

• Si R es un anillo cualquiera, entonces el anillo polinómico R [ x ] no es artiniano, ya que el ideal generado por está (correctamente) contenido en el ideal generado por para todos los números naturales n . Por el contrario, si R es noetheriano, entonces R [ x ] lo es según el teorema de la base de Hilbert . ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle x^{n}}$
• El anillo de números enteros es un anillo noetheriano pero no es artiniano. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Módulos sobre anillos artinianos

Sea M un módulo izquierdo sobre un anillo artiniano izquierdo. Entonces, los siguientes son equivalentes ( teorema de Hopkins ): (i) M es finitamente generado , (ii) M tiene longitud finita (es decir, tiene serie de composición ), (iii) M es noetheriano, (iv) M es artiniano. ^[4]

Anillos artinianos conmutativos

Sea A un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Entonces los siguientes son equivalentes.

• A es Artiniano.
• A es un producto finito de anillos locales artinianos conmutativos . ^[5]
• A / nil( A ) es un anillo semisimple , donde nil( A ) es el radical nil de A . ^{[ cita requerida ]}
• Todo módulo finitamente generado sobre A tiene longitud finita. (ver arriba)
• A tiene dimensión de Krull cero. ^[6] (En particular, el radical nil es el radical de Jacobson ya que los ideales primos son máximos).
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es finito y discreto.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es discreto. ^[7]

Sea k un cuerpo y A un álgebra k finitamente generada . Entonces A es artiniano si y solo si A es finitamente generado como k -módulo.

Un anillo local artiniano está completo. Un cociente y localización de un anillo artiniano es artiniano.

Anillo Artiniano Sencillo

Una versión del teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo artiniano simple A es un anillo de matrices sobre un anillo de división. De hecho, ^[8] sea I un ideal recto mínimo (distinto de cero) de A , que existe ya que A es artiniano (y el resto de la prueba no utiliza el hecho de que A es artiniano). Entonces, ya que es un ideal bilateral, ya que A es simple. Por lo tanto, podemos elegir de modo que . Supongamos que k es mínimo con respecto a esa propiedad. Consideremos la función de los módulos rectos de A : ${\displaystyle AI}$ ${\displaystyle AI=A}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

Es sobreyectiva . Si no es inyectiva , entonces, digamos, con distinto de cero . Entonces, por la minimalidad de I , tenemos: . Se sigue: ${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}A=I}$

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$,

lo que contradice la minimalidad de k . Por lo tanto, y por lo tanto . ${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$ ${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$

Véase también

• Álgebra de Artin
• Ideal artiniano
• Módulo serial
• Anillo semiperfecto
• Anillo de Gorenstein
• Anillo noetheriano

Citas

1. Brešar 2014, pág. 73
2. Clark, Teorema 20.11
3. Cohn 2003, 5.2 Ejercicio 11
4. Bourbaki 2012, VIII, pág. 7
5. Atiyah y Macdonald 1969, Teoremas 8.7
6. Atiyah y Macdonald 1969, Teoremas 8.5
7. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 8, Ejercicio 2
8. Milnor 1971, pág. 144

Referencias

• Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Teoría de la representación de las álgebras de Artin , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 36, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, Sr.  1314422
• Bourbaki, Nicolás (2012). Algébre. Capítulo 8, Módulos y anillos semisimples . Heidelberg: Springer-Verlag Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-35315-7.
• Charles Hopkins. Anillos con condición mínima para ideales de izquierda. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Cohn, Paul Moritz (2003). Álgebra básica: grupos, anillos y cuerpos . Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.
• Brešar, Matej (2014). Introducción al álgebra no conmutativa . Springer. ISBN 978-3-319-08692-7.
• Clark, Pete L. "Álgebra conmutativa" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2010.
• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría K algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005