En álgebra abstracta , un ideal artiniano , llamado así en honor a Emil Artin , se encuentra en la teoría de anillos , en particular, con anillos polinomiales .
Dado un anillo polinomial R = k [ X 1 , ... X n ] donde k es algún cuerpo , un ideal artiniano es un ideal I en R para el cual la dimensión de Krull del anillo cociente R / I es 0. También, de manera menos precisa, uno puede pensar en un ideal artiniano como uno que tiene al menos cada indeterminado en R elevado a una potencia mayor que 0 como un generador.
Si un ideal no es artiniano, se puede tomar su clausura artiniana de la siguiente manera: primero, se toma el mínimo común múltiplo de los generadores del ideal. Segundo, se suma al conjunto generador del ideal cada indeterminado del MCM con su potencia incrementada en 1 si la potencia no es 0 para empezar. A continuación se muestra un ejemplo.
Sea , y sea y . Aquí, y son ideales artinianos, pero no lo son porque en , lo indeterminado no aparece solo ante una potencia como generador.
Para tomar el cierre artiniano de , , encontramos el MCM de los generadores de , que es . Luego, sumamos los generadores , y a , y reducimos. Por lo tanto, tenemos que es artiniano.
![{\displaystyle R=k[x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f67b8d712e0c900598be92ff9f36117e7ea1354)
