Anillo perfecto

En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo perfecto por la izquierda es un tipo de anillo sobre el cual todos los módulos izquierdos tienen cubiertas proyectivas . El caso derecho se define por analogía, y la condición no es simétrica izquierda-derecha; es decir, existen anillos que son perfectos en un lado pero no en el otro. Los anillos perfectos fueron introducidos en el libro de Bass . ^[1]

Un anillo semiperfecto es un anillo sobre el cual cada módulo izquierdo finitamente generado tiene una cubierta proyectiva. Esta propiedad es simétrica de izquierda a derecha.

Anillo perfecto

Definiciones

Las siguientes definiciones equivalentes de un anillo perfecto izquierdo R se encuentran en Aderson y Fuller: ^[2]

• Cada módulo R izquierdo tiene una cubierta proyectiva.
• R /J( R ) es semisimple y J( R ) es T-nilpotente por la izquierda (es decir, para cada secuencia infinita de elementos de J( R ) hay un n tal que el producto de los primeros n términos es cero), donde J( R ) es el radical de Jacobson de R .
• ( Teorema de Bass P ) R satisface la condición de cadena descendente sobre ideales principales derechos . (No hay ningún error; esta condición sobre ideales principales derechos es equivalente a que el anillo sea perfecto por la izquierda .)
• Todo módulo R plano izquierdo es proyectivo .
• R /J( R ) es semisimple y cada módulo R izquierdo distinto de cero contiene un submódulo máximo .
• R no contiene ningún conjunto ortogonal infinito de idempotentes , y cada módulo R derecho distinto de cero contiene un submódulo mínimo .

Ejemplos

• Se sabe que los anillos artinianos derechos o izquierdos y los anillos semiprimarios son perfectos de derecha a izquierda.
• El siguiente es un ejemplo (debido a Bass) de un anillo local que es perfecto por la derecha pero no por la izquierda. Sea F un cuerpo y considérese un cierto anillo de matrices infinitas sobre F .

Tomemos el conjunto de matrices infinitas con entradas indexadas por , y que tienen sólo un número finito de entradas distintas de cero, todas ellas por encima de la diagonal, y denotemos este conjunto por . Tomemos también la matriz con todos los 1 en la diagonal, y formemos el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

Se puede demostrar que R es un anillo con identidad, cuyo radical de Jacobson es J. Además, R / J es un campo, de modo que R es local y R es perfecto a la derecha pero no a la izquierda. ^[3]

Propiedades

Para un anillo izquierdo perfecto R :

• De las equivalencias anteriores, cada módulo R izquierdo tiene un submódulo máximo y una cobertura proyectiva, y los módulos R izquierdos planos coinciden con los módulos izquierdos proyectivos.
• Un análogo del criterio de Baer se aplica a los módulos proyectivos. ^{[ cita requerida ]}

Anillo semiperfecto

Definición

Sea R un anillo. Entonces R es semiperfecto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• R /J( R ) es semisimple y los idempotentes se elevan módulo J( R ), donde J( R ) es el radical de Jacobson de R .
• R tiene un conjunto ortogonal completo e ₁ , ..., e _n de idempotentes con cada e _i Re _i un anillo local .
• Cada módulo R simple izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva .
• Cada módulo R izquierdo (derecho) finitamente generado tiene una cubierta proyectiva.
• La categoría de módulos proyectivos finitamente generados es Krull-Schmidt . ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Algunos ejemplos de anillos semiperfectos incluyen:

• Anillos perfectos de izquierda (derecha).
• Anillos locales.
• Teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos
• Anillos artinianos de izquierda (derecha) .
• K - álgebras de dimensión finita .

Propiedades

Dado que un anillo R es semiperfecto solo si y solo si cada módulo R izquierdo simple tiene una cubierta proyectiva, cada anillo Morita equivalente a un anillo semiperfecto también es semiperfecto.

Citas

1. Bajo 1960.
2. Anderson y Fuller 1992, pág. 315.
3. Lam 2001, págs. 345–346.

Referencias

• Anderson, Frank W; Fuller, Kent R (1992), Anillos y categorías de módulos (2.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
• Bass, Hyman (1960), "Dimensión finitista y una generalización homológica de anillos semiprimarios", Transactions of the American Mathematical Society , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307/1993568 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993568, MR  0157984
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, Sr.  1838439